常熟理工学院《高等数学(a)》(下)期末复习题

虞山学院《高等数学（A）》（下）期末复习题

一、选择题

1.设向重M={3,2,1},B={2,g,Z},已知,J.B,则Z=(I))

A.2B.生C.二D.-竺

3333

2.设向量1(2,一3,6),则与Z同向的单位向量为(D).

A.(2,-3,6)B.--(2,-3,6)C.±1(2,-3,6)D.

77

1(2,-3,6)

3.a-3i—j—2k,b-i+2j—k,则42=(B).

A.2B.3C.4

D.5

4.当攵二()时，向量3={k,1,-1}与向量b={1,2,3)垂直o(B)

A.0B.1C.2D.

3

5.向量d="T2/在5=/3,0,4)上的投影为(A)

A.uB.8C.1D.0

52

6.设a=/2,lL，b={0,0,1/,则®石)二(C)

A.NB.工C.arccos显D.n-arccos^

2366

7.设向量5={4,-3,4},B={2,2,1},则(余)二(C)

7t

A.arcsin—；=B.0C.arccos—；=D.

V41V417

8.在空间直角坐标系中，点P（l,31）关于y轴对称的点的坐标是（D）

A.(1,3,1)B.(-1,3,-1)C.(-1,-3,1)D.(-1,3,1)

9♦直线k化成点向式方程为（B）

Ax—5_y+1_z+1Bx+5_y+8_z

3-2-1,3-2-T

px-5y+2z-1口x+5y-3z+2

321321

10.设向量。与方={2,-1,2}平行,ab=-18,则〉=(C)

A.{-4,-2,4)B.{-4,2,4}C.{-4,2,-4}D.

（4-2,4）

11.直线一=二4与平面2x-4y+3z=2的位置关系是（D）

A.平行B.重合C.垂直D,斜交

12.卬平面内抛物线y一绕）,轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是

(D)

222

A.y=x+zB.y+z=x~C.x2=y]y2+z2D.

z=0z=0

y=x2+z2

13.平面过％轴，则（A

A.B.B=O,C^OC.B^O,C=OD.

14.平面2z+3y=0是（C)

A.与x轴平行但无公共点的平面B.与yOz平面

平行的平面

C.通过x轴的平面D.与x轴垂

直的平面

15.在空间直角坐标系中，点（1,-2,3）关于原点对称的点的坐标

是（B）

A.(1,~2,一3)B.(―1,2,-3)C.(-1,-2,一3)

D.(1,-2,-3)

16.平面(B)

A.平行于.平面B.平行于y轴C.垂直于于由D.

垂直于X轴

17.f(x,y)=,=+sinx的定义域为

(D)

A.{(x,y)||x|<l,及|<1}B.{(x,y)||x|<l,y<l}C.{(x,y)||x|<l)

D.{(x,y)|x2+y2<1}

18.函数”石土尸…的定义域是(,।

A.{(x,y)|l<x2+y2<4}B.{(x,y)|l<x2+y2<4}

C.{(x,y)|l<x2+y2<4}D.{(x,y)|l<x2+y2<4}

19./(x,y)=ln(孙2)+Ji—x-y的定乂域是(D).

A.{(x,y)|x+yWl}B.{(x,y)|0<x+y〈l}

C.{(%,y)10<%,x+y<1}D.{(x,y)|0<x,0。<1}

2。设/(x,y)=ln(x-西-,其中

x>y>09贝U/(x+y,x-y)=(A)

A.21n(五一J7)B,ln(x-y)C.—(lnx-lny)D.

21no-y)

21.设/(孙,x-y)=/+V,贝！J/(x,y)=(B)

A.x+2yB.2x+y2c.2x+2yD.x2-2y

22.设函数2=/(2)=』，则下列各式中正确的是(C)

x+y

A.f(x,-)=f(x,y)B.f(x+y,x-y)^f(x,y)

X

C.f(y,x)=f(x,y)D,f(x,-y)=f(x,y)

23.二元函数—）=了十，a,”©“在点（°，°）处（C）

0,(x,y)=(0,0)

A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在

C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在

24.函数z=f（x,y）在点（Xo,yo）处具有偏导数是它在该点连续的

（D）.

