2020-2021学年人教版八年级数学下册《第17章 勾股定理》 单元测试卷

第17章勾股定理

一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）

1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A.8、15、7B.8、10、6C.5、8、10D.8、39、40

2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都是格点，则线段4B

的长为（）

3.如图，以RtzMBC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为Si，S2,若Si=7,52

=18,则斜边AB的长是（）

4.在△ABC中，48=15,BC=\2,AC=9,则△ABC的面积为（）

A.180B.90C.54D.108

5.已知△ABC中，ZA+ZB=ZC,则它的三边“，h,c的比可能为（）

A.1：1：2B.1：2：3C.3：4：5D.13：5：14

6.若△A8C的三边长为a,b,c,满足（a-b）Cc^+b1-c2）=0,则△ABC是（）

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

7.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的

距离为300〃?，公园到医院的距离为400m若公园到超市的距离为500加，则公园在医院

A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上

C.北偏东55°的方向上D.无法确定

8.如图，矩形纸片A8CD中，AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处,

CE交AD于点F,则DF的长等于（）

9.如图，若NBAD=NDBC=90°,AB=3,AD=4,BC=12,则C£>=()

C.17D.18

10.如图，长方体的高为9力"，底面是边长为6曲?的正方形.一只蚂蚁从顶点A开始爬向

顶点B,那么它爬行的最短路程为（）

C.15dmD.20dm

二、填空题（每小题4分，共28分）

11.（4分）若8,a,17是一组勾股数，贝ija=.

12.（4分）如图，ZVIBC中，AB=5,BC=6,BC边上的中线AZ）=4,则/AOC=

13.（4分）如图是一个长方形球场的示意图，小明要从A处走到C处，至少要走m.

AD

60?”

B80mC

14.（4分）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断

前的高度的结果是.

15.（4分）图中的两个滑块A,B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动.开

始时，滑块A距。点20厘米，滑块B距。点15厘米.问：当滑块A向下滑到。点时，

16.（4分）如图，将长方形纸片48co折叠，使点。与点8重合，折痕为EF,已知48=

H

17.（4分）如图所示，△ABC中，CE平分NACB,C尸平分补角NACD.若EF〃BC交AC

于M,CE=8cm,CF=6cm,则EM的长为cm.

三、解答题（共58分）

18.（6分）如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1,判断△ABC是什么形状,

OC=9,点B是。延长线上一点，连

20.（8分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超

过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到

路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到8处，测得小汽车与

车速检测仪间距离为50米，

（1）求8c的长：

（2）这辆小汽车超速了吗？

小汽小汽

BQ：.........................o(

加.测

21.(10分)如图，在矩形ABCD中，点E是的中点，将AABE沿直线BE折叠后得到

△GBE,延长BG交8于点凡

(1)求证：DF=FG；

(2)若AB=6,BC2=96cm2,求FO的长.

22.(10分)葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干

盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线--盘旋前

进的.难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

(1)如图，如果树的周长为3c〃?，从点A绕一圈到B点，葛藤升高4a",则它爬行路程

是多少厘米?

(2)如果树的周长为8c加，绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10

圈到达树顶，则树干高多少厘米?

A

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）

1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A.8、15、7B.8、10、6C.5、8,10D.8、39、40

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、82+7V152,故不是直角三角形，故错误；

B、62+82=102,故是直角三角形，故正确；

C、52+82^102,故不是直角三角形，故错误；

D、82+39V402,故不是直角三角形，故错误.

故选：B.

2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,8都是格点，则线段AB

的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解A8的长度即可.

根据勾股定理，得A8=QAC2+BC2=Q42+32=5,

故选：B.

3.如图，以Rtz^ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为Si,S2,若Si=7,52

=18,则斜边A8的长是（)

A.3B.4C.5D.25

【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式得出S2+Si=S3,求出S3,进而求出AB.

【解答】解：由勾股定理得：AC^+BC^AB2,

/.S2+S1=S3，

VSi=7,S2=18,

・・.S3=25,

：.AB=5,

故选：C.

4.在△ABC中，AB=\5,8c=12,AC=9,则△ABC的面积为（）

A.180B.90C.54D.108

【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即

可.

【解答】V92+122=152,

,根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12,

所以面积=」义9义12=54.

2

故选：C.

5.已知△A8C中，NA+/B=NC,则它的三边a,b,c的比可能为（）

A.1：1：2B.1：2：3C.3：4：5D.13：5：14

【分析】根据在AABC中，ZA+ZB=ZC,Z4+ZB+ZC=180°可求出NC的度数，

进而得出结论.

