2024届西安市重点中学高二数学第二学期期末检测试题含解析

2024届西安市重点中学高二数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）A． B． C． D．2．已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．设，向量，，且，则（）A． B． C． D．5．若向量，满足，与的夹角为，则等于（）A． B． C．4 D．126．若曲线在点处的切线方程为，则()A．-1 B． C． D．17．曲线在处的切线与直线垂直，则（）A．-2 B．2 C．-1 D．18．若函数f(x)=x-2+A．-3≤a<32 B．-3≤a<1 C．a≥9．若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．若输入，执行如图所示的程序框图，输出的（）A．10 B．16 C．20 D．3511．在中，，若，则A． B． C． D．12．已知，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．己知是等差数列{}的前项和，，则________.14．已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）15．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为＝1.3x－1，则m＝________.x1234y0.11.8m416．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:工期延误天数Y的均值与方差;18．（12分）已知函数的图象过点.(1)求的解析式及单调区间；(2)求在上的最小值.19．（12分）已知．（1）设，①求；②若在中，唯一的最大的数是，试求的值；（2）设，求．20．（12分）已知数列满足，（1）求，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．21．（12分）如图，三棱柱中，，，（1）证明：；（2）若平面

平面，，求点到平面的距离．22．（10分）复数，若是实数，求实数的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：由题意得，因此，选A.考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．2、D【解题分析】

根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解【题目详解】，为减函数，若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，的定义域满足，，因在区间上单调递减，故有，所以答案选D【题目点拨】复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解3、D【解题分析】因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.4、B【解题分析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．5、B【解题分析】

将平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.【题目详解】因为，所以，故选：B.【题目点拨】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.6、B【解题分析】分析：求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得，即可得到答案.详解：的导数为，曲线在点处的切线方程为，有，解得.故选：B.点睛：本题考查导数的运用，求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键.7、B【解题分析】分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解：由题可知：切线的斜率为：由切线与直线垂直，故，故选B.点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.8、A【解题分析】

将问题转化为曲线gx=x-2+2x-1与直线y=ax没有交点，并将函数y=gx表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线【题目详解】因为函数f(x)=x-所以方程x-2即函数g(x)=x-2+如图所示，则h(x)的斜率a应满足-3≤a<32，故选：【题目点拨】本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意：（1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题；（2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。9、A【解题分析】分析：函数有小于零的极值点转化为有负根，通过讨论此方程根为负根，求得实数的取值范围.详解：设，则，函数在上有小于零的极值点，有负根，①当时，由，无实数根，函数无极值点，不合题意，②当时，由，解得，当时，；当时，，为函数的极值点，，解得，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.10、B【解题分析】

第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，结束循环，输出，故选B．11、A【解题分析】

根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.【题目详解】即：本题正确选项：【题目点拨】本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.12、D【解题分析】

根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系.【题目详解】；；且本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7【解题分析】

根据题目是等差数列{}的前项和，，利用等差数列的通项公式和前项和公式，建立两个含有、的方程并求解，再利用等差数列的通项公式即可求解出的值。【题目详解】由题意得，解得，所以，，故答案为7。【题目点拨】本题主要考查了等差数列的基本运算，在等差数列中，五个基本量“知三求二”，基本量中公差是联系数列中各项的关键，是解题的关键。14、①②【解题分析】

取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【题目详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误.故答案为①②.【题目点拨】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.15、3.1.【解题分析】分析：利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解.详解：由题意得＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，代入线性回归方程得＝1.3×2.5－1＝2.25，2.25＝(0.1＋1.8＋m＋4)，解得m＝3.1.故答案为：3.1.点睛：本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础.16、【解题分析】

由频率分布直方图得每天在校平均开销在元的学生的频率为，由此能求出每天在校平均开销在元的学生人数．【题目详解】解：由频率分布直方图得：每天在校平均开销在元的学生的频率为：，每天在校平均开销在元的学生人数为：．故答案为：1．【题目点拨】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解题分析】分析：先求P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900)，再求工期延误天数Y的均值与方差.详解：由已知条件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为:Y02610P0.30.40.20.1于是E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.点睛：(1)本题主要考查概率的计算，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是求出P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900).18、(1)；单调递减区间为，单调递增区间为.(2)【解题分析】

（1）先由函数图像过点，求出，得到函数解析式，再对函数求导，用导数的方法，即可得出函数的单调区间；（2）先令在上的最小值为，结合（1）的结果，分别讨论和两种情况，即可求出函数的最小值.【题目详解】(1)∵函数的图象过点∴∴故.令得当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增.所以，单调递减区间为，单调递增区间为.(2)令在上的最小值为，由(1)知，当时当，在上单调递增，∴综上所述：的最小值.【题目点拨】本题主要考查函数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.19、（1）①；②或；（2）.【解题分析】

（1）根据题意，得到；①令，即可求出结果；②根据二项展开式的通项公式，先得到通项为，再由题意，得到，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到，进而得出，化简，再根据二项式系数之和的公式，即可求出结果.【题目详解】（1）因为，①令，则；②因为二项式展开式的通项为：，又在中，唯一的最大的数是，所以，即，解得，即，又，所以或；（2）因为，根据二项展开式的通项公式，可得，，所以，则.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项公式定理即可，属于常考题型.20、(1)，猜想.(2)见解析.【解题分析】分析：（1）直接由原式计算即可得出，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学归纳法的三个步骤证明即可.详解：（1），猜想.（2）当时，命题成立；假设当时命题成立，即，故当时，，故时猜想也成立.综上所述，猜想成立，即.点睛：考查数学归纳法，对数学归纳法的证明过程的熟悉是解题关键，属于基础题.21、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析：(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量