A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

不存在存在，既不是0,也不

不存在

27.lim1\A).

+y

D.不存在

28.lim

(x，y)f(o,o)

A.-2c.不存在

29.设f（x,y）=^，则£氏丫）在（0,0）点处一阶偏导数（B）.

A.不存在B.存在C.可能存在也可能不存在D.以上都不

对

30.设/（孙,x-y）=/+y2,贝［J/［（x,y）+/\,（x,y）=（A）

A.2+2yB.2-2yC.2x+2yD.2x-2y

31.设/(x,y)=ln(x+2),则/；(1,O)=(A)

3x

A-BlC.iD.o

32

32.设z;=x2y+e'v,则另，i2)=(B)

A.1+eB.i+e2C.1+2/D.

l+2e

33.设小=cos(x2y)，则@=二（B）.

Sy

A.-sin(x2y)B.-x2sin(x2y)C.sin(x2y)D.x2sin(x2y)

34.设Z=g2y),则3=(A)

OX

A.Ixyf'^y]B.yf'^y)C.x2f\x2y]D.

xyf'^y)

35.设/(x,y)=M，+一号，则八(0,1)=(A)

元+y

A.2B.-2C.-

36.设则f(3,2)二(B

A.59B.56C.58D.55

37.设z=*,则dz=

(B)

A.exydxB.exy(ydx+xdy)C.ydx+xdyD.

exy(dx+dy)

♦z二

38.设z=e,vsinx,则

dx8y~

(D)

A.一e’cosxB.ey+eysinxc.-eysinxD.eycosx

39.设则dz=

(C)

A.—dx+—dyB・idx+^dyC.-dx+-dy

yx*y

D.xdx+ydy

40.f(x,y)^2-x2-y2的极值点是

(C)

A.(1,—1)B.(1,1)C.(0,0)D.

(0,2)

22

41.函数z=2x+y彳)处沿方向/724}的「向导数等于(c)

A.VsB.-VsC.2V5D.-2V5

42.函数〃=x2+y2+z.3孙在点/(LU)处沿11,2,2}方向的方向导数雪M为

dl

(A)

A.IB.IC.I(1,2,2}D.{-1,4,2)

43./(%,y,z)=-Jx2+y2+z2,则梯度graced,1,-3)为(C).

A.—专；B.{1,2,-2}；C.'卡，卡,—卡卜D.0

44.下列命题错误的是（B）

A.偏导数存在是可微的必要条件B.偏导数存在是连续

的充分条件

C.偏导数连续是可微的充分条件D.连续是可微的必要

条件

45.右人（%,）0）=0,力（%,凡）=0,则/（x,y）在（工0，%）处有（D）

A.连续；B.可微；

C.（x0,y。）为极值点；D.（x0,y。）可能是极值点，

也可能不是极值点

46.设函数z=/（x,y）在点（尤°，%）处可微，且于;5,%）=。，fy（x0,为）=0，

£"（%，为）＞°，/"（%,%）＞0,则函数f（x,y）在Gw。）处（B）.

A.必有极值，可能是极大，也可能是极小B,可能有极

值，也可能无极值

C.必有极大值D.必有极小

值一

47.二元函数z=（i一%）2+（1一方的极值点是（D）

A.（o,o）；B.（o,i）；C.（i,o）；D.（1,1）

48.设/（x,y）是连续函数，交换二次积分「叫[；/（苞加（。＞0）的积分次序的

结果为(A)

A.Jy)dx

C.J：时；/(x,y)公D.J加J：/(x,y)dx

JXf(%y)dy二(D)

49.交换二次积分顺序后,

A-J；时'；f（Xy）dxJ；时；吃丫心

c广I-xrI

cJ。时0股y）dxD.J；d)j(「f(x,y)dx

设/（x,y）在。：/+丁24],”o连续,则JJf(x,y)db=(C)

D

B

A.^~dO^f(rcos0,rsinO)rdr-J:时尸/(“力

C.J(，可)/(rcosJ,rsin0)rdrD・J：到%/(龙，y)力

50.设广（x,p）为连续函数，则积分£可,/（苍〉）办+可父换积

分次序为（C）

A.£'dyJ：f(x,y)dx+J：dyf(x,y)dxB.I：dyJ：f(x，y)dx+J；dyj；、f(x,y)dx

C£dyT'f(x，y)dxD-（dyj：f（x，y）dx

51.设。由x=O,y=l,y=x围成，则Jjf(x,y)dxdy=(D)

D

A•JHf"y}dxBJj"(x,y)dy

C•J：时)(乂DJ)可；/(x，y)dx

52.设I)：/+y24I,则=(C).

