福建省永安市三中2023学年高考临考冲刺数学试卷(含解析)

2023学年高考数学模拟测试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分

值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()

败学的象

数据分析适辑推理

”…甲

一乙

数学运算业学建模

直观忠象

A.乙的数据分析素养优于甲

B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙

D.甲的六大素养中数据分析最差

2.将一张边长为12的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个

有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()

3.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为尸直线＞=》-1与其相交于M,N两点，若MN中点的横坐标

2

为一至，则此双曲线的方程是

X2y2

T~~5

4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列,

则该数列各项之和为（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

5.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）.甲、乙租车费用为1元的概率

分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）

A.0.18B,0.3C,0.24D,0.36

1

6.下列与函数y=*定义域和单调性都相同的函数是（）

一D1

A.y=2iog2AB.c.y=logy=X4

2X

7.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马

大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”产角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果

它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”

的一个程序框图.若输入〃的值为10,则输出i的值为（）

/输入正壑数”/

A.5B.6C.7D.8

1,x>0

8.已知符号函数x=°/(x)是定义在K上的减函数，g(x)=/(x)-f(ax)(a>l),则()

一1,x<0

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

9.已知"InWMogyc-logj,则下列关系正确的是()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

设等比数列｛。｝的前项和为S,若8a+aS

10.=0,则'的值为()

nn20192016

3

3179

B2C8D.

28

H.根据如图所示的程序框图，当输入的工值为3时，输出的y值等于()

I结束］

A.1B.«D.e-2

12.下列不等式成立的是()

i

sinl>cosl,1,1

A.B.hC.叫小叫]D.

22

23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P-ABC。为

阳马，侧棱P4_L底面ABCD,且%=3,BC^AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为「，则

R_

r.

14.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为.

正（主俄图例佐）WCB

ffiWE

15.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成

活的概率为P，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X

的方差DX=2.1,P（X=3）<P（X=7）,则。=.

16.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，

则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四棱锥P-ABC。中，四边形43CD是矩形，AB=^-AD,△PAD为正三角形，且平面P4D_L

2

平面458,E、F分别为PC、心的中点.

（1）证明：平面ADEF，平面P8C；

（2）求二面角B—DE-C的余弦值.

18.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点、E,F分别是线段DC,BC的中点，分别将XDAE沿AE

折起，△CEF沿EF折起，使得2c重合于点G,连结AF.

DECG

（I）求证：平面GM_L平面G4E；

（ID求直线GF与平面GAE所成角的正弦值.

19.（12分）已知椭圆C:5+），2=l的右顶点为A,点P在丁轴上，线段AP与椭圆。的交点B在第一象限，过点B

的直线/与椭圆。相切，且直线/交x轴于M.设过点A且平行于直线I的直线交V轴于点。.

（I）当8为线段AP的中点时，求直线A8的方程；

（1［）记ABPQ的面积为S,\OMB的面积为S,求S+S的最小值.

1212

20.（12分）设椭圆C:券+齐=1的右焦点为尸，过尸的直线/与。交于4,8两点，点M的坐标为（2,0）.

（1）当直线/的倾斜角为45。时，求线段45的中点的横坐标；

（2）设点A关于％轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

（3）设过点M的直线交椭圆于G,H两点，若椭圆上存在点P,使得0匕+0笈=九0户（其中。为坐标原点），求实数

入的取值范围.

21.（12分）已知抛物线C：>2=2px（p>0）,直线y=x-l与。交于A,8两点，且

（1）求。的值；

（2）如图，过原点。的直线/与抛物线。交于点M,与直线x=-1交于点H,过点〃作丁轴的垂线交抛物线，于

点N,证明：直线MN过定点.

22.（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知£：心+丁2-2丁=0,

C：©+y=6,C：=>0）.

（1）求q与c,的极坐标方程

⑵若q与Q交于点A,与Q交于点5,|。臼=九|04，求入的最大值.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【答案解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.

【题目详解】

根据雷达图得到如下数据：

数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析

甲454545

乙343354

由数据可知选C.

【答案点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

2、B

【答案解析】

设折成的四棱锥的底面边长为。，高为〃，则〃=/a,故由题设可得1a+a-12x2^=>a-4->/2J所以

222

四棱锥的体积丫=；(4/)2乂44/=粤£巾，应选答案B.

3、D

【答案解析】

25

根据点差法得一==，再根据焦点坐标得。2+柩=7,解方程组得。2=2,6=5,即得结果.