【解答】解：,在△ABC中，ZA+ZB=ZC,NA+NB+NC=180°,

；.2NC=18O°,解得NC=90。，

••.△ABC是直角三角形.

故选：C.

6.若△ABC的三边长为a,b,c,满足(a-b)(«W-c2)=0,则△ABC是()

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【分析】根据(«-b)(a2+/?2-c2)=0分情况讨论得出(a-b)=0或(a2+b2-c2)—

0,找到a、b、c之间得关系即可.

【解答】解：：(a-b)(aW-c2)=0,

(a-b)=0或(672+Z>2-C2)=0,

分情况讨论：

①当(a-b)=0,即a=b,.'△ABC为等腰三角形，

②(a2+/>2-c2)=0,即/+廿=°2,.♦.△ABC为直角三角形，

综上所述：AABC为等腰三角形或等腰三角形，故4、B、C错误，

故选：D.

7.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的

距离为300，〃，公园到医院的距离为400"?,若公园到超市的距离为500，〃，则公园在医院

A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上

C.北偏东55°的方向上D.无法确定

【分析】首先根据勾股定理逆定理证明乙408=90°,再计算出NAOC的度数，进而得

到NAO。的度数.

【解答】解：V3002+4002=5002,

AZAOB=90°,

•.•超市在医院的南偏东25°的方向,

AZC<9B=90°-25°=65°,

，NAOC=90°-65°=25°,

AZAOD=90°-25°=65°,

故选：B.

8.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处,

CE交AD于点F,则DF的长等于（）

5334

【分析】根据折叠的性质得到AE=A8,/E=NB=90°,易证RtZ^AEF也RtZsCCF,

即可得到结论E尸=£＞尸；易得尸。=加，设切=x,则尸C=x,FD=6-x,在RtZ^CDF

中利用勾股定理得到关于x的方程）=4?+（6-x）2,解方程求出x.

【解答】解：：矩形A8CO沿对角线AC对折，使△ABC落在△4CE的位置，

：.AE=AB,ZE=ZB=90°,

又•••四边形A8CO为矩形,

：.AB=CD,

：.AE=DC,

•.,在△AEF与△CDF中，

，ZAFE=ZCFD

,ZE=ZD，

AE=CD

AAAEF^ACDF(AAS),

：.EF=DF；

•••四边形ABC。为矩形，

：.AD=BC=6,CD=AB=4,

RtAAEF^RtACDF,

：.FC=FA,

设放=x,则FC=x,FD=6-x,

在RtZXCCF中，CF1=CD1+DF1,即/=42+(6-x)2,解得x=H,

贝ijFD=6-x=$.

3

故选：B.

9.如图，若NBAD=NDBC=90°,AB=3,AD=4,BC=\2,则CD=()

A.5B.13C.17D.18

【分析】由勾股定理可求8。的长，再由勾股定理可求CO的长.

【解答】解：VZBAD=90°,AB=3,AD=4,

BD=VAB2+AD2=^9+16=5,

:NDBC=90°,

C£>=,即2+8,2=425+144=13,

故选：B.

10.如图，长方体的高为9山"，底面是边长为6面?的正方形.一只蚂蚁从顶点A开始爬向

顶点8,那么它爬行的最短路程为（）

A.10dmB.12dmC.15dmD.20dm

【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB,利用勾股定理求出A8的长，

找出最短的即可.

【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD=6,8£»=6+9=15,

AB=462+152="^/29（dm）；

②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12,BC=9,

AB=J]22+g2=15(dm),

③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB=«环手=15（碗）,

由于15V3技，

所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm.

故选：C.

二、填空题（每小题4分，共28分）

11.（4分）若8,“，17是一组勾股数，则a=15.

【分析】分〃为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验

证两小边的平方和是否等于最长边的平方.

【解答】解：①a为最长边，«=V82+172=V353,不是正整数，不符合题意；

②17为最长边，«=^172_82=15,三边是整数，能构成勾股数，符合题意.

故答案为：15.

12.（4分）如图，ZVIBC中，AB=5,BC=6,BC边上的中线AO=4,则/4£>C=90°

【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出NAOC的度数.

【解答】解：•.,A8=5,BC=6,8c边上的中线AD=4,

：.BD=3,

：32+42=52,

/.Z/4DC=ZADB=9O°.

13.（4分）如图是一个长方形球场的示意图，小明要从A处走到C处，至少要走100tn.

