考点26 空间向量在空间几何中的运用（解析版）

考点26空间向量在空间几何中的运用

知识理解

一.设直线/,加的方向向量分别为。，b,平面a,4的法向量分别为〃-n2,则有如下结论:

位置关系向量表示

ULLSIL<O1

U/lz

直线11,4的方向向量分别

线线位

ULW

置关系为《，n2

ULLUuUM

山

12nx-Ln2a%•n2=0

1U1K

1//an=〃•m=°

直线]的方向向量为：，平

线面位

置关系面。的法向量为21OiU

1A.a〃〃机Q〃=km（A£R）

1UL1U

aHB〃〃=

面面位平面。，£的法向量分别为

1UL

置关系n,m

1111tl

a18n工m。n*m=0

二.点面距

已知A8为平面a的一条斜线段（A在平面a内），〃为平面a的法向量，则B到平面a的距离为

d=]\AB\cos<AB,n>|=||AB\竺〃|=理且注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题.

\AB\\n\\n\

三.异面直线所成角

rr

a冒）ii

设异面直线a,6所成的角为则cos。=cosO=耶，其中分别是直线a、b的方向向量

四.直线与平面所成角

1为平面。的斜线，a为］的方向向量，”为平面。的法向量，。为I与。所成的角，则

11

rragrirJI"

s〃s=|cos〈a,〃）|=十广（直线与平面所成角的范围为|_0,Tj）

五.二面角

IXI*ULUU

平面«的法向量为外,平面p的法向量为〃2，〈/2］，n2>=8,设二面角大小为9,则

cos0=|cos6|=

IIIn2|

考向分析

考向一空间向量证平行垂直

【例1】（2020•全国高三专题练习）如图所示，平面序区L平面力腼，为正方形，△序〃是直角三角

形，且必=4?=2,E,F,G分别是线段为，PD,5的中点.求证：

（1）"7平面EFGx

（2）平面跖6//平面PBC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为平面为〃，平面力及力，且力为正方形，所以/反AP,两两垂直.

以4为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),〃(0,2,0),

一(0,0,2),£(0,0,1),AO,1,1),6(。2,0).

法一：赤=(0,1,0)屈=(1,2,-1)

设平面加"。的法向量为〃=(x,y,z),

n-EF=0fy=0_

则〈_八，即/c八，令z=l,则"=(1,0,1)为平面£7若的一个法向量，

n-EG-0[x+2y-z=0

丽=(2,0,-2)，

二而i=0,所以1"L而,

平面EFG,

JPBH平&EFG.

法二：方=(2,0,-2)，FE=(O,-1,O).W=(l,l,-1).

设丽=s理+r桥

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(l,1,-1),

7=2

所以T-S=0解得s=t-2.

—t=—2

~PB=2FE+2FG＞又户后与而不共线，所以而，布与时共面.

冽平面EFG,

.，.必?〃平面EFG.

<2）由（1）知：炉=（0,1,0）,比=（0,2,0），

BC=2EF，所以BC//EF.

乂小平面PBC,B3平面PBC,所以“7/平面PBC,

同理可证GF//PC,从而得出第/平面PBC.

又EFCGF=F,EFu平面EFG,GFu平面EFG,

.•.平面仍少/平面PBC.

【举一反三】

1.（2020•全国高三专题练习）如图所示，在直二面角。-钻-£中，四边形ABC。是边长为2的正方形,

AE=EB,尸为CE上的点，且平面ACE.

（1）求证：AE_L平面BCE；

（2）求证：平面平面ABC。.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】•••48。。为正方形，.，.3。148,

