《数学物理方法》课程教学大纲

《数学物理方法》课程实施大纲

目录

1.教学理念............................................4

2.课程介绍............................................5

3.教师简介............................................7

4.先修课程............................................7

5.课程目标............................................7

6.课程内容............................................8

7.课程实施............................................9

8.课程要求............................................76

9.课程考核............................................77

10.学术诚信...........................................77

11.课堂规范............................................78

12.课程资源...........................................78

13.教学合约...........................................79

14.其他说明...........................................79

1.教学理念

L1关注学生的发展

以学生为中心，通过学生自主的探究性活动获得相应的知识，提高学生的能力，

培养学生良好的情感和态度，形成正确的价值观，体现在以下几点：

1.关注学生的情绪生活和情感体验。使教学过程成为学生一种愉悦的情绪生活

和积极的情感体验。关注学生在课堂上的情绪，伴随着知识的获得，关注学生对

课程学习的态度，学生对课程学习的信心是增强还是减弱？用“心”施教，不做

课程体系的传声筒，从而体现对本职的热爱，对学生的关切的热切情感。

2.关注学生的道德生活和人格养成。课堂教学中不仅传递学科知识，更要注重人

性养育。充分挖掘和展示教学中的各种道德因素，积极关注和引导学生在教学活

动中的各种道德表现和道德发展，从而使教学过程成为学生一种高尚的道德生活

和丰富的人生体验。知识增长的过程同时也就成为人格的健全与发展过程，伴随

着课程知识的获得，学生变得越来越有爱心，越来越有同情心，越来越有责任感,

越来越有教养，则是应该追求的更高目标。

1.2关注教学的有效性

1.扎实备课，设计出优质教案；

2.了解学生，合理设计教学内容；

3.情境生活化，增强体验感；

4.创设有利于激发学生学习热情的问题情景；

5.营造民主、和谐、师生平等的课堂教学氛围；

6.培养学生自主、合作、探究学习的能力；

7.恰当地运用多媒体教学手段；

1.3关注教学的策略

优化课堂教学方法、加强课后辅导，使其方法策略尽量合理化、科学化；更好地

提高课堂教学的实效性。

1.3关注教学价值观

注重在传授知识的同时组织学生的认知活动，掌握自我学习、自我发展的本领，

体现在以下几点：

1.完成科学知识的讲授和社会经验的传递，发展学生智育。

2.发展学生的智能和体能，使学生形成能力，掌握个人生存和为社会服务的本领。

3.重视学生实践能力的培养，在理论和实践结合上掌握知识。

4.对学生进行思想教育，逐步使学生树立正确的世界观、科学的人生观，形成良

好的道德品质、行为习惯，树立与时代相适应的思想和品格。

在教学活动中贯彻落实以人为本,尊重人的尊严、人的权利、人的需要,一切为了

现实的、社会的和教育发展的需要。

2.课程介绍

2.1课程的性质

数学物理方法在自然科学以及工程技术中有着极其广泛的应用，它又与其它数学

分支有着密切的联系。数学物理方程来源于物理学等自然科学，微分方程本身以

及许多定解问题的求解都需要一定的物理知识。随着现代科学技术的飞速发展，

对数学物理方法的理论和应用的广度及深度都提出了更高的要求，使它成为了纯

粹数学和自然科学各部门及工程技术等领域的一个重要的桥梁。

2.2课程在学科专业结构中的地位、作用

数学物理方法是物理及应用物理类本科教育的一门重要课程，通过这门课程的学

习，使学生获得复变函数、拉普拉斯变换、付里叶积分变换及三种偏微分方程的

建立与求解等方面的基础知识。培养学生用数学物理方法解决物理问题的能力，

培养学生严谨的逻辑和推演等理性思维能力，初步培养学生对实际问题的抽象建

模能力，同时为学生学习量子力学、电动力学、固体物理等其它后续课程打下坚

实的数学基础。

2.3课程的历史与文化传统

人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期

对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及对流体力学、位函数

的研究，都获得相应的数学物理方程有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个

别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，

这便是经典的偏微分方程理论的范畴。

2.4课程的前沿及发展趋势

20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题,

电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为

数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展,

为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。现代关于数学物理方程的研究有了前

所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：

1、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方

程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新

考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究，难度大得多，然而对线性偏微分方

程的已有结果，将提供很多有益的启示。

2、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性

偏微分方程组。如反应扩散方程组，流体力学方程组电磁流体力学方程组，辐射