【分析】根据长方形的性质直接利用勾股定理得出AC的长即可.

【解答】解：连接AC,

•四边形ABC。是长方形，AB=60m,BC=80/〃，

：.AB2+BC2=AC2,

即AC=Q6°2+802=100（"?）,

故答案为：100.

14.（4分）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断

前的高度的结果是18米

【分析】该大树折断后，AB,BC,AC构成直角三角形，且AB,AC已知，则根据勾股

定理可以求得BC,大树折断前的高度为AB+BC.

【解答】解：大树折断后形成直角△A8C,且8C为斜边，

:.AB2+AC2=BC2,

米，AC=12米，

；衣=后m=13米,

大树折断前的高度为AB+BC=5米+13米=18米.

故答案为：18米.

15.(4分)图中的两个滑块A,B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动.开

始时，滑块A距。点20厘米，滑块B距O点15厘米.问：当滑块A向下滑到。点时,

【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据题意和图形计算即可.

【解答】解：由勾股定理得，居彳=25厘米，

当滑块A向下滑到O点时，滑块8滑动了25厘米-15厘米=10厘米，

故答案为：10.

16.(4分)如图，将长方形纸片A8C。折叠，使点。与点8重合，折痕为EF,已知48=

【分析】设AE=xcm,根据折叠的性质得出ED=BE=(18-x)cm,在RtZ\ABE中根

据勾股定理可得6?+/=(18-x)2,解方程求出AE的长，从而不难求得△A8E的面积.

【解答】解：设AE=xcro,由折叠可知：ED=BE=(18-x)cm,

在中，62+7=(18-x)2,

解得x=8,

2

：.S&ABE^-'XAEXAB^1.X6X8=24Cem）.

22

故答案为：24cnr.

17.（4分）如图所示，△ABC中，CE平分/ACB,CF平分补角/ACD.若所〃8c交AC

于M,CE=8cm,CF=6cm,则EM的长为5cm.

【分析】首先根据角平分线的定义得到NECF=90°,再由勾股定理可得E尸的长，最后

利用平行线的性质、等腰三角形的性质解答即可.

【解答】解：平分/ACB,CF平分NACO,

：.2/ECM=NACB,2ZMCF=ZACD,

VZACB+ZACD=\SO0,

ZECM+ZMCF=ZECF=90°,

£/?=7CE2X：F2=V82+62=10-

'：EF//BD,

：.NMEC=NECB,NMFC=NFCD,

♦；CE平分NACB,C尸平分NACO,

NECB=NECM,NFCD=ZMCF,

：.NMEC=/MCE,NMFC=ZFCM,

:.EM=CM,MF=CM,

.\CM=AEF=5Cem）.

2

故答案为：5.

三、解答题（共58分）

18.（6分）如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1,判断AABC是什么形状，

并说明理由.

【分析】根据勾股定理分别求出A3、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三

角形4BC的形状.

【解答】解：△ABC是直角三角形.理由如下：

由题意可得，AB=r於+]BC=、§2+《2=5,AC=yj^22_2^/5）

.,.AB^AC^^BC2,

：.ZBAC=90°,/XABC是直角三角形.

19.（8分）如图，在△A8C中，AD=i5,AC=12,ZX?=9,点B是C£＞延长线上一点，连

接AB,若48=20.求：△A8O的面积.

【分析】由勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，ZC=90°,再由勾股定理求

出8C,得出8D,即可得出结果.

【解答】解：在△ADC中，AD=\5,AC=\2,DC=9,

AC^+DC2=122+92=152=AO2,

即AC2+DC2=AD1,

...△ADC是直角三角形，ZC=90°,

在RtAABC中,BC=qAB2-AC2=4202-122=16,

：.BD=BC-DC=16-9=7,

/\ABD的面积=JLX7X12=42.

2

20.（8分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超

过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到

路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到8处，测得小汽车与

车速检测仪间距离为50米，

（1）求8c的长；

（2）这辆小汽车超速了吗？

BQ：.................oc

加.测

【分析】（1）在直角三角形48c中，已知AB,AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内

行驶的距离BC；

（2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70

千米/时比较，即可计算小汽车是否超速.

【解答】解：（1）在直角△48C中，已知AC=30米，48=50米，

且AB为斜边，则BC=JAB?-AC2=40米.

答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；

（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，

20米/秒=72千米/时，

因为72>70,

所以这辆小汽车超速了.

答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了.

21.（10分）如图，在矩形中，点E