•二面角。为直二面角，,BC_L平面AE3,

以线段AB的中点为原点。，OE所在直线为x轴，

AB所在直线为了轴，过。点平行于AD的直线为z轴,

如图，建立空间直角坐标系。-型,

则4(0,-1,0),3(0,1,0),C(0,l,2),D(0,-l,2),

设E(Xo,O,O)(』>0),

•••F为CE上的点，EC=(-A；),1,2),

...设前=2沅=(—/Uo，/l,2/l),/((1—田/，42/1),

JBZ7=((1——1,2^,)>AC=(0,2,2)>AE=(毛,1,0),

；8尸，平面ACE,...而./=2(九一1)+4/1=0，

—.—.1212

FLBF-AE=(l-2)^+A-l=0.解得题=1,2=-,AE(l,0,0),,

⑴荏=(1,1,0),而=(-1,1,0),.,•荏・砺=0，•••AE18E,

•；BC_L平面AEB,J.AE,A£_L平面BCE；

(2)由题意可知，平面ABC。的法向量为。2=(1,0,0),

___222

设面的法向量为正=(x,»z)，BF=,而=(0,—2,—2)，

____222

m-BF=-x——j?+—z=0II.m-BD——2y+2z=0,取z=l,则y=l,x=0,

二行=(0,1,1),...肩.诙=0，•'•平面8QFL平面ABCO.

2.(2020•全国高三专题练习)如图，在多面体中，四边形44即是正方形，AB=AC,BC=叵

AB,BxC\=—BC,二面角4-心C是直二面角.

2

求证：（1）45_L平面A4C；

（2）胡〃平面4GC

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析.

【解析】因为二面角4-//。是直二面角，

四边形4488为正方形，

所以441.平面BAC.

又因为AB=AC,BC=y/2AB,

所以NC46=90°,

即CALAB,

所以49,AC,两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设715=2,则4(0,0,0),5(0,2,2),4(0,0,2),以2,0,0),G(l,1,2).

(1)丽=(0,2,0),卒=(0,0,-2),AC=(2,0,0),

设平面力4c的一个法向量［=（人y,z）,

无4^二0—2z=0x=0

则《即V即《取y=l,则］=(0,1,0).

n-AC=02x=0z=Q

所以A瓦=2k

即丽//日.

所以48,平面AA.C.

(2)易知福=(0,2,2),祠=(1,1,0),不=(2,0,-2),

设平面4GC的一个法向量而=（加，外,zi）,

ZM-AC.=0[x+y.=0

则〈2LJ，即已：八，

m-A^C=0[2^—2zj=0

令汨=1,则y1=—l,zi=l,

即而=（1，—LD.

所以福石=OX1+2X（—1）+2X1=0,

所以福_1五，

又仍Q平面4GG

所以44〃平面4GC

考向二空间向量求线线角

【例2】（2021•西安市航天城第一中学）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形

的四面体称为鳖腌，如图，在鳖蠕/腼中，平面时，且/庐陷切，则异面直线“1与被所成角的余

弦值为（）

【答案】A

【解析】如图所示,

分别取AB,AD,BC,的中点E,F,G,O,则EF//8O,EGIIAC,FOLOG,

：.NFEG或其补角为异面直线AC与BD所成角.

设AB=2a.则EG=EF=V2a»FG=\/a2+a2=42a1

ZFEG=60°,

，异面直线AC与8。所成角的余弦值为J,故选：A.

【方法总结】

方法一：几何法求线线角

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为

共面直线问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,^,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条

异面直线所成的角.

方法二：空间向量

建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平

面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

【举一反三】

1.（2021•广西河池市）如图，在四棱锥中，PA_L平面ABC。，四边形A8CO为正方形,

PA=AB,E为AP的中点，则异面直线PC与OE所成的角的正弦值为（）.

p

rV15

5

【答案】I）

8。相交于点0,连0E、BE,

BC

因为E为AP的中点，。为AC的中点，有PC/OE,可得N0ED为异面直线PC与DE所成的角，不

妨设正方形中，AB=2,则PA=2,

由PA_L平面ABC。，可得

则即—"7=石，OD=-BD=-x2y/2=>/2,

因为8E=OE,。为8。的中点，所以NEOO=90。，sinNOED="=华=幽.故选：D.

DE&5

2.（2021•陕西西安市•西安中学）如图，四面体A8CO中，CD=4,AB=2,E,/分别是的

中点，若EF_LAB,则EF与C。所成的角的大小是（）

【答案】A

【解析】如图所示:

取比的中点G,连接FG,因为£,F,G都为中点，所以EG"AB,FG//CD,

所以NFEG,DEFG分别为异面直线砥与｛及颂与切所成的角，

因为EFLAB,所以NEEG=90°

又因为CO=4,AB=2,所以EG=1,FG=2所以sin/EFG='，

2

ITIT

因为NEFGe（0,-）,所以NEFG=-故选：A

26

3.（2021•安徽高三期末）已知棱长为2的正方体ABC。—44GR中，p,E,F,G分别为Cg,CD,

RD,A4的中点，则异面直线GR与PE所成角的余弦值为（）

A.-B.—C.—D.逅

3336

【答案】C

【解析】如图所示:

