高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时跟踪检测（二十六）平面向量的数量积及其应用 文-人教版高三数学试题

课时跟踪检测（二十六）平面向量的数量积及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝________.解析：因为a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，所以－4－2x＝0，x＝－2，所以a＝(1，－2)，a·b＝10.答案：102．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a，b的夹角为eq\f(2π,3)，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cosa，b＝8，所以4＋2|b|×eq\f(1,2)＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2017·盐城三模)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝eq\r(21)，则向量a，b的夹角为________．解析：设向量a，b的夹角为θ，由|a－b|＝eq\r(21)得，21＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－2×5×cosθ，即cosθ＝eq\f(1,2)，所以向量a，b的夹角为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，所以m＝－2.答案：－25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝________.解析：由题意得eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝4＋2×1×cos120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，AD与BE交于点P，则eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PD,\s\up7(→))的值为________．解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，3eq\r(3))，E(1,2eq\r(3))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PD,\s\up7(→))＝|eq\o(PD,\s\up7(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2＝eq\f(27,4).答案：eq\f(27,4)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a解析：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝eq\r(1＋x2)＝eq\r(4)＝2.答案：22．若单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝eq\f(\r(3),2)，则λ＝________.解析：由题意可得e1·e2＝eq\f(1,2)，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×eq\f(1,2)＋λ2＝eq\f(3,4)，化简得λ2＋λ＋eq\f(1,4)＝0，解得λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)3．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,2)b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝eq\f(5,2)a2，|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(5a2－4a·b)＝eq\r(7)|a|，cos〈a,2a－b〉＝eq\f(a·2a－b,|a|·|2a－b|)＝eq\f(\f(5,2)a2,|a|·\r(7)|a|)＝eq\f(5,2\r(7))＝eq\f(5\r(7),14).答案：eq\f(5\r(7),14)4．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA＝3，PC＝4，矩形对角线AC＝6，则eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PD,\s\up7(→))＝________.解析：由题意可得eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PD,\s\up7(→))＝(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))·(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(PA,\s\up7(→))2＋eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝9＋eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＋0＝9＋eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝9＋3×6×cos(π－∠PAC)＝9－18×eq\f(PA2＋AC2－PC2,2×PA×AC)＝9－18×eq\f(9＋36－16,2×3×6)＝－eq\f(11,2).答案：－eq\f(11,2)5．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝eq\f(π,3)，点P满足eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，λ∈R，若eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(CP,\s\up7(→))＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝2×2coseq\f(π,3)＝2，eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(CP,\s\up7(→))＝(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))·(eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→)))＝(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))·[(eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－eq\o(BC,\s\up7(→))]＝(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))·[(λ－1)·eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))]＝(1－λ)eq\o(BA,\s\up7(→))2－eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，所以λ＝eq\f(1,2).法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq\r(3))，D(－1，eq\r(3))．令P(x,0)，由eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(CP,\s\up7(→))＝(－3，eq\r(3))·(x－1，－eq\r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.因为eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6.(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝－7，则eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝________.解析：eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))·(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→)))＝(eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→)))·(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\o(OC,\s\up7(→))2－eq\o(OD,\s\up7(→))2，同理，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))2－eq\o(OD,\s\up7(→))2＝－7，所以eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))2－eq\o(OD,\s\up7(→))2＝eq\o(OC,\s\up7(→))2－eq\o(AO,\s\up7(→))2－7＝9.答案：97．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2,1)，n＝(－1,2)，所以cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)8.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq\o(AB,\s\up7(→))＝4eq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\o(OC,\s\up7(→))·(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝________.解析：由已知得|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),4)，则eq\o(OC,\s\up7(→))·(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\r(2)coseq\f(3π,4)＋eq\f(\r(2),4)×eq\r(2)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4eq\r(3).②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4所以|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.所以k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up7(→))＝2eq\o(PD,\s\up7(→)).(1)若四边形ABCD是矩形，求eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))＝6，求eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AD,\s\up7(→))夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AD,\s\up7(→))，即eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，又AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up7(→))＝2eq\o(PD,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))－\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\o(AD,\s\up7(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up7(→))2＝62－eq\f(2,9)×92＝18.(2)设eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AD,\s\up7(→))的夹角为θ，由(1)得，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))－\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\o(AD,\s\up7(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up7(→))2＝62－eq\f(1,3)×9×6×cosθ－eq\f(2,9)×92＝6，所以cosθ＝eq\f(2,3).故eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AD,\s\up7(→))夹角的余弦值为eq\f(2,3).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＝2，则eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝________.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＝2，可得2x＝2，x＝1，P为Aeq\x\to(B)上的一点，所以|eq\o(OP,\s\up7(→))|＝2，所以P(1，eq\r(3))，eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1，eq\r(3))，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,2)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2＋2eq\r(3).答案：－2＋2eq\r(3)2．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))))＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AC,\s\up7(→))))＝5，则(eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))的值为________．解析：法一：因为eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝2eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))，而eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，由于eq\o(QP,\s\up7(→))⊥eq\o(CB,\s\up7(→))，所以eq\o(QP,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，所以(eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝(2eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→)))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝2eq\o(AQ,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))，又因为Q是BC的中点，所以2eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，故2eq\o(AQ,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))2－eq\o(AC,\s\up7(→))2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．又|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝5，所以|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝4，cos∠BAC＝eq\f(3,5)，故eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，从而(eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(