专题4.6求数列通项公式（强化训练）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题4.6求数列通项公式题型一周期数列题型二累加累乘法题型三“和”型（一）——与或与题型四“和”型（二）——“”或与题型五“积”型题型六待定系数法及倒数法题型七“同除”法题型八隔项数列题型一 周期数列1．设数列满足，且，则（

）A．-2 B． C． D．3【答案】A【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.【详解】因为，，所以，，，，显然数列的周期为4，而，因此.故选：A.2．（多选）已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（

）A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列C． D．【答案】BC【分析】根据函数的解析式，求出数列的前面的项，找到数列的项出现的规律，即可判断A，B；结合数列的项的规律求出，即可判断C，D.【详解】由题意知，故；；；；；；……∴数列从开始每3项，即重复出现，但前2项和后面项并不重复，故数列并不是周期数列，A错误，B正确．，，C正确，D错误．故选：BC．3．数列满足，则数列的第2023项为.【答案】/【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.【详解】由已知可得，所以数列为周期数列，且，所以，故答案为：4．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为4，则.【答案】3371【分析】由题意可得数列以3为周期，且，，，计算即可得.【详解】由公积为4，故，即有，故，即数列以3为周期，由，，故，即，由，故.故答案为：3371.5．已知，，且（n为正整数），则．【答案】1【分析】通过计算，发现数列的周期，根据周期求解即可.【详解】因为，，且，所以，，，，，，…，所以是以6为周期的数列，因为，所以．故答案为：.6．数列满足，，，若，，则.【答案】3【分析】根据题意分析可知数列是以周期为4的周期数列，结合周期性分析求解.【详解】因为，显然不合题意，则，可得，，，，所以数列是以周期为4的周期数列，且，所以.故答案为：3.题型二 累加累乘法7．已知数列满足，，则的通项为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【详解】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案.【分析】因为，所以，则当，时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合上式，所以，，，故选：D.8．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案.【详解】依题意，数列满足，，，所以，也符合，所以，是单调递增数列，由，解得，所以的最大值为.故选：B9．已知，，则数列的通项公式是（

）A． B． C． D．n【答案】D【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；【详解】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．10．已知数列中，，则．【答案】【分析】利用累加法求解即可．【详解】当时，，所以，又，符合，所以．11．在数列中，，且，则.【答案】4【分析】利用递推公式累加即可求解.【详解】由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案为：412．数列满足：，，则的通项公式为.【答案】【分析】先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.【详解】由得，，则，即，又，所以.故答案为：.13．在数列中,.(1)求;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式;（2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可.【详解】（1）因为,,所以,又,所以.因为也满足,所以.（2）因为,所以,即.题型三 “和”型（一）——与或与14．（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（