取AG中点H,连接HF,则即//PE,即NGFH为异面直线GF与PE所成的角，可得HF=血，

至=走.故选:

GH=2所以GF=J%,从而得到cosaC

V63

考向三空间向量求线面角

【例3】（2020•北海市北海中学高三月考）在四棱锥--49（力中，为，底面4腼，ADLAB,AB//DC,AD=

DC=AP=2,/6=1,点£为棱A7的中点.

（1）求证：BELDC；

（2）求直线PC与平面/Y火所成角的正弦值.

72

【答案】（1）证明见详解；（2）

3

【解析】（1）证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图:

可得B（1,0,0）,C（2,2,（））,0（0,2,0）,P（0,（）,2）,E（1,1,1）,

丽=（0』,1）,配=（2,0,0）,故而.反=0,所以BE，。。.

(2)丽=(—1,2,0),而=(1,0,—2),PC=(2,2,-2)

设7=（x,y,z）为平面FBD的一个法向量,

n-BD=0f-x+2y=0

一叫不妨令y=l,可得3=(2,1,1).

nPB=()x-2z=0

设直线小与平面/少6所成角为。

于是有sind=|cos/n,PC\|=，L|._j|=.厂4厂=坐,

1'71\n\\pc\76x2733

所以直线尸C与平面PBD所成角的正弦值为Y2.

3

【方法总结】

解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：

（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；

（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.

（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.

（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.

【举一反三】

1.（2020•浙江高三期中）如图，已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,

AC1BC,PA=AC=BC,DB=2AD,JAE分别为PB、PC的中点，"为AE的中点.

（I）求证：MN1CD；

（ID求直线P8和平面PC。所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（H）旦.

3

【解析】（I）证明：如图，以。为原点，C4,C8所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系,

p

z

设PA=AC=8C=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(2,0,2),

所以“(1,1,1),E(l,0,1),呜，。["1*：，。)

所以丽=(W①

―•-.1421

因为MN-C0=—x——lx----x0=0,

2332

所以MN，CO.

(II)由(I)知丽=(一2,2,—2),而=(2,0,2)，

设平面PCD的法向量力=(x,y,z),

[42

CDn=0,—x+—y=0,

则《得<33-

CPn=0.

2x+2z=0.

令x=l，则y=-2,z=-l,故平面PC。的•个法向量为方=(1,-2,—1),

设直线PB与平面PC。所成的角为。，则

,八\PBn\|-2xl+2x(-2)-2x(-l)|4夜

~\PB\\n\~V4+4+4XV1+4+1-2Gx而-3

所以直线PB和平面PCO所成角的正弦为YZ.

3

2.(2021•浙江绍兴市稀兴一中高三期末)在三棱锥A中，AB=AD=BD=2，BC=DC=6,

AC=2.

A

D

B

（1）求证：BDLAC；

3

（2）若P为AC上一点，且AP=—AC,求直线BP与平面ACO所成角的正弦值.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）WL

7

【解析】（1）取8。中点。，连接AO，0C,因为=BC=DC,

所以8O1.AO,BD1OC,又因为AOnOC=。，所以30,平面AOC,

即BDYAC.

（2）由（1）得，8O_L平面AOC,又因为BOu平面8CO,

所以平面AOC±平面BDC,

易得AO=g，0C=\,所以4。2+。。2=4。2,即AOJ.OC,

又因为平面AOCI平面80c=0C,所以4。_£平面3。。，

如图所示，以射线OB，OC,0D为x,y,z正半轴建系，

A(0,0,V3),80,0,0),C(0,l,0),£>(-1,0,0),P

30—,「—.

丁丁，E>A=(l,0,V3).DC=(1,1,0).

万,DA,—0x+=0

设万=（x,y,z）为平面AOC一个法向量，则有___=＞〈，取方=（一3,3,6），

设。为直线5尸与平面ACO所成角，则卜由。|=

即直线与平面ACD所成角的正弦值为勺5.

7

3.（2021•浙江绍兴市•高三期末）已知三棱柱ABC—A4G中，平面4CG4•平面ABC,

A4,=AC=CA,=BC,AB=^BC.

