第五章(第三,四节知识资料)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页第三节常用随机变量的数学期待和方差数学期待和方差的定义及计算公式(一)离散型随机变量的数学期待和方差,,,,,(二)延续型随机变量的数学期待和方差,,,,,,.(三)数学期待和方差的性质,若与互相自立,且存在，则有,,。若互相自立,则有,。例1设顺从(0—1)分布:10求,.解,,。.例2设顺从二项分布,即,，。求,.解主意一；；；主意二设互相自立,同顺从(0—1)分布,,,则,,.于是,.例3设顺从泊松分布，即，求,.解，，于是。例4设顺从参数为的指数分布，即有概率密度，求,.解，，.例5设,求,.解的概率密度为,,,.正态分布的性质定理设,互相自立,则顺从正态分布(为常数,或)定理设,则(1),,,;(2)互相自立;(3)顺从正态分布(为常数,或)定理设随机变量互相自立,,是延续函数,则,互相自立.例6P126习题31已知随机变量互相自立，且顺从分布，求与的联合概率密度.解由题设条件知,互相自立,且顺从正态分布,,,,,,,所以,,,,于是,与的的联合概率密度为,.例7设在区间上顺从匀称分布,求.解的概率密度为,,,.例8设随机变量的数学期待和方差都存在,且,,求,.解,,.称为随机变量的标准化随机变量.协方差和相关系数对于随机向量,除了要知道以外,还希翼知道与之间的关系.下面引进的协方差和相关系数就能起这个作用.协方差定义6设为二维随机变量，若存在，则称它为随机变量与的协方差.记作,即.另一个常用的计算公式:.协方差的性质:(1);(2),其中是常数;(3);(4),..定理若与互相自立,则,;但是由,推不出与互相自立.相关系数定义7设为二维随机变量，协方差存在，且，则称数值为随机变量与的相关系数或标准协方差,记作,或简记作,即.定义8设为二维随机变量，且，若与的相关系数,则称与不相关.定理若与互相自立,且，则,,,即与不相关.但是由与不相关,推不出与互相自立.相关系数的性质:定理设为二维随机变量，且，对于相关系数,则有（1）成立;（2）的充要条件是,其中是常数.由此可知,相关系数刻划了随机变量与之间线性关系的近似程度.当越临近于1时,与越临近线性关系.当时,与之间以概率1成立线性关系(若则,,即相当于（）与线性相关。)另一个极端情形是当时,与之间不存在线性关系(即相当于()与不线性相关),故此时称与不相关.计算举例例1设的概率密度是,求(1);(2)与不相关,但与不自立.解,，(奇函数在对称区间上积分为零)(或),(或),,所以;于是,从而与不相关;,当时,对随意,有,,当时,,于是的概率密度为,同理的概率密度为,因为,所以与不自立.例2设,求.解由题设条件知,,,,,的概率密度为,,故,.定理设,则与互相自立与不相关.(这个结论仅对顺从二维正态分布的随机变量,与的自立性与不相关性是等价的;对普通随机变量,与自立与不相关,反之不真;).例3设随机变量,且,当时,求的概率密度及;当时,求及.解(1)由题设条件及知,与互相自立,所以顺从正态分布,由得,,于是得到,,故,的概率密度为,;由与的自立性,知与也自立,且,,于是.当时,,由,故,,.例4设随机变量和的联合分布律XY-101-1001验证:与不相关,但与不自立.证实由已知条件可以分离计算出的边沿分布律:X-101PY-101P则有,,,因与的分布律相同,故,,,,,即得与不相关;,,即,因此与不互相自立.接连不断地掷一颗骰子,直到浮上小于5点为止,以表示最后一次掷出的点数,以表示掷骰子的次数.求二维随机变量的分布律;求关于,的边沿分布律;证实与互相自立;求,,.解(1)依题意知的可能取值为1,2,3,4;的可能取值为;设第次掷时出5点或6点,第次掷时出点,则,,,“掷骰子次,最后一次掷出点,前次掷出5点或6点”,(各次掷骰子浮上的点数互相自立)于是的分布律为,;.(例如)或,;.(2),;分布律之和为1满意