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课时作业27平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则eq\o(EB,\s\up15(→))+eq\o(FC,\s\up15(→))=(A)A.eq\o(AD,\s\up15(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→)) D.eq\o(BC,\s\up15(→))解析:由题意得eq\o(EB,\s\up15(→))+eq\o(FC,\s\up15(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(CB,\s\up15(→)))+eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(AC,\s\up15(→)))=eq\o(AD,\s\up15(→)).2.已知O是正六边形ABCDEF的中心,则与向量eq\o(OA,\s\up15(→))平行的向量为(B)A.eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(AC,\s\up15(→)) B.eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→))+eq\o(CD,\s\up15(→))C.eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(AF,\s\up15(→))+eq\o(CD,\s\up15(→)) D.eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(CD,\s\up15(→))+eq\o(DE,\s\up15(→))解析:eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→))+eq\o(CD,\s\up15(→))=eq\o(AD,\s\up15(→))=2eq\o(AO,\s\up15(→))=-2eq\o(OA,\s\up15(→)).3.在△ABC中,eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→)),则eq\o(AD,\s\up15(→))=(B)A.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up15(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→))解析:解法1:因为eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→)),所以B,D,C三点共线,且eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→)),如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点E,F,则四边形AEDF为平行四边形,所以eq\o(AD,\s\up15(→))=eq\o(AE,\s\up15(→))+eq\o(AF,\s\up15(→)).因为eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→)),所以eq\o(AE,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→)),eq\o(AF,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)),所以eq\o(AD,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)),故选B.解法2:因为eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→)),所以eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→)),所以eq\o(AD,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→)))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)),故选B.解法3:因为eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→)),所以eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→)),所以eq\o(AD,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→))=eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→))),所以eq\o(AD,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→)))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)),故选B.4.设向量a,b不共线,eq\o(AB,\s\up15(→))=2a+pb,eq\o(BC,\s\up15(→))=a+b,eq\o(CD,\s\up15(→))=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为(B)A.-2 B.-1C.1 D.2解析:因为eq\o(BC,\s\up15(→))=a+b,eq\o(CD,\s\up15(→))=a-2b,所以eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\o(BC,\s\up15(→))+eq\o(CD,\s\up15(→))=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以eq\o(AB,\s\up15(→)),eq\o(BD,\s\up15(→))共线.设eq\o(AB,\s\up15(→))=λeq\o(BD,\s\up15(→)),所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.5.已知O是正三角形ABC的中心.若eq\o(CO,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→))+μeq\o(AC,\s\up15(→)),其中λ,μ∈R,则eq\f(λ,μ)的值为(C)A.-eq\f(1,4) B.-eq\f(1,3)C.-eq\f(1,2) D.2解析:延长CO交AB于点D,则eq\o(CO,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CA,\s\up15(→))+\o(CB,\s\up15(→))))=eq\f(1,3)(-eq\o(AC,\s\up15(→))+eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\o(AC,\s\up15(→)))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→)),即λ=eq\f(1,3),μ=-eq\f(2,3),∴eq\f(λ,μ)=-eq\f(1,2),故选C.6.已知点O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且3eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))=0,则(B)A.eq\o(AO,\s\up15(→))=eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up15(→)) B.eq\o(AO,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up15(→))C.eq\o(AO,\s\up15(→))=-eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up15(→)) D.eq\o(AO,\s\up15(→))=-eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up15(→))解析:∵D为BC的中点,∴eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))=2eq\o(OD,\s\up15(→))=-3eq\o(OA,\s\up15(→)),∴eq\o(AO,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up15(→)),故选B.7.