（I）求证：8C_L平面AC04:

（ID求直线Ag与平面ABC所成角的大小.

【答案】（I）证明见解析；（II）60°.

【解析】（I）如图所示：

H

证：作A"，AC于”.

因为A"u面AAC,面AAC_L面ABC且交于AC.

二4”_L面ABC,

因为BCu面ABC,.•.A”_LBC(1)

在口48。中，由BC=AC,AB=3BC，得到3。2+4。2=4§2

4CB=90。，即4CJ.8C(2),

由(1)(2)得BCL面4AC.

(II)方法1(几何法)

如图所示：

取AC的中点G,取A8的中点。，连AG,DG,则AG^AC,

由（I）可知面ABC面A,AC,且面48cn面AAC=A。

所以AG上面ABC，则ZADG为所求线面角.

在匚A4C,设4。=*=A4,=2。，则4G=V^a，

由。、G分别为AB,A。中点，得OG=；8C=a,

在RtVADG中，tanZADG=—=—=73.

DGa

即直线AB,与平面ABC所成角60°

方法2（坐标法）

以AC中点。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系:

设AC=2,A(1,O,O),5(—1,2,0),C(-1,0,0),型0,0,扬,西=(1,0,回而=(0,2,0).

设平面A,BC的法向量为=(x,y,z),则

n-CAj=0y=0

由《解得＜

n-CB=0x=-

取万=(一G,o,l).

藕=丽+丽=(-2,2,0)+(-1,0,6)=(-3,2,我,

cos〈福,弁＞|=迪=走.

记所求线面角为。则sin6=|

112x42

即直线AB｝与平面ABC所成角60°.

考向四空间向量求二面角

【例4】(2021•盐城市伍佑中学高三期末)在三棱柱ABC—44G中，CG，平面ABC,AB1AC,

AB^AC^AA,,E是AG的中点.

(1)求证：AB八CE：

（2）求二面角8—CE—A的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵

【解析】（1）在三棱柱ABC-44G中，CGJ•平面ABC,则AA,，平面ABC,

vABYAC,以点A为坐标原点，AB.AC、A&所在直线分别为X、》、z轴建立空间直角坐标系,

如下图所示：

设AB=AC=A^=2,则4(0,0,0)、5(2,0,0),C(0,2,0)、E(0,l,2),

通=(2,0,0),CE=(0,-l,2),则就建=2x0+0x(T)+0x2=0,

因此，AB人CE；

(2)设平面BCE的法向量为记=(4y,zj,CB=(2,-2,0),CE=(O,-l,2),

由<_k-八，取y=2,则％=2,4=1,可得机=(2,2,1),

m-CE=—y]+2Z1=0

i一一m-n22

易知平面ACE的一个法向量为〃=(1,0,0),COS<^,H>=g-p[=—

由图形可知，二面角3—CE—A为锐角,

2

因此，二面角3—CE—A的余弦值为

【方法总结】

利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标：

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半

平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是

钝角，从而得到二面角的余弦值.

【举一反三】

1.（2021•湖北高三月考）如图，在四棱锥P—A6c。中，平面PA。J_平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,CD=PD=AD=.

（1）求证：平面P8CJ•平面PAB；

（2）若AP=OC=2,求二面角。—PC—3的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

5

【解析】（1）证明：取的中点的中点F,连接。

AB

因为点E是P8中点，点尸是PA中点,

所以EE//A8,且曲'=—.

2

AD

乂因为A8〃CD,且C£>=——，

2

所以EFV/CQ,且EE=CO,

所以四边形EFOC为平行四边形，

所以CE//OF.

因为平面PAD平面ABCD,平面PAD0平面ABCD=AD,AB±AD,ABu平面ABCD,

所以45，平面PAD,又。尸u平面PAD,

所以A81。立

因为PD=AD,点F为PA的中点，

所以AP.

因为CE//。匠,所以CE_LA5,CE，AP.

又APcAB=A,AP,A8u平面PAB,

所以CE_L平面PAR

又因为"u平面PBC,

所以平面PBC,平面PAR

(2)作A。,3c的中点分别为O,G,连结OP,OG,则OG//AB,

因为AB±平面PAD,PO,ADu平面PAD,

所以AD,

所以OGLAD,OGLPO.