42b2

【题目详解】

Y2竺=1(。>0,6>0),由题意可得以+6=7,设〃G,y),N(x,y),则MN的中点为

设双曲线的方程为一一

成。21122

51X2V2-X2V21za(x+x)G-X)(y+y)(y-y)2x(-)2x(-)

Q,由且4一%=1,得^_2_I_2_=_I——_I——2_,3_3

5)Q2Z?2Q2h2。2/?2---------------------；------

Q2Z?2

25%2V2

即获=而，联立—，解得〃”2,拉=5,故所求双曲线的方程为rbL故选D.

【答案点睛】

本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.

4、C

【答案解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【题目详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列L)

n

则。=23+35(n—1)=35/?—12

n

2

令〃=35〃—1242020,解得几458—.

〃35

58x57

故该数列各项之和为58x23+2x35=59189.

故选：C.

【答案点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

5、B

【答案解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得.

【题目详解】

由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是03,04,

•••甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为

P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.

故选:B.

【答案点睛】

本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.

6、C

【答案解析】

1

分析函数、=了的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,由此确定正确选项.

【题目详解】

函数y=二的定义域为（°，+8）,在（（）,口）上为减函数.

yjX

A选项，y=2i%x的定义域为（（）,”），在（0,钟）上为增函数，不符合.

r1V

B选项，y=logI_的定义域为R,不符合.

2

c选项，y=log1的定义域为（0,冲），在（0,讨）上为减函数，符合.

2X

D选项，）,=工：的定义域为［°，”），不符合.

故选：C

【答案点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

7、B

【答案解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.

【题目详解】

输入〃=10,〃=1不成立，"是偶数成立，则〃=号=5,i=0+l=l；

〃=1不成立，〃是偶数不成立，则“=3x5+1=16,i=l+l=2；

〃=1不成立，”是偶数成立，则〃=2=8,'=2+1=3；

8

〃=1不成立，〃是偶数成立，则"=2=4,j=3+l=4；

4

〃=1不成立，〃是偶数成立，则〃=2=2,i=4+l=5；

2

〃=1不成立，〃是偶数成立，则〃=2=1,i=5+l=6；

〃=1成立，跳出循环，输出i的值为6.

故选：B.

【答案点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

8、A

【答案解析】

根据符号函数的解析式，结合/(x)的单调性分析即可得解.

【题目详解】

根据题意，g(x)=f(x)-f(ax),而/(x)是R上的减函数，

当x>0时，x<ax,则有/(x)>/(ax),则g(x)—f(x)-f(ar)>0,此时sg"[g(x)]=1,

当x=0时，x=ax,则有/(x)=/(ax),则g(x)=/(x)-f(ax)=0,此时sg〃匡(x)]=0,

当x<0时，x>ax,则有f(x)<f(ax),贝ijg(x)=f(x)-f(ax')<0,此时sg〃[g(x)]=-1,

综合有：sg”[g(x)]=sgn(x)；

故选：A.

【答案点睛】

此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.

9、A

【答案解析】

首先判断a/，c和1的大小关系，再由换底公式和对数函数y=Inx的单调性判断6,c的大小即可.

【题目详解】

因为a=ln3>Ine>1,b=loge--~~—,c=loge=----,1<ln3<In,所以c<b<l,综上可得c<b<a.

3In3"InK

故选：A

【答案点睛】

本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

10、C

【答案解析】

求得等比数列｛*｝的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得｝的值.

3

【题目详解】

设等比数歹U｛。｝的公比为4,v8aa11

「+〃=0,=-2ow-=-:.q=--

20192016a82

2016

S1—伏，7

因止匕，-^=------=1+^3=-.

S1-^38

3

故选：c.

【答案点睛】

本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.

11、C

【答案解析】

根据程序图，当x<0时结束对X的计算，可得y值.

【题目详解】

由题x=3,x=x-2=3-l,此时x>0继续运行,x=l-2=-l<0,程序运行结束，得y=6-1,故选C.

【答案点睛】

本题考查程序框图，是基础题.

12、D

【答案解析】

根据指数函数、对数函数、基函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【题目详解】

c1兀.11

对于A,•.•0<k<-r，‘sinK<coSk，A错误；

2422

对于3,在R上单调递减，B错误；

对于C,vlogl=log3>1,logl=log2<1..-.log1>log1。错误；

3/，乙J

2323

对于O,...ynx；在R上单调递增，.♦.（；）>（；），O正确.

故选：D.