如图,在▱OACB中,E,F分别为AC和BC的中点,若eq\o(OC,\s\up15(→))=meq\o(OE,\s\up15(→))+neq\o(OF,\s\up15(→)),其中m,n∈R,则m+n的值为(C)A.1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3) D.2解析:由题可得eq\o(OF,\s\up15(→))=eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(BF,\s\up15(→))=eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up15(→)),eq\o(OE,\s\up15(→))=eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(AE,\s\up15(→))=eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up15(→)),所以eq\o(OA,\s\up15(→))=eq\f(4,3)eq\o(OE,\s\up15(→))-eq\f(2,3)eq\o(OF,\s\up15(→)),eq\o(OB,\s\up15(→))=eq\f(4,3)eq\o(OF,\s\up15(→))-eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up15(→)).所以eq\o(OC,\s\up15(→))=eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OB,\s\up15(→))=eq\f(4,3)eq\o(OE,\s\up15(→))-eq\f(2,3)eq\o(OF,\s\up15(→))+eq\f(4,3)eq\o(OF,\s\up15(→))-eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up15(→))=eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up15(→))+eq\f(2,3)eq\o(OF,\s\up15(→)),所以m=n=eq\f(2,3),故m+n=eq\f(4,3),故选C.8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点O,满足eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→)),则点O与△ABC的位置关系是(A)A.点O在AC边上B.点O在AB边上或其延长线上C.点O在△ABC外部D.点O在△ABC内部解析:∵eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→)),∴eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→))=eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OB,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))-(eq\o(OB,\s\up15(→))-eq\o(OA,\s\up15(→)))=0,∴2eq\o(OA,\s\up15(→))+eq\o(OC,\s\up15(→))=0,∴eq\o(OC,\s\up15(→))=-2eq\o(OA,\s\up15(→)),∴A,O,C三点共线且O为AC上靠近点A的三等分点,即点O与△ABC的位置关系是点O在AC边上,故选A.9.P是△ABC所在平面上的一点,满足eq\o(PA,\s\up15(→))+eq\o(PB,\s\up15(→))+eq\o(PC,\s\up15(→))=2eq\o(AB,\s\up15(→)),若S△ABC=6,则△PAB的面积为(A)A.2 B.3C.4 D.8解析:∵eq\o(PA,\s\up15(→))+eq\o(PB,\s\up15(→))+eq\o(PC,\s\up15(→))=2eq\o(AB,\s\up15(→))=2(eq\o(PB,\s\up15(→))-eq\o(PA,\s\up15(→))),∴3eq\o(PA,\s\up15(→))=eq\o(PB,\s\up15(→))-eq\o(PC,\s\up15(→))=eq\o(CB,\s\up15(→)),∴eq\o(PA,\s\up15(→))∥eq\o(CB,\s\up15(→)),且方向相同,∴eq\f(S△ABC,S△PAB)=eq\f(BC,AP)=eq\f(|\o(CB,\s\up15(→))|,|\o(PA,\s\up15(→))|)=3,∴S△PAB=eq\f(S△ABC,3)=2.10.如图,已知|eq\o(OA,\s\up15(→))|=|eq\o(OB,\s\up15(→))|=1,|eq\o(OC,\s\up15(→))|=eq\r(2),tan∠AOB=-eq\f(4,3),∠BOC=45°,eq\o(OC,\s\up15(→))=meq\o(OA,\s\up15(→))+neq\o(OB,\s\up15(→)),则eq\f(m,n)=(A)A.eq\f(5,7)B.eq\f(7,5)C.eq\f(3,7)D.eq\f(7,3)解析:因为tan∠AOB=-eq\f(4,3),所以sin∠AOB=eq\f(4,5),如图所示,过点C作CD∥OB,交OA的延长线于点D,作CE∥OA,交OB的延长线于点E.所以在△OCD中,∠OCD=45°,sin∠ODC=sin(180°-∠AOB)=eq\f(4,5),所以由正弦定理得eq\f(OC,sin∠ODC)=eq\f(OD,sin∠OCD),即eq\f(\r(2),\f(4,5))=eq\f(OD,\f(\r(2),2)),解得OD=eq\f(5,4)=m.由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos45°,即eq\f(25,16)=2+n2-2eq\r(2)ncos45°,解得n=eq\f(1,4)或eq\f(7,4).当n=eq\f(1,4)时,cos∠CDO<0,∠CDO为钝角,与∠EOD为钝角矛盾,故n=eq\f(7,4),所以eq\f(m,n)=eq\f(5,7).故选A.二、填空题11.(多填题)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且eq\o(OA,\s\up15(→))=a,eq\o(OB,\s\up15(→))=b,则eq\o(DC,\s\up15(→))=b-a,eq\o(BC,\s\up15(→))=-a-b.(用a,b表示)解析:如图,eq\o(DC,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))=eq\o(OB,\s\up15(→))-eq\o(OA,\s\up15(→))=b-a,eq\o(BC,\s\up15(→))=eq\o(OC,\s\up15(→))-eq\o(OB,\s\up15(→))=-eq\o(OA,\s\up15(→))-eq\o(OB,\s\up15(→))=-a-b.12.在△ABC中,点M,N满足eq\o(AM,\s\up15(→))=2eq\o(MC,\s\up15(→)),eq\o(BN,\s\up15(→))=eq\o(NC,\s\up15(→)).若eq\o(MN,\s\up15(→))=xeq\o(AB,\s\up15(→))+yeq\o(AC,\s\up15(→)),则x+y=eq\f(1,3).