D

A.KB.1C.0

D.2n

53.设D：X?+y2KL则JJeTx2+y2)dxdy=(B).

D

A.TC(1-e)B.n(l--)C.7c(e-1)D.7l(lH—)

e

54.若区域。为x2+y2<l,则二重积分JJ于（x,y）dxdy化为累次积分为

D

(B)

A.j'F(r,0)drB.匚呵》（心6）公

£.

C.J\de\QF(r,O}drD.其中

F(r,6)=/(rcos^,rsin0)r

55.设Df+yvif是D上的连续函数,则JJ/(旧+V)dxdy—(A).

D

A.27ujrf(r)drB.4nj'rf(r)drC.27i^f(r2)drD.4TC£rf(r)dr

56.设积分区域O={(x,y)，+y24go,"。},则"而=(D)o

D

A.21B.7cC.—D.

2

71

~4

57.设£)是矩形域0<%《巴，-IWyW1,则JJxcos(2xy)dxdy的值为(D).

4D

A.oB.-1C.1D.1

242

58.设。是由所确定的平面区域，则a二

D

(B)

A.7tB.3万C.4nD.15%

59.设Q是平面z=l与旋转抛物面/+>2=z所围区域，则川兽仁化为

QX+y+1

三次积分等于()

A.广可一广可二“龙

J0Joj+厂Jr2J0Jr1+厂J。

C.Vde\'^dr\\dzX).Vde\\^dr\'dz

J0J。]+厂Jr2J-siJr-]+厂J。

60.设/=川血「，其中。为三个坐标面及平面x+2y+z=l所围成的闭区域,

Q

贝|」/=()

2X

A.J；公J。2办J；'xdzB.£tZz£dy^xdx

.I-x._

pir-ri-x-2y2y

C.£^y£2dxj。xdzD.£c/z£'xdy

61.设/其中。={（尤,乂2,）卜2+丁2+22<1*20},经球坐标变换后，I=

)

2兀元]

A.£dej，题/厂"sin夕cosB.『de[d(p^r2sin(pdr

2万开]

C.『dej加]r3sin9cos劭*D.IdOpd夕，，sin°cosRr

62.。为三个坐标面及平面x+2y+z=l所围成的闭区域，则仙2如fydz=

C

().

B.24C.1

6

63.设积分区域D：(x2+y2<l,y>0},则张沁=

D

(B)

A.2兀B.—C.zr

2

D.上

4

64.设/(x,y)连续，且/(x,^)=+jj/(w,v)dudv,其中。是由y=O,y=，,x=l所

围区域，则/(x,y)=(C)

A.xyB.2xyC.xy+lD.

xy+1

65.设L是y2=2x从(0,0)至U(2,2)的一段弧，则「泌=(C)

A.-B.--C.-(5V5-i)

333

D.，亚

3

66.设L是y2=4x从(0,0)到(1,2)的一段弧，则(B)

A.+dxB.[:yjl+^dyC.[:xjl+指dxD.j^l+4y2dy

67.设L是从点A(1,O)到点B([2)的直线段,则曲线积分

Jjx+y)ds=(B)o

A.V2B.2V2C.2D.

0

68.直线段AB上的曲线积分和直线段朋上的曲线积分有关系

(B)

A.JfABf(x,y)ds=-[JBA/(x,丁灿B.JfABf[x,yJB)Ads=ff(x,y)ds

C.9+1Jx,y)ds=0D.J/(x,y)ds=J*(-羽-桃

69.设L是从点(0,0)到点(2』)的直线段，则12泌=(A)

A.VsB.如C.Vlo

2

D.叵

2

70.设L表示椭圆/+/=],方向逆时针，则fjx+y2)小(D)

A.mbB,—mb2C.a+b2D.0

71.右曲线积分Jj，-3力公+3_$亩2y)dy与路径无关，则常数a=(B)o

A.--B.-3C.-D.3

33

72.设L从点A(l,l)到点3(1,0)的直线段，则下列等式正确的是

(D)

AJ”s=-gB.「xdy=1C.Jxdx-1D."=.g

73.设/=§吕dx+^^dy,,因为"=/=1一寸,所以(B)

Jcx+yx'+ydydx(x2+y2)2

A.对任意闭曲线a/=o;B.