因为AP=£>C=2,CO=PO=AD=2,

所以为正三角形，

所以PO上AD,DF=PO=J^,AB=4

所以PO，OG,PO±A£>,OG±AD,

即OA,OG,OP两两垂直,

以点。为坐标原点，分别以砺，砺，丽的方向为x，％z轴的正方向，建立空间直角坐标系

则用0,0,6),C(—1,2,0),0(—1,0,0),8(1,4,0),

所以而=(一1,0,—g),PC=(-1,2,-V3),BC=(-2,-2,0).

设平面PDC的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-PD=0,任=0

贝"一一，即〈「

nPC-0,[—x+2y—y/3z-0,

取z=1,则n=(->/3,0,1)；

设平面PBC的一个法向量为m=（x;y',z'）,

m-PC=0,[-x'+2y'->/3z'=0

•5C=0,[-2/-2/=

取x'=-l,则肩=(一1,1,6),

m・n2A/3

所以cos（加•〃）=

\fn\\n\2^5~~T

所以sin(m,〃〉=

所以二面角。-PC-3的正弦值为典.

5

2.（2021•山西吕梁市•高三一模）如图，四棱锥S-ABCO中，AB//CD,BC1CD,侧面SCO为等

边三角形，AB=6C=4,CD=2,SB=245-

（1）求证：BC1SD；

（2）求二面角8—AS—。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）得.

19

【解析】（1）由已知BC=4,SC=2,SB=2陋得,

SB2=BC2+SC2^所以NBCS=90。，所以BC_LCS,

乂Bc，a),concs=c,所以8c_L平面sc。,

乂SOu平面SCO,所以BCLSO.

（2）以。为坐标原点，取A8中点£,

诙，觉的方向分别为“轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系。-型，

则5（4,2,0）,A（4,-2,0）,S（0,l,V3）.

所以方=（4,一2,0）,DS=（0,l,V3）,AB=（0,4,0）,B5=（-4,-1,^）.

平面DAS的法向量为m=（x,y,z）,

m-DA=04x-2y=0

则《一，叫

m-DS=0y+6z-0

即X=l,则y=2,z=-述

3

所以沅

平面84S的法向量为乃=（。力,c）,

n-AB=04b=0

则〈一，即《，得b=0,

n-BS=0-4a-b+\lr3c=0

取。=百，则c=4,所以乃=（6,0,4卜

m-n5

从而cos俯⑻

同|同l+4+|xV16+319

因二面角8—AS—。为锐角，故二面角8—AS—。的余弦值为白.

19

3.（2021•江西赣州市•高三期末）在如图所示的几何体中，口48。，△ACE,△BC。均为等边三角

形，且平面ACEL平面ABC,平面BCO_L平面ABC.

(1)证明：DEIIABx

(2)若A3=4,求二面角8—CE—。的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)y.

【解析】(1)

证明：如图示:分别取AC,的中点尸，G,连结EF,DG,FG

因为△ACE,△8CO均为全等的等边三角形,

故EF_LAC,DG1BC且EF=DG

又因为平面ACE，平面ABC且交于AC,

平面BCD±平面ABC且交于BC,

故E尸_L面ABC,OG_L面ABC

从而有EF//DG,又EF=DG,

进而得四边形OEFG为平行四边形，得：DEI/FG,又FG/IAB

即：DE//AB

(2)连结尸8,由［lABC为等边三角形，故结合E尸_1面48。，故分别以雨，而，FE

为X轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系

又48=4,所以A3=AC=3C=C£=AE=8Q=Cr>=4,DE=2,

则C（—2,0,0）,B（0,273,0）,E（0,0,2>/3）,G（—1,6,0）,

所以丽=（2,2百,0）,在=（2,0,26）,而=而=（一1,百,0）

令平面BCE的一个法向量为〃=（x,y,z）,

n-CB=2x+2s/3y=0

所以《一l取》=6,y=-lz=-1,

n-CE=2x+2sJ3z=0

所以平面ACD的一个法向量为〃=（G,—1,-1）

同理可求平面CDE的一个法向量为1=（后,1,—1）

令二面角8—CE—O为。，山题意M知e为锐角,

闻_gxG+（-l）x]+（_l）x（-l）_3

则COS0=COS

|n|,|^|J3+1+1xJ3+1+15

3

所以二面角8—CE—。的余弦值为彳

考向五空间向量求空间距

【例5】（2020•上海浦东新区•华师大二附中高三月考）如图，在四棱锥尸—A8CO中，底面A5C7）为矩

形，侧棱PO_L平面ABC。，E为尸。的中点，AD=3,PD=4,PC=5.

