北京市第四中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

北京市第四中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形中一定是相似形的是()A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形2．如图，在中，，则等于（）A． B． C． D．3．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，即得到抛物线（）A．y=-(x+2)2+3 B．y=-(x-2)2+3 C．y=-(x+2)2-3 D．y=-(x-2)2-34．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，点A落在点A'处，折痕为DG，求AG的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．35．剪纸是中国特有的民间艺术.以下四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝37．下列运算中正确的是（）A．a2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b28．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是()A．4－ B．4－ C．8－ D．8－9．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为()A．(－2，2) B．(－2，4) C．(－2，2) D．(2，2)10．-2019的相反数是（）A．2019 B．-2019 C． D．11．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）12．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为___________.14．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________．15．在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的1个黑球和2个红球，从盒子中任意取出1个球，取出红球的概率是____.16．从一副扑克牌中的13张黑桃牌中随机抽取一张，它是王牌的概率为____．17．将方程化成一般形式是______________．18．如图所示，已知：点，，．在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的周长等于．三、解答题（共78分）19．（8分）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．21．（8分）如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)22．（10分）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）求证：△ABC∽△DOA；（3）若BC=2，CE=，求AD的长．23．（10分）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1．，（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接ED，求△ADE的面积．24．（10分）如图，已知和中，，，，，；（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．25．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD是高．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求线段AD，BD与弧所围成的封闭图形的面积．26．如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，．求△ABC的周长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．2、D【分析】直接根据正弦的定义解答即可．【详解】在△ACB中，∠C=90°，

，

故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．3、D【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.【详解】抛物线向右平移个单位，得：，再向下平移个单位，得：.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.4、A【分析】由在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得A′B的长，然后设AG=x，由勾股定理即可得：，解此方程即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∴由折叠的性质,可得：A′D=AD=3,A′G=AG,∴A′B=BD−A′D=5−3=2，设AG=x，则A′G=x，BG=AB−AG=4−x，在Rt△A′BG中,由勾股定理得：∴解得：∴故选：A．【点睛】考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5、B【解析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【详解】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

C、此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．6、D【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】∵x2﹣1x＝0，∴x(x﹣1)＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．7、A【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．【详解】解：A、，故A选项正确；B、，故B选项错误；C、，故C选项错误；D、，故D选项错误．故选：A．【点睛】本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.8、B【解析】试题解析：连接AD，

∵BC是切线，点D是切点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF=2∠EPF=80°，

∴S扇形AEF=，

S△ABC=AD•BC=×2×4=4，

∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-π．9、A【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=4，AC=OC=2，∠BOA=60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC=2，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．【详解】解：作BC⊥x轴于C，如图，∵△OAB是边长为4的等边三角形∴OA=OB=4，AC=OC=1，∠BOA=60°，∴A点坐标为（-4，0），O点坐标为（0，0），在Rt△BOC中，BC=，∴B点坐标为（-2，2）；∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（-2，2），故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．10、A【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：-1的相反数是1．故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.11、D【分析】根据反比例函数图象和性质即可解答．先判断出反比例函数图象的一分支所在象限，即可得到另一分支所在象限．【详解】解：由于点（1，2）在第一象限，则反比例函数的一支在第一象限，另一支必过第三象限．第三象限内点的坐标符号为（﹣，﹣）故选：D．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数图像的对称性．12、B【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;∵函数图像的顶点为（-1，2）∴a-b+c=2，又∵由函数的对称轴为x=-1，∴=-1,即b=2a∴a-b+c=a-2a+c=c-a=2，故③正确；由①得b2-4ac>0，则ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，故④错误；综上，正确的有两个．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，

