新教材数学高中必修一课时素养评价5-4-2第2课时函数奇偶性的应用

课时素养评价二十六函数奇偶性的应用(15分钟35分)1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x22x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是 ()A.f(x)=x2+2x3B.f(x)=x22x3C.f(x)=x22x+3D.f(x)=x22x+3【解析】选B.若x<0,则x>0,因为当x>0时,f(x)=x22x+3,所以f(x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=x2+2x+3=f(x),所以f(x)=x22x3,所以x<0时,f(x)=x22x3.2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)等于 ()A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1【解析】选D.因为f(x)+g(x)=x2+3x+1,①所以f(x)+g(x)=x23x+1.又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,所以f(x)g(x)=x23x+1.②由①②联立,得f(x)=x2+1.3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则 ()A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)<f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不确定【解析】选A.因为x2>x1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2)<f(x1).又f(x)是R上的偶函数,所以f(x2)=f(x2),所以f(x2)<f(x1).4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(3)<f(2a+1),则a的取值范围是 ()A.a>1 B.a<2C.a>1或a<2 D.1<a<2【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|),又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以3<|2a+1|,解得a>1或a<2.5.函数f(x)在R上为偶函数,且x>0时,f(x)=QUOTE+1,则当x<0时,f(x)=________.

【解析】因为f(x)为偶函数,x>0时,f(x)=QUOTE+1,所以当x<0时,x>0,f(x)=f(x)=QUOTE+1,即x<0时,f(x)=QUOTE+1.答案:QUOTE+16.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=QUOTE,求函数f(x),g(x)的解析式.【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(x)=f(x),g(x)=g(x).由f(x)+g(x)=QUOTE,①用x代替x得f(x)+g(x)=QUOTE,所以f(x)g(x)=QUOTE,②(①+②)÷2,得f(x)=QUOTE;(①②)÷2,得g(x)=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若奇函数f(x)在(∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有()A.最大值QUOTE B.最大值QUOTEC.最小值QUOTE D.最小值QUOTE【解析】选B.方法一(直接法):当x>0时,x<0,所以f(x)=x(1x).又f(x)=f(x),所以f(x)=x(1x)=x2+x=QUOTE+QUOTE,所以f(x)有最大值QUOTE.方法二(奇函数的图象特征):当x<0时,f(x)=x2+x=QUOTEQUOTE,所以f(x)有最小值QUOTE,因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值QUOTE.2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(x),x∈R,若QUOTE是函数F(x)的增区间,则一定是F(x)的减区间的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为F(x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在QUOTE上F(x)是减函数.3.若f(x)是偶函数,其定义域为(∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则fQUOTE与fQUOTE的大小关系是 ()A.fQUOTE>fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE≥fQUOTED.fQUOTE≤fQUOTE【解析】选C.因为a2+2a+QUOTE=(a+1)2+QUOTE≥QUOTE,又因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,所以fQUOTE≤fQUOTE=fQUOTE.4.(2020·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则满足f(2x1)>fQUOTE的实数x的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x1)>fQUOTE,所以不等式等价为f(|2x1|)>fQUOTE,即|2x1|<QUOTE,所以QUOTE<2x1<QUOTE,计算得出QUOTE<x<QUOTE,故x的取值范围是QUOTE.【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式,别忘了转化为绝对值不等式求解.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数y=f(x)是偶函数,定义域为R,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是 ()A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关C.f(0)=0D.f(0)的值不能确定【解析】选AC.由于偶函数图象关于y轴对称,若(x0,0)是函数与x轴的交点,则(x0,0)一定也是函数与x轴的交点,当交点个数为3个时,有一个交点一定是原点,从而AC正确.6.设y=f(x)为偶函数,且在区间(∞,0)内单调递增,f(2)=0,则下列区间中使得xf(x)<0的有 ()A.(1,1) B.(0,2)C.(2,0) D.(2,4)【解析】选CD.根据题意,偶函数f(x)在(∞,0)上是增函数,又f(2)=0,则函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(2)=f(2)=0,函数f(x)的草图如图,又由xf(x)<0⇒QUOTE或QUOTE,由图可得2<x<0或x>2,即不等式的解集为(2,0)∪(2,+∞).三、填空题(每小题5分,共10分)7.如果函数F(x)=QUOTE是奇函数,则f(x)=________.

【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x<0,根据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.【解析】当x<0时,x>0,F(x)=2x3,又F(x)为奇函数,故F(x)=F(x),所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.答案:2x+3【补偿训练】设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[1,0]上的解析式为________.

【解析】由题意知f(x)在[1,0]上为一条线段,且过(1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+28.(2020·南京高一检测)已知y=f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x25x,则f(x1)>f(x)的解集为________.

【解析】根据题意,设x<0,则x>0,所以f(x)=x2+5x,又由f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=f(x)=x25x,则有f(x)=QUOTE其图象如图:则f(x)在QUOTE上是减函数,当x<0时,f(x)=x25x,其对称轴为x=QUOTE,当x≥0时,f(x)=x25x,其对称轴为x=QUOTE,若f(x1)>f(x),则有3<x1<QUOTE<x或QUOTE≤x1<x≤QUOTE或x1<QUOTE<x<3,解得:2<x<3,即不等式的解集为(2,3).答案:(2,3)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2+2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式.(2)画出函数f(x)的图象.(3)根据图象,写出函数f(x)的减区间及值域.【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(x).当x<0时,x>0,所以f(x)=f(x)=x22x.综上,f(x)=QUOTE(2)函数f(x)的图象如图所示:(3)由(2)中图象可知,f(x)的减区间为[1,0],[1,+∞),函数f(x)的值域为(∞,1].10.函数f(x)=QUOTE,(1)判断函数是否具有奇偶性.(2)判断函数在(∞,0)上的单调性,并证明.【解析】(1)f(x)=QUOTE的定义域为{x|x≠0},因为对于任意x∈{x|x≠0},都有x∈{x|x≠0},且f(x)=QUOTE=QUOTE=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)函数f(x)在(∞,0)上是增函数,证明如下:任取(∞,0)上的任意两个值x1,x2,且x1<x2,所以f(x1)f(x2)=QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE,因为x1,x2∈(∞,0),且x1<x2,所以x2x1>0,x2+x1<0,所以QUOTE<0,即f(x1)<f(x2),则函数f(x)在(∞,0)上是增函数.1.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x24x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________.

【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|24|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|5)<0,所以|x+2|<5,解得7<x<3,所以不等式f(x+2)<5的解集是(7,3).答案:(7,3)2.(2020·南京高一检测)已知偶函数f(x)=QUOTE的定义域为E,值域为F.(1)求实数b的值;(2)若E={1,2,a},F=QUOTE,求实数a的值.(3)若E=QUOTE,F=[23m,23n],求m,n的值.【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(x),即QUOTE=QUOTE,所以b=1;(2)因为f(2)=QUOTE,f(1)=0,所以①令f(a)=0,即QUOTE=0,a=±1,a=1不满足集合的互异性,故a=1;②令f(a)=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,a=±2,a=2不满足集合的互异性,故a=2,综上,a=1或2;(3)因为f(x)=QUOTE是偶函数,且f(x)=1QUOTE,所以函数f(x)