2024届上海外国语大学附属中学数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届上海外国语大学附属中学数学高二第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题中，假命题是（）A．不是有理数 B．C．方程没有实数根 D．等腰三角形不可能有的角2．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（）A． B． C． D．3．已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．4．已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A．它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上C．它们的渐近线方程相同 D．它们的离心率相等5．“”是“方程所表示的曲线是椭圆”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据，计算得到的观测值，根据临界值表，以下说法正确的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关7．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知集合,集合,则A． B． C． D．9．正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（）A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．大前提、小前提、结论都不正确10．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．11．设均大于1，且，令，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．12．下列函数中，既是奇函数又是上的增函数的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从位女生，位男生中选了人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各人，且至多有位女生参赛，则不同的参赛方案共有__________种.(用数字填写答案)．14．函数的单调减区间是________.15．已知，那么__________．16．已知不等式对于大于的正整数恒成立，则实数的取值范围为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面平面.（1）证明：（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.19．（12分）已知幂函数f（x）=（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．20．（12分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）（1）求每台仪器能出厂的概率；（2）求生产一台仪器所获得的利润为元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生产两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望.21．（12分）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.（Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设表示代表队中男生的人数，求的分布列和期望.22．（10分）已知椭圆:的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，若，求（为坐标原点）面积的最大值及此时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据命题真假的定义，对各选项逐一判定即可．【题目详解】解：.为无理数，故正确，．，故正确，．因为，即方程没有实根，故正确，．等腰三角形可能以为顶角，为底角，故错误，故选：．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，属于基础题．2、A【解题分析】

通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.【题目详解】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共有种可能，答案为A.【题目点拨】本题主要考查乘法分步原理，难度不大.3、D【解题分析】设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得m−n=2a，点P满足,可得m2+n2=4c2，即有(m−n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，则离心率e=故选：D.4、D【解题分析】

根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标，焦距，渐近线方程以及离心率，进而分析选项即可得到答案。【题目详解】根据题意，双曲线，其中，，则，则焦距，焦点坐标，渐近线方程为，离心率；双曲线，其标准方程为，其中，，则，则焦距，焦点坐标，渐近线为，离心率；据此依次分析选项：两个双曲线的焦距均为，故A正确；双曲线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，都在圆上，故B正确；渐近线方程均为，故C正确；双曲线的离心率，双曲线的离心率，离心率不相等，故选D【题目点拨】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意将双曲线的方程变为标准形式，属于基础题。5、B【解题分析】分析：根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲线是椭圆”，如故“”是“方程所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.选B.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.．6、D【解题分析】分析：根据临界值表，确定犯错误的概率详解：因为根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．选D.点睛：本题考查卡方含义，考查基本求解能力.7、A【解题分析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.8、D【解题分析】，，则，选D.9、C【解题分析】分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案.详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；结论：是奇函数，，故错误.故选：C.点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.10、B【解题分析】

设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.【题目详解】由题意，得，进而得到，令，则，，.由，得，即.当时，，在上是增函数.函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，，解得，又，即，.故选：.【题目点拨】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.11、D【解题分析】令则t>0,且，∵，∵，故选D．12、B【解题分析】

分别画出各选项的函数图象,由图象即可判断.【题目详解】由题,画出各选项函数的图象,则选项A为选项B为选项C为选项D为由图象可知,选项B满足既是奇函数又是上的增函数,故选:B【题目点拨】本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：分只有一个女生和没有女生两种情况讨论求不同的参赛方案总数.详解：当只有一个女生时，先选一个女生有种选法，再从4个男生里面选2个男生有种方法，再把选出的3个人进行排列有种方法，所以有种方法.当没有女生时，直接从4个男生里选3个排列有种方法.所以共有种方法，故答案为：96.点睛:(1)本题主要考查排列组合的综合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力分类讨论思想方法.(2)排列组合常用方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.14、【解题分析】

根据对数型复合函数单调区间的求法，求得的单调减区间.【题目详解】由得，解得，所以的定义域为，由于的开口向下，对称轴为；在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，的单调减区间为.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.15、8【解题分析】分析：利用排列数公式展开，解方程即可.详解：，解得.即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.16、【解题分析】

先求得的最小值，为此作差，确定的单调性，得最小，然后解不等式即可。【题目详解】设，，，所以，递增，最小值；于是有，所以，所以，由且，所以，所以，又因为，所以.故答案为：。【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化为求函数的最值，本题不等式左边作为自然数的函数，可以看作是数列的项，因此可用研究数列单调性的方法来研究其单调性，即作差，由差的正负确定数列的增减，从而确定最小值．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）中点为，连接和，证明平面，即可证明；（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【题目详解】（1）设中点为，连接和，如图所示，在中，，为中点，所以，又四边形为菱形，，所以是等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以；设平面的法向量，则，令，则，，所以；因为二面角是锐角，所以，即二面角的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定、由线面垂直求线线垂直和利用空间向量求二面角，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）【解题分析】

结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.【题目详解】（1）当时，，解得：，满足当时，，解得：综上所述：实数的取值范围为（2），解得：实数的取值范围为【题目点拨】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.19、.【解题分析】

先根据幂函数的定义求出m的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可【题目详解】∵幂函数f（x）经过点（2，），∴=，即=∴m2+m=2．解得m=2或m=﹣2．又∵m∈N*，∴m=2．∴f（x）=，则函数的定义域为[0，+∞），并且在定义域上为增函数．由f（2﹣a）＞f（a﹣2）得解得2≤a＜．∴a的取值范围为[2，）．【题目点拨】本题主要考查了幂函数的性质，以及不等式组的解法，属于基础题．20、（1）；（2）（3）见解析【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（Ⅱ）由表可知生产一台仪器所获得的利润为元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（Ⅲ）由题意可得可取，，，，，，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望.试题解析：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件，则，所以每台仪器能出厂的概率．（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率．（Ⅲ）可取，，，，，．，，，，，．的分布列为：380035003200500200．21、（I）（II）见解析【解题分析】

（Ⅰ）用1减去没有1班同学入选的概率得到答案.（Ⅱ）的所有可能取值为1，2，3，4，分别计算对应概率得到分布列，再计算期望.【题目详解】（I）设1班至少有1名学生入选代表队为事件则（II）的所有可能取值为1，2，3，4，，，.因此的分布列为1234.【题目点拨】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的应用能力和计算能力.22、（1）；（2）的最大值为，【解题分析】

（1）根据椭圆的离心率和经过的点，以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程