∴∠DEA′=45°，

∴A′D=A′E，

∵在正方形ABCD中，AD=1，

∴AB=A′B=1，

∴BD=，

∴A′D=，

∴在Rt△DA′E中，DE=．故答案为：.【点睛】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．14、且【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞1且m≠1，求出m的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=1有两个不相等的实数根，∴△＞1且m≠1，∴4-12m＞1且m≠1，∴m＜且m≠1，故答案为：m＜且m≠1．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15、【分析】根据概率的定义即可解题.【详解】解：一共有3个球,其中有2个红球,∴红球的概率=.【点睛】本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.16、1【分析】根据是王牌的张数为1可得出结论．【详解】∵13张牌全是黑桃，王牌是1张，∴抽到王牌的概率是1÷13=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了概率的公式计算，熟记概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．17、【分析】先将括号乘开，再进行合并即可得出答案.【详解】x2-6x+4+x+1=0，.故答案为：.【点睛】本题考查了一次二次方程的化简，注意变号是解决本题的关键.18、【解析】∵OB=，OC=1，∴BC=2，∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．在Rt△CAA1中，AA1=OC=，同理得：B1A2=A1B1=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．第n个等边三角形的周长等于.三、解答题（共78分）19、（1）y＝1440x﹣800；每辆次小车的停车费最少不低于3元；（2）y＝﹣120x2+2040x﹣800；（3）每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．【分析】（1）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式，然后根据日净收入不低于2512元，列出不等式，即可求出x的最小整数值；（2）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式；（3）根据x的取值范围，分类讨论：当x≤5时，根据一次函数的增减性，即可求出此时y的最大值；当x＞5时，将二次函数一般式化为顶点式，即可求出此时y的最大值，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800∵1440x﹣800≥2512，∴x≥2.3∵x取整数，∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．答：每辆小车的停车费最少不低于3元；（2）由题意得：y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800即y＝﹣120x2+2040x﹣800（3）当x≤5时，∵1440＞0，∴y随x的增大而增大∴当x=5时，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）当x＞5时，y＝﹣120x2+2040x﹣800＝﹣120（x2﹣17x）﹣800＝﹣120（x﹣）2+7870∴当x＝时，y有最大值．但x只能取整数，∴x取8或1．显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120×+7870＝7840（元）∵7840元＞6400元∴每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．答：每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．【点睛】此题考查的是一次函数和二次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、一次函数的增减性和利用二次函数求最值是解决此题的关键.20、（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.1．【分析】（1）连接OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论；（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题；【详解】（1）连接OD，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠EDB＋∠ODA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，∵△AOH∽△ABC，∴，∴，∴AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2，解得x＝4.1，∴DE＝4.1．【点睛】本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21、（1）见详解；（2）点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．理由见详解【分析】（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；（2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.【详解】（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE＝BC．同理，GF∥BC，GF＝BC．∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DEFG是平行四边形；（2）点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．连接AO，由（1）得四边形DEFG是平行四边形，∵点D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，∴，，当AO＝BC时，GF=DF，∴四边形DGFE是菱形．【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.22、（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；（3）先求出AC、AB、AO的长，由第（2）问的结论△ABC∽△DOA，根据相似三角形的性质：对应边成比例可得到AD的长．【详解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴∠AOD+∠BAC=90°，又∵∠D=∠BAC，∴∠AOD+∠D=90°，∴∠OAD=90°，∴AD⊥OA，∴AD是半圆O的切线；（2）证明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，又∵∠D=∠BAC，∴△ABC∽△DOA；（3）解：∵O为AB中点，OD∥BC，∴OE是△ABC的中位线，则E为AC中点，∴AC=2CE，∵BC=2，CE=，∴AC=∴AB=，∴OA=AB=，由（2）得：△ABC∽△DOA，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．同时考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．23、（1）y=﹣x﹣3，y=﹣；（2）S△ADE=2．【分析】（1）根据题意求得OE=1，OC=2，Rt△COD中，tan∠DCO=，OD=3，即可得到A（-1，3），D（0，-3），C（-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求得两个三角形的面积，然后根据S△ADE=S△ACE+S△DCE即可求得．【详解】（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1，∴OE=1，OC=2，∵Rt△COD中，tan∠DCO=，∴OD=3，∴A（﹣1，3），∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3，把点A的坐