【答案点睛】

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的

单调性.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、叵

2

【答案解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R=与，内切球Q在侧面24。内的正视图是

R

的内切圆，从而内切球半径为r=1，由此能求出：.

【题目详解】

•••四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA，底面ABCD,

且小=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，

（2R>=AB2+A02+AP2=16+16+9=41,

5呼

•.•侧棱PA,底面ABCD,且底面为正方形,

•••内切球?在侧面Q4。内的正视图是△以£>的内切圆,

,内切球半径为「=7皿=1,

/SPAD

【答案点睛】

本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解

决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有

很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心

垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则

球心一定在垂线上.

14、2071

【答案解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.

【题目详解】

由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆

34

柱组合而成，其体积为兀X22X4+X兀x23=2071.

OJ

故答案为：20兀.

【答案点睛】

本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.

15、0.7

【答案解析】

/\10p(l-p)=2.1

由题意可知：X~BU0,〃，且%仪=3)<P(X=7)'从而可得「值.

【题目详解】

由题意可知：X~B(10,p)

10p(l-p)=2.1[100/72-100p+21=0

••「P(X=3)<P(X=7>即jp>0.5'

：.P=0.7

故答案为：。.7

【答案点睛】

本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题.

3

16、W

【答案解析】

由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字

从1,2,3里面选，由此即可得到本题答案.

【题目详解】

满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选，一共有。种情况；②有

26

两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有。3种情况，所以

2610

八CQ+C2cl3

取出的3个小球中数字最大的为4的概率P=2626=—.

。310

故答案为:

【答案点睛】

本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)正

4

【答案解析】

(1)取AO中点。，BC中点H,连接P。，OH,设£尸交尸”于G,则G为尸”的中点，连接OG.

通过证明OGLPH,OGLEF,证得OG，平面PBC,由此证得平面ADEFI平面PBC.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面OEC和平面8OE的法向量，计算出二面角6-OE-C的余弦值.

【题目详解】

(1)取AD中点。，BC中点H,连接尸。，OH,PH.

设EF交PH于G,则G为PH的中点，连接OG.

设AD=2,则A5=VT,PO=j3,：.OG±PH.

由已知40_LP。，.•.?!£>_L平面.•./!£>JLOG.

■：EF//LBC//-AD,：.EFLOG,

=2=2

EFnPH-G,：.OG_L平面PBC,

'：OGu平面ADEF，二平面ADEF1平面PBC.

一盯Z,设4)=2,则PQ,0,J5),

(2)由(1)及已知可得PO_L平面ABC。，建立如图所示的空间坐标系。

C\/3,l,0)D(0,l,0),B(/3,-1,0)E4，麻=［乎,一白加=6,0,0),8力=1/2,0),

y/3X=0

w得后=Q,/i).

设平面DEC的法向量为质=(x,y,z),1，令y=

X—五一一y+±-z=0

222

一/\立x-Ly+^-z=0

%=2得八=(,0,-1),

设平面8£应的法向量为〃=lx,y,z2。2。2。，令

000

-J3x+2y=0

l00

：.cos/m,n\=—」==4，.•.二面角B—OE—C的余弦值为旦.

\!2x27244

B

【答案点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

4

18、(I)详见解析；(II)」一

9

【答案解析】

(I)根据GE，G4,GE1GF,可得GE1平面G4/7,故而平面GE尸±平面G4/7.

(II)过尸作出/，AG于，，则可证FH1平面GAE,故NFGH为所求角，在MGF中利用余弦定理计算

cosZFGH,再计算sinZFGH.

【题目详解】

解：(1)因为6七_164,GEIGF,GEQGF=G,GEu平面G4F,GF<zGAF

所以GE_L平面G4E,

又GEu平面GEF,

所以平面GEF±平面GAF.

(H)过尸作人"LAG于"，则由GE,平面G477,且FHu平面GAF知

GEVFH,所以FH_L平面GAE,从而ZFGH是直线GF与平面GAE所成角.

3

因为AG=3,FG=-,AF=

2

973

9+_--

GA2+GF2-AF^7

所以cosNAGF=44

-2-GAGF-9

从而sinZFGH=sinNAGF=y/l-cos2ZAGF=整.

