高三数学一轮提能一日一讲（11月23日）

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目，若选到女同学的概率为eq\f(2,3)，则这班参加聚会的同学的人数为()A．12B．18C．24D．32解析设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.答案B2．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)解析设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝eq\f(V半球,V圆柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案B3．连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记所得朝上的面的点数分别为x，y，过坐标原点和点P(x，y)的直线的倾斜角为θ，则θ>60°的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)解析基本事件总数为6×6＝36种，θ>60°的必须是eq\f(y,x)＝tanθ>eq\r(3)，∴这样的基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9种．∴概率为eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).答案A4．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(9,10).选D.答案D5．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).答案B6．(2013·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动过程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐渐减小，当P点到P1位置时，BA＝BP1，当P点到P2位置时，AB＝AP2，故点P在线段P1P2上时，△ABP中边AB最大，由题意可得P1P2＝eq\f(1,2)CD.在Rt△BCP1中，BPeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,16)CD2＋BC2＝eq\f(9,16)AB2＋AD2＝AB2.即AD2＝eq\f(7,16)AB2，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4)，故选D.答案D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·课标全国Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求概率为eq\f(2,10)＝0.2.答案0.28．在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋eq\f(3,4)m＋1＝0无实根}中随机的取一元素x，恰使式子lgx有意义的概率为________．解析由于Δ＝m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)m＋1))<0，得－1<m<4，若使lgx有意义，必须使x>0.在数轴上表示为，故所求概率P＝eq\f(4,5).答案eq\f(4,5)9．(2013·浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则从6名同学中任选2名的结果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2012·福建卷)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.依题意得S10＝10×1＋eq\f(10×9,2)d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝eq\f(2,9).11．(本小题10分)(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10)＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).12．(本小题10分)(2013·江西卷)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有eq\o(OA2,\s\up16(→))·eq\o(OA5,\s\up16(→))，共1种；数量积为－1的有eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA5,\s\up16(→))，eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，eq\o(OA2,\s\up16(→))·eq\o(OA4,\s\up16(→))，eq\o(OA2,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，eq\o(OA3,\s\up16(→))·eq\o(OA4,\s\up16(→))，eq\o(OA3,\s\up16(→))·eq\o(OA5,\s\up16(→))，共6种；数量积为0的有eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA3,\s\up16(→))，eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA4,\s\up16(→))，eq\o(OA3,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，eq\o(OA4,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，共4种；数量积为1的有eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA2,\s\up16(→))，eq\o(OA2,\s\up16(→))