在曲线C不围住原点时，/=o；

C.当闭曲线。围住原点时，/=o；D.

以上结论都不成立

74.已知曲线积分”(x,y)(ydx+xdy)与积分路径无关，则F(x,y)必满足条件

(C)

A.xFy=yFxB.xFv+yFx=0C.xFx=yFyD.

xFx+yFy=0

75.级数£(—i)"jp>0)的敛散情况是(A)o

Mnp

A.〃>i时绝对收敛，时条件收敛B.p<i时绝对收敛,P>\

时条件收敛

C.PKI时发散，P〉1时收敛D.对任何p〉o,级数

绝对收敛

61

76.级数7

«+i

（B）

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.

敛散性不确定

77.下列级数中发散的是（C)

00001

A1c.£(-i)"D

A•”而B.Yn=\~rn.

78.设级数”I）喘金为常数），则该级数（D）.

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛

D.敛散性与〃有关

79.级数£4+4)(A).

Zfnn

A.发散B.条件收敛c.绝对收

敛D.收敛

80.下列级数中发散的是（D)

32001

U+iB.Z；C.2MD.y(—+

ft100gn

81.下列级数中仅有（C）是发散的

§n

A.t-B.C.力4D.

42〃3T£1+"

n=i,

2一叫

82.下列级数中收敛级数是（A)

A85+2”_001

A.EB.y—L-

〃=13"勺2〃-1

83.设%是非零常数,则落空（B)

〃=0，I+〃

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.

敛散性与A有关

84.下列级数条件收敛的是(B)

81-001

A.£(-D"B.Z(T)"D.

n=\n=l1+〃“=iyjn

81

85.若级数绝对收敛，则下列正确的是（C,D）

n=\

oo

A.Z(«“+10*收敛B.£（-1）2,条件收敛c.E⑷+3发散

M=1M=1n=\n

D.t2.a„收敛

n=\

86.若无穷级数£占收敛，贝L满足（B)

n=［几

A.a<0B.a>0C.a<l

D.a>\

87.若级数£〃，收敛，则级数（D)

n=ln=\

A.收敛但不绝对收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散

性不确定

88.下列嘉级数中收敛域为［—1,1］的是（A).

_00

B.c.D.次

n=\

89•嘉级数"D.表的收敛域为(B)

A.(-1,i)B.(-1,i]C.[-1,i)D.[-1,1]

二、填空题

1.设]={2,0,1}石={1,2,一2},则向量M与B的夹角是

71

~i-------------------・

2.已知向量«={3-1,0},b={2-3,2},则数量积a-b=

9

3.设£=(0,1,2)3=(一1,1,一3),小=一5

4.设直线*=当、与平面—2y+3z+4=0垂直，则常数

a=.

5.通过点(4,一1,3)且平行于直线辞一=得的直线方程为

x—4z—3

2一)'+5-.

6.直线等=号=2与平面x+2y+2z=6的交点为(36,-28,

13).

7.点(0,-1,3)到平面2x-6y-z+10=0的距离为

13

亚-------------,

8.X。平面内的抛物线z=2F+l绕z轴旋转一周所得曲面方程是

Z=2,+>2)+].

9.my平面内曲线?一/;1绕X轴旋转一周，所得的旋转曲面的方

程为一千一用

..sinxyo

10.lim-----=乙•

yX-f2?X

11.极限•二^<=6

/xy+1-1

yfOY-

12.1o

^x'+y~

1

13.设f(x,y)=Jx?+y2,贝I/；(1,2)=—•

亚

14设

/2y

£获,则九(1,0)=2£

15设

Xzaz

&=xln>，-'\ny_____________________

6

Hz

-Jzy2dx+2xydyo

17.设z=2”，则dz=2^(yin2dx+xln2dy)・

18.设函数Z=COS(*2y),则dz=___-sin(x2y)(2xydx+x2dy).