E

//、、、\\/

、\\/

/I//、、\\/

//、、、\\/

AL____'V

B

（1）证明：直线PA//平面BOE；

（2）求点A到平面P8C的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【解析】（1）连接AC交3。于。，连接E。，因为底面ABCD为矩形，所以。为AC中点,

因为E为尸。中点，在△PAC中，。,后分别为两边中点，所以OE//AP.

又因为OEu平面8QE，所以直线PA//平面5DE,

（2）建立如图所示空间坐标系，8=存*=3，P（0,0,4）,A（3,0,0）,B（3,3,0）,C（0,3,0）,

所以丽=(3,3,-4)，PC=(0,3,-4)>丽=(—3,(),4),

设”=(x,y,z)为平面PBC的法向量，PBn—0,PCn-0,

3元+3y-4z=0

所以《令y=4,其中一个法向量7=(0,4,3),

3y-4z=0

设点A到平面PBC的距离为d,

所以公\n-盾AP\1212

【方法总结】

利用向量方法求解平面外一点A到平面a的距离的步骤:

(1)建立合适空间直角坐标系，在平面a内取一点8；

(2)求解出而和平面a的法向量［；

心理

(3)根据W即可求解出点A到平面a的距离.

【举一反三】

1.(2021•吉林长春外国语学校)如图，平行四边形ABC。中，AD=2AB=6,E,尸分别为AO,5c的

中点.以EF为折痕把四边形EFCD折起，使点C到达点M的位置，点D到达点N的位置，且NF=NA.

M

（1）求证：平面AFN_L平面NEB；

（2）若BE=2。求点尸到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）6

【解析】（1）证明：idAFC\BE=O,连接,恸，

可知四边形/切/若是菱形，所以AEL3E,且。为小龙的中点,

乂NF=NA，所以AFJ.N。，

又因为NOnBE=O,NO,BEu平面八班，

所以AFJ.平面M氏

4尸u平面ARV,

平面A尸N,平面NEB.

（2）因为BE=2上，所以EO=也,

；四边形DEBF是平行四边形，,NF=DF=BE=26,

所以FO7EF2-E。=屈'

所以NO=NNF-F（f=76，

所以NO?+EO?=9=NE?，所以NOJ.BE,

又由（1）可知：NOVAF,且=AF,BEu平面4BFE,

所以NO,平面,仍/■万，以直线位为x轴，直线以为y轴，直线〃平为z轴建立空间直角坐标系,

则A（0,跖0）,B（-6,0,0）,E（瓜0,0）,F（0,-V6,0）,N（0,0,伺,

•••两=苏+雨=丽+丽=仪，0,甸+卜凤跖0）=卜后一跖回

所以皿-6-后佝，所以的=仅,-跖网，BE=（273,0,0）,FB=（-73,76,0）

设5=（x,y,z）是平面BEM的法向量，则

n-BM=00-V6y+瓜z=0fx=0

一=><广'，取y=l得反=（0,1,1）,

n-BE=Q[2V3x=0〔尸z

则点F到平面BEM的距离d==半=0.

同V2

7T

2.（2020•全国高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，NA8C=5，。是棱AC的中点,

且AB=BC=B4=1.

（1）求证：做〃平面8CQ；

（2）求直线Ag到平面BQ。的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）旦.

3

【解析】（1）证明：以8为原点，以BC,BA,所在的直线分别为x,J,z轴,

如图建立空间宜角坐标系，B(0,0,0),C,(1,0,1),£)(1,1,0),A(0,1,0),B,(0,0,1),

—.—.11----

BCt=(1.0,l),BD=(-,-,0),AB,=(0,-1,1).

设平面BCQ的法向量为元=(x,y,z),

x+z-0

z=-x

1Ic，

—x+—y=0

122，,y=-x

令x=l,IlJH=(l,-l,-l),

A^[7i=0xl+(-l)x(-l)+lx(-l)=0,

所以福，万，

因为4旦＜t平面BCtD,所以AB{//平面BCQ.