解析:由题中条件得,eq\o(MN,\s\up15(→))=eq\o(MC,\s\up15(→))+eq\o(CN,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))+eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up15(→))=eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))+eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\o(AC,\s\up15(→)))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up15(→))=xeq\o(AB,\s\up15(→))+yeq\o(AC,\s\up15(→)),所以x=eq\f(1,2),y=-eq\f(1,6),因此x+y=eq\f(1,2)-eq\f(1,6)=eq\f(1,3).13.在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up15(→))=a+2b,eq\o(BC,\s\up15(→))=-4a-b,eq\o(CD,\s\up15(→))=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是梯形.解析:由已知得eq\o(AD,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→))+eq\o(CD,\s\up15(→))=-8a-2b=2(-4a-b)=2eq\o(BC,\s\up15(→)),故eq\o(AD,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))共线,且|eq\o(AD,\s\up15(→))|≠|eq\o(BC,\s\up15(→))|,所以四边形ABCD是梯形.14.已知数列{an}为等差数列,则满足eq\o(BA,\s\up15(→))=a3eq\o(OB,\s\up15(→))+a2016eq\o(OC,\s\up15(→)),若eq\o(AB,\s\up15(→))=λeq\o(AC,\s\up15(→))(λ∈R),点O为直线BC外一点,则a1+a2018=0.解析:∵eq\o(BA,\s\up15(→))=a3eq\o(OB,\s\up15(→))+a2016eq\o(OC,\s\up15(→)),∴eq\o(OA,\s\up15(→))-eq\o(OB,\s\up15(→))=a3eq\o(OB,\s\up15(→))+a2016eq\o(OC,\s\up15(→)),即eq\o(OA,\s\up15(→))=(a3+1)eq\o(OB,\s\up15(→))+a2016eq\o(OC,\s\up15(→)).又eq\o(AB,\s\up15(→))=λeq\o(AC,\s\up15(→))(λ∈R),∴a3+1+a2016=1,∴a1+a2018=a3+a2016=0.15.如图所示,有5个全等的小正方形连接在一起,若eq\o(BD,\s\up15(→))=xeq\o(AE,\s\up15(→))+yeq\o(AF,\s\up15(→)),则x+y的值是1.解析:因为eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\o(AD,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→)),eq\o(AD,\s\up15(→))=2eq\o(AE,\s\up15(→)),eq\o(AB,\s\up15(→))=eq\o(AH,\s\up15(→))+eq\o(HB,\s\up15(→))=2eq\o(AF,\s\up15(→))-eq\o(AE,\s\up15(→)),所以eq\o(BD,\s\up15(→))=eq\o(AD,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→))=2eq\o(AE,\s\up15(→))-(2eq\o(AF,\s\up15(→))-eq\o(AE,\s\up15(→)))=3eq\o(AE,\s\up15(→))-2eq\o(AF,\s\up15(→)),注意到eq\o(AE,\s\up15(→))与eq\o(AF,\s\up15(→))不共线,且eq\o(BD,\s\up15(→))=xeq\o(AE,\s\up15(→))+yeq\o(AF,\s\up15(→)),即xeq\o(AE,\s\up15(→))+yeq\o(AF,\s\up15(→))=3eq\o(AE,\s\up15(→))-2eq\o(AF,\s\up15(→)),所以x=3,y=-2,即x+y=1.16.在△ABC中,点D在线段BC上,且eq\o(BD,\s\up15(→))=2eq\o(DC,\s\up15(→)),点O在线段CD上(与点C,D不重合).若eq\o(AO,\s\up15(→))=xeq\o(AB,\s\up15(→))+(1-x)eq\o(AC,\s\up15(→)),则x的取值范围是(C)A.(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(2,3)))解析:解法1:eq\o(AO,\s\up15(→))=xeq\o(AB,\s\up15(→))+(1-x)eq\o(AC,\s\up15(→))=x(eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\o(AC,\s\up15(→)))+eq\o(AC,\s\up15(→)),即eq\o(AO,\s\up15(→))-eq\o(AC,\s\up15(→))=x(eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\o(AC,\s\up15(→))),∴eq\o(CO,\s\up15(→))=xeq\o(CB,\s\up15(→)),∴eq\f(|\o(CO,\s\up15(→))|,|\o(CB,\s\up15(→))|)=x.∵eq\o(BD,\s\up15(→))=2eq\o(DC,\s\up15(→)),∴eq\o(BC,\s\up15(→))=3eq\o(DC,\s\up15(→)),则0<x<eq\f(|\o(DC,\s\up15(→))|,|\o(BC,\s\up15(→))|)=eq\f(1,3),∴x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),故选C.解法2:设eq\o(BO,\s\up15(→))=λeq\o(BC,\s\up15(→)),λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),1)),则eq\o(AO,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+eq\o(BO,\s\up15(→))=eq\o(AB,\s\up15(→))+λeq\o(BC,\s\up15(→))=(1-λ)eq\o(AB,\s\up15(→))+λeq\o(AC,\s\up15(→))=xeq\o(AB,\s\up15(→))+(1-x)eq\o(AC,\s\up15(→)),则x=1-λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),故选C.17.(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理,设△ABC中,点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是(CD)A.eq\o(GH,\s\up15(→))=2eq\o(OG,\s\up15(→))B.eq\o(GA,\s\up15(→))+eq\o(GB,\s\up15(→))+eq\o(GC,\s\up15(→))=0C.设BC边中点为D,则有eq\o(AH,\s\up15(→))=3eq\o(OD,\s\up15(→))D.eq\o(OA,\s\up15(→))=eq\o(OB,\s\up15(→))=eq\o(OC,\s\up15(→))解析:如图,A.由题得eq\o(AG,\s\up15(→))=2eq\o(GD,\s\up15(→)),OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD∥AH,所以eq\o(GH,\s\up15(→))=2eq\o(OG,\s\up15(→)),所以该选项正确;B.eq\o(GB,\s\up15(→))+eq\o(GC,\s\up15(→))=2eq\o(GD,\s\up15(→))=-eq\o(GA,\s\up15(→)),所以eq\o(G
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