19.函数z=(sinx)y,贝(Jdz=

ycosx(sinx)v+(sinx)yln(sinx)dy.

20.设则疝==L-^(xcbc+-dy)o

gy+42.

21.设z=sin(3x—丁)，贝Udz=cos(3x1y)(2dxYy).

22.设z=ef,则dz=

ex~2y{dx-2dy).

yy}y

23.设z=x9贝！J(散分dz-yx~dx+xInxdy.

222

24.由方程x-by+z-4z=0确定的隐函数z=z(x9y)的偏导数

dx2-z

25-设则知。---------------------------

s

26.设z=arctan^,则鲁=74鼻___________________。

xdxdy(x+y")

27.设〃=孙+上，贝二1一-vo

XX2---------

28.设函数〃=£;则=x>T(l+yln尤)o

dxdy----------------------------------------------

29.设2=号=狈吟=――J__________o

历7&(…户

30.若函数/(国力=，+2xy+3y2+依+分+6在点(1,-1)处取得极值，

则常数。=_0_1=_4_。

31.若函数2=2/+2/+3孙+必+功在点(-2,3)处取得极值，则常数a,Z?

之积"=§.

32.函数z=上在点(0,1)处沿向量方向的方向导数为

V2V2

1

正

33.函数〃=8/丁_2)，+以+62在原点沿向量£={2,3,1}方向的方向导数

为4.

V14-----

34.函数z=，+y2在点(1,2)处沿从点A(1,2)到点B(2,2+73)

的方向的方向导数等于1+26_。

35.函数Z=商.'在点P(1,O)处沿从点P(1,O)到点Q(2,-l)的方向的方向导

数等于-1

正

2x

36.梯度grad{—^~~-)—{-

x+y(x2+y2)2'(x2+y2)2

37.曲线尤=「0=2。=1在对应于”0点处的切线方程为

223

38.曲面z="-2孙+3在点(1,2,0)处的切平面方程为

(e-4)(x—l)—2(y—2)—z=0.

39.曲面z=4一Gy?在点(1,1,2)处的切平面平行于平面

2x+2y+z=0.

40.交换二次积分£dxff(x,y)dy的次序得

办'J；/(乂y)公+Cdyj^f(x,y)dx.

22

41.改变积分J：时)(内心的次序为

I：必y)dy--------------

42.父换积分顺序后，j，xJ；/(x,y)dy=L：/(x,ya。

43.交换二次积分的次序「对二f(x,y)dy=

［办f/(x,y)dx______0

JOJarccosy

44.改变积分加的积分次序为

J；我匚/(X，y"+fdy\\于(X,y}dxO

45.父换积分次序J：时:"/(x,y)dy=_£时；'/仆,},心。

46.交换二次积分的次序得

/(x，y心•

47.父换二次积分的积分顺序后，J：叱［(x,y)办=_£我［；/(羽了)公

48.设积分区域O：f+y244,0<y,则“5JMy=10%.

D

49.设D:+/V1,则JJydxdv=0.

D

50.设Q:04x〈l,0<y<2(l-x),贝Ujja-x)公力=__-___________.

D3

51.设平面薄片占有平面区域D,其上点(x,y)处的面密度〃(x,y)为

连续函数，则薄片的质量M二__y)dxdy______。

D

52.设Q为球体f+V+z241的第一卦限部分，则J"—/f%?9：

C

53.设。为球体/+y2+z)<“2(〃>()),贝(JJJJdxd)dz=.

n

54.设Q为立体OWxWl,-IWyWl,0<z<2,则三重积分

JjJ(1+x)dxdydz-.

n

55.设Q为立体0<z<x2+/,-1<y<1,-1<x<1,则

jjjdxdydz

c

56.设Q是平面Z=1与旋转抛物面/+y2=z所围区域，J"/。,*"化

Q.

成三次积分为.