(2)解：因为AB//平面8G。，所以直线上任一点到平面的距离都相等，丽=(0』,0),

\BALn\_15/3

设直线AB1到平面BCQ的距离为d,则d=闭一国一H

所以直线AB到平面BCQ的距离为旦

｝V

强化练习

1.(2021•北京高三期末)如图，在四棱锥P—ABC。中，/胡。=90°，AD//BC,PAA.AD,PALAB,

PA=AB=BC=-AD=2.

2

(I)求证：BC//平面PAO；

(II)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

【答案】(I)证明见解析；(n)逅.

6

【解析】(I)证明：

解法1.因为8C//4O平面PAOAOu平面所以BC//平面PAO

解法2.因为PA_LA£),PALAB,ADAB,

所以以A为坐标原点，4B,A2AP所在直线分别为x轴、y轴、Z轴，建立如图所示空间直角坐标系A一型，

则40,0,0),8(2,0,0),£>(0,4,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

平面PA。的法向量为7=(1,0,0),阮=(0,2,0)，

因为7.BC=Oxl+2xO+OxO=O，BC<z平面PAD，所以BC//平面PA。；

(H)解：因为PAVABADLAB,

所以以A为坐标原点，ARAD,AP所在直线分别为x轴、，轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系A一肛z,

则4(0,0,0)4(2,0,0),。(0,4,0),P(0,0,2),C(2,2,0)

所以平面PA3的法向量为3=(0,1,0)

设平面PC。的法向量为而=(x,y,z)定=(2,2,—2)，而=(0,4,—2)

\mLPCfm-PC=0[2x+2y-2z=0x=y_

所以4__=>\=><=>c，令〉=1得利=(1,1,2),

m±PD'PD=0[4y-2z=0z=2y

-------n-m1V6斥

cos<n,m>=^pi=j—设平面PAB与平面PCO所成角为夕。为锐角，所以cos®=贵.

2.(2021•安徽淮北市•高三一模)如图，在多面体A3CO"G中，四边形A3C。是边长为3的正方形，

EG//AD,DC//FG,且EG=AO,DC=3FG,0G_1面48。£),DG=2,N为EG中点、.

(1)若M是CF中点，求证：MN"面CDE；

(2)求二面角N—BC—F的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)也5

26

【解析】(1)•.•。6，面48。。，四边形A8CD是边长为3的正方形，

以点。为坐标原点，DA^DC,0G所在直线分别为X、)'、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

(3

则5(3,3,0)、C(0,3,0),0(0,0,0)、E(3,0,2)、E(0,l,2)、N-,0,2、M(0,2,1),

7

|，-2,)

反=(0,3,0),海=(3,0,2),MN=

a-DC=3y=0

设平面COE的法向量为£=(x,y,z),由

aDE=3x+2z=0

令x=2,可得y=0,z=-3,则〃=(2,0,—3),

—--3

=—x2—2x0—1x3=0:.MN

2

MN(Z平面CDE,：.MN//平面CDE；

(2)设平面BCN的法向量为而=(%,y,zj,国=(3,0,0),函=(|,—3,2：

m-CB=3%=0

由《一3，

m・CN=5%一3y+24=0

令y=2,则M=0,4=3,可得机=(0,2,3),

设平面BC下的法向量为元=(X2，%，Z2)，CF=(O,-2,2),

nCB=3X=0八],i/、

由一一2,取为=1，则％2=0，Z2=l,可得〃二(0」,1),

nCF=-2y2+2z2=0

-m-n55>/26)--------------

c°s<j"=丽=而亚=在''sin<«>=71-cos2<m,H>=—

因此，二面角N—BC—E的正弦值为叵.

26

3.（2020•赤峰二中高三三模）如图所示，在平行四边形力以笫中，AB=4,BC=272>NABC=45°,

点£是位边的中点，将△ZME沿施折起，使点〃到达点户的位置，且PB=2瓜

（1）求证；平面P4E_L平面/腔1；

（2）求点£到平面为6的距离.

【答案】（1）见解析；（2）0

【解析】（1）；在平行四边形力比〃中，AB=4,BC=2O,ZA5C=45°,

点f是切边的中点，将△D4E沿花折起，

使点〃到达点夕的位