G

H

【答案点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

19、（I）直线48的方程为y（II）72

【答案解析】

（1）设点「（0，%）（%>0），利用中点坐标公式表示点5,并代入椭圆方程解得七，从而求出直线AB的方程；（2）

设直线/的方程为：y=kx+m（k<0,m^0）,表示点M

,0，然后联立方程，利用相切得出“2=2公+1,然

后求出切点B,再设出设直线A。的方程，求出点。利用48两点坐标，求出直线的方

程，从而求出尸荷）最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可.

【题目详解】

解：（1）由椭圆C:上+产=1,可得：A

2'

由题意：设，成（0，4电>0）,当5为孙的中点时，可得「「乎

一所以：B

代入椭圆方程，可得:

所以勺5=方—匚半.故直线A8的方程为y

（II）由题意，直线/的斜率存在且不为0,

故设直线/的方程为：y=kx+m（k<0,m^0）

—YYI

令y=o,得：x=—所以:

k

y=kx-vm，消丁，整理得：Q左2+1）尢2+4Z7HX+2m2—2=°

联立：＜

X2+2y2—2=0

（2h+1）嬴-2）=

因为直线/与椭圆相切，所以△=16%2m2—40.

即m2=2k2+1.

八/、-2km—2k,m1

设则无——-=——y=kx+m=———-=—

11、12%2+lmi12k2+1m

所以8

7

又直线A。//直线/,所以设直线A。的方程为:

令x=0,得y=一回,所以:

1

因为3=£*=—2k—3m，

m

所以直线A3的方程为:

1‘所以：小'京J

令x=°,得、=历7

所以阕=1—+码训.

11一2“

又因为s「爹|P0同=2网向=15

S=M==

22PW2Vm2fq-

所以工+?=|勺+、对（当且仅当网=而，即&=-咚时等号成立）

所以（S+S）=JT.

12min

【答案点睛】

本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结

合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量

较大，属于难题.

2

20、（1）45的中点的横坐标为可；（2）证明见解析；（3）（-2,2）

【答案解析】

设),8(x,y).

II22

y=x-\

（1）因为直线/的倾斜角为45。，/（1,0）,所以直线A8的方程为＞=x-l,联立方程组■

X2，消去y并整理,

y+r=1

4x+x2

得3x2—4x=0,则X+X=-,T-■4=一，

12323

2

故线段A5的中点的横坐标为-.

（2）根据题意得点C（7）,

若直线AB的斜率为0,则直线AB的方程为y=0,A、C两点重合，显然/，B,C三点共线;

若直线A5的斜率不为0,设直线A5的方程为

x=my+1

联立方程组1X2,消去X并整理得(加2+2)y2+2加y-l=0,

——+V2=1

12

2m1

则）;+力=一嬴n'）？2=一加1，设直线的曲的斜率分别为&iJ

则

—)]_-2)+);(x,-2)=y,(吗_1)+);(”7)2，%)；-();+)；)

k-k

BMCM2-x2-x(x「2)(x「2)（吗-IX吗-1）l-m(y4-y)+机2yy

I2I2

-2m2m

+

团2+2"22+2

=0,即&=k,即"，B,C三点共线.

(2/%2m2BMCM

1+-------------

m2+27712+2

（3）根据题意，得直线G4的斜率存在,设该直线的方程为y=k（x-2）,

设叫'八）'叱山,"巴'匕）,

y=k(x-2)

联立方程组X2।,消去y并整理,得(1+2攵2)X2—822工+842-2=0,

12

由A=6424-*1+2攵2)(8%2-2)>0,整理得左2<一,又%+%=-—x-—~-

2341+2攵2341+2%2

4人

所以々+/4=仆+厂4）=-同

结合0G+0//=入。P,得入x=x,+x,Ny=v+y,

034034

当九=0时，该直线为X轴，即y=o,

此时椭圆上任意一点尸都满足0。+0方=九0户，此时符合题意：

18k2

X——--------

当九工0时，由Od+由=入。户，得。C"于2,代入椭圆c的方程，得—/1+⑹；],整理，

1-4k入2（1+222）2人2（1+2公）2

V---------

I0X1+2左2

）162216

得l+2k21+2，

女2

再结合上<；,得到O<X2<4，即入e（-2,0）U（0,2）,

综上，得到实数入的取值范围是（-2,2）.

21、（1）P=2；（2）见解析

【答案解析】

（1）联立直线和抛物线（，，消去x可得尸-2。），-2P=0,求出>+y,=2p,yy=-2p,再代入弦长

y=x-11212

公式计算即可.

144

（2）由（1）可得y2=4x,设“（4%，％），计算直线OM的方程为^=下》，代入x=T求出匕=一一，即可

4