初中数学九年级上册 平行线截三角形相似定理【市一等奖】

平行线截三角形相似定理一、复习回顾1.什么样的两个多边形是相似多边形？

前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：

两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.2.什么是相似比（相似系数）？

相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.二、引入新知记作:△ABC∽△A′B′C′CABB′C′A′图1

说明：两个三角形相似，用相似符号表示时，与全等一样，应把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边.

已知△ABC与△A′B′C′相似.读作△ABC相似于△A′B′C′1.知识要点二、引入新知CABB′C′A′图1

若两三角形相似写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形相似”，没有用“∽”表示的，则没有说明对应关系.注意：2.相似三角形的对应关系：对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似形的定义，应有：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，说明：三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′3.相似三角形的相似比1.将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为：K1，2.△A′B′C′∽△ABC的相似比记为：K2，4.巩固练习1.

已知△ABC∽△DEF,请指出所有的对应边和对应角.并分别指出它们的关系.2.如果将上题中“△ABC∽△DEF”改为“△ABC与△DEF相似”你还能指出它们的对应关系吗？4.巩固练习：

简析：=，=，≠，.==13.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比K1和△DEF与△ABC的相似比K2是否相等？如果不相等，K1

和K2满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？

若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为K1，△A′B′C′∽△ABC的相似比记为K2

，一般有K1

=

当且仅当这两个三角形全等时，才有K1

=K2=1.5.归纳总结：因此，三角形全等是三角形相似的特例.三、类比猜想1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL.2.不需要所有的对应边和对应角都相等.3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等.四、探究论证：

在△ABC中，D为AB上任意一点，如图2所示.过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？ADBCEAEACEACEABCEADBCA图2已知:在△ABC中，DE∥BC,DE分别交AB，AC于D，E.求证：△ADE∽△ABC.

1.根据相似多边形的定义△ADE与△ABC

相似必须满足哪些条件？分析：

由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，

，还需要条件：ADBCEAEACEACEABCEADBCA图2分析

3.解决这个问题的关键在哪里？怎么解决？

转化：将DE平移到BC上（可过点D作AC的平行线，交BC于F，则CF=DE）运用定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例.即可得到ADEBCF证明：

过点D作AC的平行线，交BC于F.∵DE∥BC,DF∥AC，∴因为四边形DFCE是平行四边形，∴DE=FC，又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF五、定理归纳：

由以上探究过程你能得出什么结论？如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？图3ABCDEBCDEAEDCAB定理

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似.

符号语言：在△ABC中,因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.六、巩固练习：

如图4，在ABCD中，DE交BC于F,交AB的延长线于点E.（1）请写出图中相似的三角形；（2）请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式；（3）请说明AE·BF与AD·BE是否相等？F图4ABCDE简析：（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF，△EAD∽△DCF；也可写成

△EBF∽△EAD∽△DCF(3)由（2）中比例式化成乘积式可得AE·BF=AD·BE.

（2）举一例：在△EBF∽△EAD中有

，

还有两种情形同学们自己解答.F图4ABCDE七、目标总结本节课我们学习了哪些内容？

本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出“三角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.

学习了哪些思想方法？

类比和转化的思想，作辅助线的方法.你掌握了哪些知