）A．是递减数列 B．是递增数列C． D．【答案】ABC【分析】根据已知条件，结合时，，即可求出，即可依次求解．【详解】数列的前项和，随着的增大不断减小，是递减数列，故A正确；数列的前项和，当时，，当时，，上式也成立，，随着的增大不断增大，是递增数列，且，故B，C正确；，故D错误．故选：ABC．15．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为.【答案】【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.【详解】数列的前项和为，当时，，当时，，，不满足上式，所以数列的通项公式为故答案为：16．已知数列的前项和为，且，则.【答案】7【分析】直接利用与的关系计算即可.【详解】由题意得.故答案为：717．已知各项都为正数的数列的前项和为，，满足(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和为.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系判断数列类型，后求解即可.（2）利用错位相减法直接求和即可.【详解】（1），当时，两式相减得，即，由，得，即，所以是首项为，公差为的等差数列．故.（2），，，两式相减，得，，故.18．已知是数列的前项和，且满足，(1)记，求证：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析(2)【分析】第一问用数列前项和与通项公式之间的关系即可求解，第二问通过恒等变形后，用裂项相消法求解.【详解】（1）当时，，解得．当时，，两式子相减得，，即可以得到，即又，数列是一个以1为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，，而故19．已知数列中，，设为前项和，．求的通项公式；【答案】【分析】根据与的关系，利用已知去求的方法求通项公式.【详解】当时，，解得，当时，，，，当时，可得，，当或时，，适合上式，的通项公式为；20．已知正项数列的前项和为，且，（且）.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；（2）利用裂项相消法证明即可.【详解】（1）∵，∴，又，∴，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，∴，当时，，当时，，满足上式，∴数列的通项公式为；（2）由（1）可知，，则，故，因为，故，即得证题型四 “和”型（二）21．设为数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用推导求解即得.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）当时，，当时，，两式相减得，则，当时，，又当时，，当时，，则，显然符合，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，所以.22．已知数列满足：.(1)求数列的通项公式．(2)记，数列的前项和．若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，时，得到，时，，与已知式子作差求；（2）利用裂项相消法求出，由的范围解决恒成立问题，根据不等式求实数的取值范围.【详解】（1）因为①，当时，，当时，有②，①②得：，所以，经检验符合上式，所以，，（2），所以，因为，所以不等式恒成立，则，解得：或.故实数的取值范围为.23．已知为数列的前项和，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)()(2).【分析】（1）对于已知和式的条件，一般是构造另一个和式与之作差，即可求出通项，不过需要检验首项是否符合,符合则是通项，不符合则分段表示通项；（2）对于通项型如的数列求和，一般考虑裂项相消法即可.【详解】（1）∵，∴当时，，两式相减得，即()，当时，，符合上式，∴的通项公式为()．（2）∵，∴，∴．24．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）按题意两式相减即可，注意验证首项（2）按题意算出通项，再裂项相消即可求解【详解】（1）当时，，解得．因为，所以当时，，两式相减得，即．因为满足上式，所以．（2）由题意可得，，．25．记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）解法一：由，得，两式相减化简可得，再利用累乘法可求得通项公式，解法二：由，得，两式相减化简可得，可得为常数列，从而可求得通项公式；（2）由（1）得，然后利用裂相消法可求得，从而可证得结论.【详解】（1）解法一：∵，两式相减可得，，可得，又∵，∴也符合．∴，∴，故；解法二：，时，，两式相减得，∴，又∵，∴，∴为常数列，，∴（2）证明：．前项和，∵，∴，∴，∴.26．已知数列满足，若，求的通项公式．【答案】【分析】利用关系求数列通项，所得通项公式注意验证，进而确定通项公式.【详解】由题设，当时，可得，则．而，，显然，所以.27．已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式；（2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果.【详解】（1）当时，，解得.当时，由，得，两式相减得，即，利用累乘可得，即，因为，所以；所以的通项公式为.（2）由（1）可知，裂项可得，则.所以数列的前项和题型五 “积”型28．已知数列为非零数列，且满足.(1)求及数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）通过构造，利用相除得到，进而求得;（2）对数列的前项和进行裂项相消，即可证明.【详解】（1）因为①所以当时，，解得，当时，②，由①②得，即，又满足上式，所以.（2）证明：因为，所以.29．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用与的关系可得是以3为首项，2为公差的等差数列；进而根据等差求和公式即可.【详解】因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3为首项，2为公差的等差数列；，故选：A30．已知为数列的前n项积，且，则．【答案】【分析】分和两种情况，结合的定义运算求解.【详解】当时，则；当时，则；注意到也符合上式，所以.故答案为：.31．已知数列的前项的积记为，且满足(1)证明：数列为等差数列;(2)若求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；（2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.【详解】（1）当时，，得，当时，，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知，，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.32．已知是等比数列，其前项之积，(1)求的通项公式，并求的解集；(2)求．【答案】(1)，，(2)．【分析】（1）分和两种情况，结合题意分析求的通项公式，代入运算求解即可；（2）求的通项公式，利用错位相减法运算求解.【详解】（1）当时，；当时，．当时，也符合上式，综上，，．令，即，整理得，解得或4，所以的解集为．（2）由（1）可得：当为奇数时，；当为偶数时，；所以.令，则，，两式相减得，所以．33．记是各项均为正数的数列的前项积，已知，.(1)求的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由与关系，转化为递推关系，再构造数列求解即可；（2）由，放缩后累乘可证.【详解】（1）因为数列的各项均为正数，故，由可得，，即.所以有，故是公比为2，首项为的等比数列，所以，.（2）方法1：由（1）可知，.所以.方法2：由（1）可知，.当时，，所以.题型六 待定系数法及倒数法34．已知数列满足递推关系：，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用构造法求出数列的通项公式，再求出数列的通项公式，即可得到结果.【详解】依题意，，由，得，即，而，因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，，所以.故选：C35．已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得.【详解】，即，可得，又，即有数列是首项为1，公差为4的等差数列，可得，即.故选：D.36．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为．【答案】【分析】确定，设得到，故，变换得到，设，计算数列的最大值得到答案.【详解】，故，设，则，，是首项为，公比为的等比数列，故，，，即，即恒成立，设，设的最大项为，则，解得，故第4项或者第5项最大为，故故答案为：.37．已知数列满足，则的通项公式为.【答案】【分析】对取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.【详解】对两边取倒数得，即，当时，，，，，，将以上各式累加得，又，所以，所以，当时，也满足，所以.故答案为：38．设数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法可求得.【详解】（1）解：因为数列满足，，则，且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，所以，，则.（2）解：因为，所以，.39．已知数列，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前n项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）变形得到，则是首项为1，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；（2）求出，利用错位相减法求和.【详解】（1）因为，所以，其中，故是首项为1，公比为2的等比数列，故，所以；（2），所以①，故②，两式相减得，，故.题型七 “同除”法40．（多选）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】对于A选项，只需判断；对于B选项，通过通项公式可求得；对于C选项，将条件转化为，举出反例即可判断；对于D选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判断.【详解】由条件，两边同时除以，得，∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，对于A选项，∵，∴，∴，故A选项正确；对于B，，所以B选项正确；对于C选项，，等价于，因为，所以当时，，故C选项错误；对于D选项，，∴，又，∴，∴，故D选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键.41．已知数列满足，，则数列的通项公式为【答案】【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式.【详解】由得，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以所以.故答案为：42．已知数列中，且，则数列的通项公式为.【答案】【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等比数列的定义求解即可.【详解】∵，等式两侧同除，可得，令，则，∴，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即，∴，即.故答案为：.43．已知数列的前项和为，满足，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前20项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由给定的递推公式，利用构造法求出，再求出数列通项作答.（2）利用（1）的结论，借助裂项相消法求和作答.【详解】（1）由，得，而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，当时，，显然也满足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.44．已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式；（2）根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求的范围.【详解】（1）因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以（2）由题意知，，所以，，两式相减得，，所以＝，因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，因为，所以，所以，所以45．在数列中，，．求数列的通项公式.【答案】【分析】递推公式推得，判断数列为等差数列，求出公差d，再写出通项公式.【详解】因为，所以.由可得，所以.又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.题型八 隔项数列46．已知数列满足，，，.(1)求数列的通项公式；(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；(2)假设数列中存在三项数列(其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可.【详解】（1）由，得以上两式相比，得,由，得,所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,数列是首项为6，公比为4的等比数列，,综上，数列的通项公式为.（2）假设数列中存在三项数列(其中）成等差数列，则.由（1）得，即,两边同时除以，得(*)(*）式左边为奇数，右边为偶数(*）等式不成立，假设不成立.所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列．47．（多选）对于数列，若，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．【答案】