新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步章末质量检测湘教版选择性必修第一册

章末质量检测(二)平面解析几何初步(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为()A．6B．1C．2D．42．[2022·湖南长郡中学高二月考]圆x2＋2x＋y2＋4y＋1＝0的圆心坐标为()A．(1，2)B．(－1，2)C．(1，－2)D．(－1，－2)3．[2022·湖南衡阳高二期中]圆(x＋3)2＋(y＋4)2＝16与圆x2＋y2＝4的位置关系为()A．相离B．内切C．外切D．相交4．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．x－2y＋3＝05．圆(x＋1)2＋y2＝2上一点到直线y＝x＋5的距离最小值为()A．1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2)6．[2022·湖南长沙一中月考]设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m有公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．过点P(－2，4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是()A．eq\f(28,5)B．eq\f(12,5)C．eq\f(8,5)D．eq\f(2,5)8．[2022·湖南师大附中高二模拟]已知点P(2，2)，若圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝r2(r>0)上存在两点A、B，使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则r的取值范围是()A．(0，5)B．(0，eq\f(5,2))C．[1，5)D．[eq\r(5)，eq\f(5,2))二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0)，一个法向量为(0，1)B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率k＝eq\f(a＋1,a)C．若直线的一个法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的10．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是()A．m∥lB．m⊥lC．m与圆相离D．m与圆相交11．[2022·湖南怀化高二期末]直线l过点P(1，2)且与直线x＋ay－3＝0平行．若直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则实数a的值可以是()A．－eq\f(4,3)B．0C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)12．[2022·湖南雅礼中学高二期中]圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，直线l：3x－4y－7＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是()A．直线l与圆C相交B．|PQ|的最小值是1C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3D．直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋eq\r(4－x2)有两个不同的交点，则实数k的取值范围是[eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．14．[2022·湖南张家界高二期中]若直线经过点A(1，1)且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为________．15．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．16．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq\f(1,2)，设点P的轨迹为C，则轨迹C的方程为________；若轨迹C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则实数m的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.18．(本小题满分12分)直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，求直线l的方程．19．(本小题满分12分)[2022·湖南嘉禾一中高二月考]已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－4y－1＝0.(1)证明：圆C1与圆C2相交；(2)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，求|AB|.20．(本小题满分12分)[2022·湖南长沙一中高二期中]已知点E(－2，0)，F(2，0)，曲线C上的动点M满足eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝－3.(1)求曲线C的方程；(2)定点A(2，1)，由曲线C外一点P(a，b)向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.求P的轨迹方程．21．(本小题满分12分)[2022·湖南临澧一中高二期中]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m为任意实数．(1)求证：直线l必与圆C相交；(2)m为何值时，直线l被圆C截得的弦长AB最短？最短弦长是多少？(3)若直线l被圆C截得的弦AB的中点为点M，求点M的轨迹方程．22．(本小题满分12分)已知以点C(t，eq\f(3,t))(t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点O.(1)设直线3x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；(2)在(1)的条件下，设B(0，2)，且P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PQ|－|PB|的最大值及此时点P的坐标．章末质量检测(二)平面解析几何初步1．解析：由题意知kAB＝eq\f(m＋4,－2－3)＝－2，∴m＝6.答案：A2．解析：由圆x2＋2x＋y2＋4y＋1＝0得，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为(－1，－2).答案：D3．解析：圆(x＋3)2＋(y＋4)2＝16的圆心C(－3，－4)，半径r＝4；圆x2＋y2＝4的圆心M(0，0)，半径R＝2.∴eq\r(（－3－0）2＋（－4－0）2)＝5，R＋r＝4＋2＝6>5.|R－r|＝4－2＝2<5，∴两圆相交．答案：D4．解析：结合图形可知，所求直线为过点(1，2)且与原点和点(1，2)连线垂直的直线，其斜率为－eq\f(1,2)，直线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：A5．解析：圆心为(－1，0)，直线方程为y＝x＋5，所以d＝eq\f(|－1＋5|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，圆(x＋1)2＋y2＝2上一点到直线y＝x＋5的距离最小值d－r＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).答案：C6．解析：圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m，圆心(1，2)，半径r＝eq\r(3－m)，则m<3，若直线l与圆C有公共点，则圆心(1，2)到直线的距离d＝eq\f(|3－m|,\r(2))≤eq\r(3－m)，解得：1≤m<3，{m|1≤m≤2}{m|1≤m<3}，所以“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m有公共点”的充分不必要条件．答案：A7．解析：直线l的斜率k＝－eq\f(a,3)，l1∥l，又直线l过点P(－2，4)，所以l：y－4＝－eq\f(a,3)(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0.又直线l与圆相切，所以eq\f(|2a＋3×1＋2a－12|,\r(a2＋9))＝5，所以a＝－4，所以l1与l间距离为d＝eq\f(12,5).答案：B8．解析：取AB的中点D，则CD⊥AB.因为eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则|PD|＝5|AD|，设|CD|＝d，则eq\r(|PC|2－d2)＝5eq\r(r2－d2).因为点P(2，2)、C(5，6)，则|PC|2＝(5－2)2＋(6－2)2＝25，所以eq\r(25－d2)＝5eq\r(r2－d2)，得d2＝eq\f(25,24)(r2－1).因为0≤d<r，则0≤eq\f(25,24)(r2－1)<r2，解得1≤r<5.答案：C9．解析：由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中，当a＝0时，不成立．答案：ACD10．