2024届湖南省浏阳市第二中学、五中、六中三校数学高二第二学期期末考试试题含解析

2024届湖南省浏阳市第二中学、五中、六中三校数学高二第二学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数z满足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i2．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是（）A．12 B．24 C．48 D．563．已知，并且，则方差（）A．B．C．D．4．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．已知a=tan(-π5)A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a6．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A． B． C． D．7．已知集合，，全集，则等于（）A． B． C． D．8．若执行如图所示的程序框图，输出的值为，则输入的值是（）A． B． C． D．9．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，则的面积为（）A．3 B． C． D．10．已知是函数的导函数，且满足，，若有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为()A． B． C． D．12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，，则（）A．2 B． C． D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）14．抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为__________．15．记曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则________．16．若复数满足，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中,角所对的边分别为且.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.18．（12分）已知复数．（1）求实数的值；（2）若，求的取值范围．19．（12分）设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）；（2）证明f（x）是奇函数；（3）解不等式12f（x2）—f（x）＞120．（12分）已知函数，，若直线与函数，的图象均相切.（1）求实数的值；（2）当时，求在上的最值.21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=ax-3+10（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.22．（10分）已知，是正数，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】z=2i1-i=2i(1+i)【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2、C【解题分析】试题分析：根据题意可知，第组的频数为，前组的频率和为，所以抽取的学生总人数为，故选C.考点：频率分布直方图与频数．3、A【解题分析】试题分析：由得考点：随机变量的期望4、C【解题分析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.5、D【解题分析】

首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断a,c的大小，最后选出正确答案.【题目详解】a=tan而ac=【题目点拨】本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母的正负性.6、B【解题分析】

以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【题目详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同满足题意的五位数共有：个本题正确选项：【题目点拨】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.7、D【解题分析】

先解出集合、，再利用补集和交集的定义可得出.【题目详解】因为，即或，所以，则，应选答案D.【题目点拨】本题考查集合的交集和补集的运算，同时也涉及了二次不等式与对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.8、C【解题分析】

将所有的算法循环步骤列举出来，得出不满足条件，满足条件，可得出的取值范围，从而可得出正确的选项.【题目详解】，；不满足，执行第二次循环，，；不满足，执行第三次循环，，；不满足，执行第四次循环，，；不满足，执行第五次循环，，；满足，跳出循环体，输出的值为，所以，的取值范围是.因此，输入的的值为，故选C.【题目点拨】本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题.9、C【解题分析】

通过余弦定理可得C角，再通过面积公式即得答案.【题目详解】根据余弦定理，对比，可知，于是，根据面积公式得，故答案为C.【题目点拨】本题主要考查余弦定理和面积公式的运用，比较基础.10、D【解题分析】

根据进行参变分离，构造函数，利用已知条件得到，并判断单调性，因而求出范围【题目详解】若有两个不同的零点，则，设，则与有两个交点，由题，，令，则，故在递减，在递增，，故选D【题目点拨】本题考查构造函数判断单调性，用参变分离的方法转化零点为交点问题，及利用单调性求参11、D【解题分析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.12、C【解题分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【题目详解】所以【题目点拨】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、720【解题分析】试题分析：本题可以分步来做：第一步：首先从4个盒子中选取3个，共有4种取法；第二步：假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑．由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白红三色，所以我们知道，每个盒子中至少有一个白球，一个黑球和一个红球．第三步：①这样，白球还剩一个可以自由支配，它可以放在三个盒子中任意一个，共3种放法．②黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个，这里有两种情况：一是两个球放入同一个盒子，有3种放法；二是两个球放入不同的两个盒子，有3种放法．综上，黑球共6种放法．③红球还剩三个可以自由支配，分三种情况：一是三个球放入同一个盒子，有3中放法．二是两个球放入同一个盒子，另外一个球放入另一个盒子，有6种放法．三是每个盒子一个球，只有1种放法．综上，红球共10种放法．所以总共有4×3×6×10=720种不同的放法．考点：排列、组合；分布乘法原理；分类加法原理．点评：本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的．对于较难问题，我们可以采取分步来做．14、【解题分析】分析：根据题意，设的坐标为，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得M到准线的距离也为1，则有，解可得的值，将的坐标代入抛物线的方程，计算可得的值，即可得答案．详解：根据题意，设的坐标为抛物线y=4x2，其标准方程为，其准线方程为若到焦点的距离为，到准线的距离也为1，则有解可得又由在抛物线上，则解可得故答案为．点睛：本题考查抛物线的性质以及标准方程，关键是掌握抛物线的定义．15、【解题分析】

由曲线与直线联立，求出交点，以确定定积分中的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。【题目详解】联立，得到交点为，故曲线与直线，所围成封闭图形的面积；故答案为【题目点拨】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。16、1【解题分析】

设，,代入方程利用复数相等即可求解，求模即可.【题目详解】设，,则，整理得：解得，所以，故答案为1【题目点拨】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助试题解析：（1）由，得，所以，则，由，。（2）由（1）得，即，又为锐角三角形，故从而．由，所以所以,所以因为所以即考点：余弦定理的变形及化归思想18、（1）；（2）．【解题分析】

（1）根据题意，先计算出，再由即可求出结果；（2）先由（1）知，再由复数的几何意义即可求出结果.【题目详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得或，因为，所以．（2）由（1）知，因为，所以在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆．故在复平面内表示对应的点到坐标原点的距离，所以的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离，所以，即．故的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型.19、（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}【解题分析】

试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等12试题解析：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0定义域关于原点对称y=-x，得f(x)+f(-x)=f(0)=0，∴f(-x)=f(x)∴f(x)是奇函数12f(即f又由已知得：f(2x)=2f由函数f（x∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；3．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：20、（1），或；（2），.【解题分析】

（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出的值，再设出直线与函数图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出的值；（2）对函数求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值.【题目详解】（1）联立可得，，设直线与的图象相切于点，则，或当时，，当时，，或（2）由（1），，令则或；令则在和上单调递增，在上单调递减又，，，【题目点拨】