57.设c是由点。(0.0)到点4W的直线段，则

---------O

2-----------------------------

58.设A3为由点A(0,万)到点8(匹0)的直线段，则］sinydx+s\nxdy=

JAB

0O

59.设L是%/平面上点A(O,O)到点8(1,2)的有向直线，方向是从A

到B,贝！JJ,(1+y)dy-4o

60.设L是从A(l,-1)沿y2=x到5(1,1)的弧段，则2M=

4

7

61.设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则虫2个公+*26=

0

62.设曲面方程z=/(“)，其在⑷平面上的投影为D,则求该曲面

的面积公式为_JJa+(f；)2+(f；¥dxdyo

D

63.设P(x,y)、Q(x,y)在x”平面上具有一阶连续偏导数，则曲线积

分［P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关的一个充分必要条件是

Q；(x,y)=P；(x,y)。

64.设曲线积分J/dx+Q力,与路径无关，则与其等价的结论为

Q；(X,y)=P；(x,y)和Pdx+Qdy=dz.

65.级数£(.】)〃粤是条件收敛(发散，条件收敛，绝

对收敛)的。

66.幕级数之口"的收敛半径为R=3______________。

n=03

67.幕级数少」炉的收敛半径R=5.

«=|5yjn

68.幕级数£工的收敛半径为42。

69.幕级数的收敛半径为5o

念5"册----------------------

70.£3x2。的收敛半径是OO

on------------------

n=l乙

71.幕级数£二的收敛半径为2___________________.

n=\2

72.幕级数%的收敛半径为2

73.设幕级数*nx"的收敛半径是4,则基级数£anx22的收敛半

n=0n=0

径是.

74.级数F是收敛的，其和为1__________.

“=i〃(〃+1)

75.级数£2的和为1.

76.如果嘉级数1)"的收敛半径是1,则级数在最大的一个

M=0

开区间(0,2)内一定收敛。

三、解答题

1.已知A(1,1,1),3(2,2,1),C(2,L2),求与福，恁同时垂直的单位向量。

解：A6={1,1,0},AC={1,0,1),ABxAC={i,-l,-\]

2.设平面乃过点(2,1,0),且平行于平面3x+4y-5z+2=0,求平面力的

方程。

解：3(x-2)+4(y-l)-5z=0

3.求过点A(—1,0,4)且与直线四=—平行的直线方程。

112

解：二2士

112

4.设平面通过k衿，且在不、/三个轴上的截距相等，求平面

方程。

解：根据题意，所求平面为x+y+z=a，将点P。坐标代入可得:

a=2

所求平面：x+y+z=2

5.求过(1,1,T)、(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平

面方程。

解：设点8(-2,-2,2),C(1,T,2),AB={-3,-3,3},AC={0,-2,3}

n=ABxAC={—3,9,6}

所求平面：-3U-l)+9(j-l)+6(z+l)=0或(x-l)-3(j-l)-2(z+l)=0

6.求过点(3,1,一2)且通过直线—二三=:的平面方程。

解：设点A(3,L-2),直线方向向量7={5,2/},取直线上点B(4,-3,0)

砺={1,<2},n=={-8,9,22}

平面方程：—8(x—3)+9(y—l)+22(z+2)=0

7.求平行于X轴，且过点M(3,—l,2)及N(O,1,O)的平面方程。

解：丽={-3,2,—2},记7={1,0,0},则n=WX7={0,-2,-2)

平面方程：2(y+l)+2(z-2)=0

8.已知平面通过q(8,-3,1),鸟(4,7,2)解且垂直于平面力+5丁-72+21=0,

求此平面方程。

解：质={<10,1},I己]={3,5,—7},则n=^x^={-75,-25,-50)=-25{3,1,2)

平面方程：3(x—8)+(y+3)+2(z—1)=0

9.求过百与平面万：3x+2y-z-5=0垂直的直线方程，并求出直

线与平面的交点。

x=-1+3]

解：所求直线方程：半=丁=3或参数方程：y=2+2,

z=9-t

交点对应“持交点坐标：5春%=六°=胃

10.求过点41,—2,4)且与二平面》+2卜2=0及”+2丁+2=0都平行的直

线方程。

解：记耳={1,2,—1},%={3,2,1),T=%X4={4,T,Y}

直线方程：=9=m

11-1

11.求过点%(2,4,0),且与直线