解析：直线OP的斜率为eq\f(b,a)，直线l的斜率为－eq\f(a,b)，直线l的方程为：ax＋by＝a2＋b2，又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2＞r2，故m∥l，圆心(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＜eq\f(r2,|r|)＝|r|，故m与圆相交．答案：AD11．解析：设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，过点P(1，2)，故c＝－1－2a，所以直线l的方程为x＋ay－2a－1＝0，圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)，半径为2，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，半弦长为eq\r(3)，则弦心距为1，圆心到直线的距离d＝eq\f(|－2a－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝0或a＝－eq\f(4,3).答案：AB12．解析：圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，圆心为C(－2，3)，半径为r＝4.对于A选项，圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(|3×（－2）－4×3－7|,\r(32＋（－4）2))＝5>4，所以，直线l与圆C相离，A错；对于B选项，|PQ|的最小值为d－r＝1，B对；对于C选项，如图所示：从Q点向圆C引切线，设切点分别为M、N，连接CM，则CM⊥MQ，则|MQ|＝eq\r(|CQ|2－|CM|2)＝eq\r(|CQ|2－16)，当CQ⊥l时，|CQ|取得最小值，此时|MQ|取得最小值，即|MQ|min＝eq\r(52－16)＝3，C对；对于D选项，由y＝1＋eq\r(4－x2)得y－1＝eq\r(4－x2)，即x2＋(y－1)2＝4，所以，曲线y＝1＋eq\r(4－x2)表示圆x2＋(y－1)2＝4的上半圆，而直线y＝k(x－2)＋4表示过点A(2，4)且斜率为k的直线，如图所示：当直线y＝k(x－2)＋4与圆x2＋(y－1)2＝4相切，且切点在第二象限时，则eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)，当直线y＝k(x－2)＋4过点E(－2，1)时，则4－4k＝1，解得k＝eq\f(3,4).由图可知，当y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋eq\r(4－x2)有两个不同的交点时，k的取值范围是(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]，D错．答案：BC13．解析：因为直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，所以1×(a－1)＋a×2＝0，解得：a＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．解析：设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＝1,a＋b＝4))，解得a＝b＝2，所以直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝015．解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.答案：x2＋y2－x－2y＝016．解析：设动点P(x，y)，由P到O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq\f(1,2)，∴|PA|2＝4|PO|2，则(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理得：(x＋1)2＋y2＝4，故轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4；∴轨迹C是以C(－1，0)为圆心，半径r＝2的圆，则C到y＝－x＋m的距离为d＝eq\f(|m＋1|,\r(2))，∴当d＝1时，圆上恰有3个点到直线的距离为1，若圆C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则d＝eq\f(|m＋1|,\r(2))<1，解得－1－eq\r(2)<m<eq\r(2)－1，∴实数m的取值范围为(－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1).答案：(x＋1)2＋y2＝4(－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1)17．解析：(1)因为l1与l2相交于点(m，－1)，所以点(m，－1)在l1、l2上，将点(m，－1)代入l2，得2m－m－1＝0，解得m＝1.又因为m＝1，把(1，－1)代入l1，所以n＝7.故m＝1，n＝7.(2)要使l1∥l2，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－16＝0，,m×（－1）－2n≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))(3)当m≠0时，(－eq\f(m,8))×(－eq\f(2,m))＝eq\f(1,4)，显然l1与l2不垂直．当m＝0时，直线l1：y＝－eq\f(n,8)和直线l2：x＝eq\f(1,2)，此时l1⊥l2.由于l1在y轴上的截距为－1，所以－eq\f(n,8)＝－1，即n＝8.故m＝0，n＝8.18．解析：方法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，并且满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3（－2－x0）－5（4－y0）－5＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3x0－5y0＋31＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝5，))因此直线l的方程为eq\f(y－2,5－2)＝eq\f(x－（－1）,－2－（－1）)，即3x＋y＋1＝0.方法二设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0，,4x＋y＋3＝0，))得x＝eq\f(－k－5,k＋4).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0，,3x－5y－5＝0，))得x＝eq\f(－5k－15,5k－3).则eq\f(－k－5,k＋4)＋eq\f(－5k－15,5k－3)＝－2，解得k＝－3.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.方法三两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①将上述方程中(x，y)换成(－2－x，4－y)，整理可得l1与l2关于(－1，2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程．19．解析：(1)圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心为(－1，－1)，半径为2，圆C2的标准方程为x2＋(y－2)2＝5，圆心为(0，2)，半径为eq\r(5)，∴圆C1和圆C2的圆心之间的距离为eq\r([0－（－1）]2＋[2－（－1）]2)＝eq\r(10)，由eq\r(5)－2<eq\r(10)<eq\r(5)＋2，可知：圆C1和圆C2相交，得证．(2)由(1)结论，将圆C1与圆C2作差，得：直线AB的方程为2x＋6y－1＝0，圆C2的圆心(0，2)到直线AB的距离为eq\f(|12－1|,\r(22＋62))＝eq\f(11,2\r(10))，∴|AB|＝2eq\r(（\r(5)）2－（\f(11,2\r(10))）2)＝eq\f(\r(790),10).20．解析：(1)设M(x，y)，则eq\o(EM,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x－2，y)，所以eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，所以曲线C的方程为x2＋y2＝1；(2)因为Q为切点，则PQ⊥OQ，由勾股定理得|PQ|2＝|PO|2－|OQ|2，又由已知|PQ|＝|PA|，故(a2＋b2)－1＝(a－2)2＋(b－1)2，化简得2a＋b－3＝0，所以P的轨迹方程为2a＋b－3＝0.21．解析：(1)由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m∈R，得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，∵m∈R，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0,2x＋y－7＝0))，得x＝3，y＝1，∴直线l恒过点D(3，1)，又圆C(1，2)，半径为5，∵CD＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)<5，∴D在圆内，则直线l必与圆C相交．(2)由(1)知D在圆内，当直线l被圆C截得的弦长AB最短时，l⊥CD，又kCD＝eq\