流体方程组等，在数学上称双曲一抛物方程组。

3、一个实际模型的数学描述，除了描述过程的方程（或方程）外，还应有定解

条件（如初始条件及边值条件）。传统的描述，这些条件是线性的，逐点表示的。

而现在提出的很多定解条件是非线性的，特别是非局部的。对非局部边值问题的

研究是一个新的非常有意义的领域。

4、与数学其他分支的关系。例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程,

如极小曲面方程，调和映照方程等等。泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏

微分方程的理论研究中被广泛应用，例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提

供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统

完善。再就是计算机的广泛应用，计算方法的快速发展，特别是有限元广泛的应

用，使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。

2.5课程与经济社会发展的关系

数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、

生物学、医学、农业、环保领域，甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一

些非常重要的偏微分方程，它与经济社会发展的关系也越来越密切。

2.6课程内容可能涉及到的伦理与道德问题

科学研究鼓励自由探索但却不能没有科学伦理的规范。做科学研究的人一

定要守住科学伦理道德底线，绝对不能为了某些私利而危害人类健康和公共安

全。研究的成果为人类所用，不能危害人类和自然生态。本课程属于基础学科课

程，间接地涉及到伦理与道德问题，大家应当正确把握。

2.7学习本课程的必要性

《数学物理方法》是物理及应用物理类本科专业的一门重要的理论基础课，也是

一门专业必修课。它既是前期课程《高等数学》的延伸，又为后继开设的专业理

论课《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知

识和计算工具。本课程在物理及应用物理类专业中占有重要的地位，本专业学生

必须掌握它的基本内容，否则对后继课程的学习将会带来很大困难。因此，在物

理及应用物理类本科教学中都无一例外的把《数学物理方法》课程作为重要的课

程来开设。

3.教师简介

4.先修课程

高等数学，线性代数，概率论与数理统计，力学，热学，电磁学，光学，原子物

理学。

5.课程目标

5.1知识与技能方面

本课程是物理系各专业的基础理论课，通过本课程的学习，使学生掌握处理物

理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。要

求学生熟悉复变函数（特别是解析函数）的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗

级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分等；掌握傅立叶变换和拉普拉

斯变换的概念及性质，了解运用拉普拉斯变换方法求解微分方程的方法；了解

三种类型的数学物理方程的导出过程，了解用行波法求解一维无界及半无界波

动方程，熟练掌握利用分离变量法求解三种偏微分方程（弦振动方程、热传导

方程、拉普拉斯方程）的方法，了解非其次边界条件及非其次偏微分方程的求

解方法；了解特殊函数的常微分方程，级数解法求解二阶常微分方程，了解施

图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质。

5.2过程与方法方面

数学物理方法是物理类及应用物理类专业学生的一门基础理论课，它的主要特点

是数学理论的谨严性。对于物理专业来说，《数学物理方法》不宜单纯作为数学

课程来进行讲授与学习，它既是数学课，又是物理课，在这样一门课程中，既不

能将数学的谨严性弃之不顾，也不宜在数学谨严上做过多的要求。从复变函数论

内容体系上看，复数、复变函数、复导数、复积分及级数等与高等数学中的函数、

微分、积分、级数等概念遥相呼应，所以，适宜采用“对比”或“类比”教学法,

使学生对所学内容能达到由少到多，再由多到少。在内容的展开方面，注重内容

所含事件发生、发展的自然过程，强调概念的产生过程所蕴含的思想方法，注重

概念、定理叙述的准确性。对数学物理方程这部分内容，一是加强数学建模能力

的培养，二是突出求解数学物理方程的方法一分离变数法。在教学形式上，注重

与学生的互动交流，增强学生学习能力和研究能力。

5.3情感、态度与价值观方面

科学精神是个人科学情感态度与价值观的集中体现，在教学中注重培养学生具有

求真、求实，尊重客观事实的精神；民主、平等、自由、合作的团队精神；科学

与人类命运、社会进步相结合的人文精神；谦虚谨慎、不断进取的求知精神；孜

孜不倦、敢于超越前人的探索精神；不人云亦云、不受各种因素影响和压制的独

立精神；超越功利、不计较个人得失的牺牲精神；以及顽强执着、锲而不舍的奋

斗精神等等。

6.课程内容

6.1课程的内容概要

本课程主要学习四部分内容：

1.复变函数；2.积分变换（含傅立叶变换与拉普拉斯变换）；3.数学物理方程；

4.特殊函数。通过这门课程的学习，使学生获得复变函数、拉普拉斯变换、付里

叶积分变换及三种偏微分方程（弦振动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）的建

立与求解等方面的基础知识，特殊函数主要学习勒让德多项式与球谐函数、贝塞

尔函数等内容，为学好物理专业四大力学课程打好必要的数学基础。

6.2教学重点、难点

1.教学重点：复变函数和解析函数、解析函数的洛朗级数展开方法、留数定理和

留数的求法、拉普拉斯变换、数学物理方程的分离变量法与本征值问题、勒让德

多项式和球谐函数、贝塞尔函数和柱函数。

2.教学难点：复变函数积分及其性质、复变函数中几种特殊积分的求法、拉普

拉斯变换与傅立叶变换的基本性质、数学物理方程的定解问题、分离变量法求解

数学物理方程、非齐次方程与非齐次边界条件问题的求解、积分变换法求解数学

物理方程、勒让德方程及勒让德多项式的导出、勒让德多项式的母函数与递推公

式、贝塞尔微分方程和贝塞尔函数的导出、贝塞尔函数的母函数与递推公式。

6.3学时安排

总学时数：64学时

第一章复数与复变函数4学时；

第二章复变函数的积分4学时；

第三章复变函数级数4学时;

第四章留数与留数定理6学时;

第五章拉普拉斯变换4学时;

第六章傅立叶变换4学时;

期中考试4学时;

第七章数学物理方程的定解问题4学时;

第八章分离变量法、本征值问题8学时;

第九章积分变换法求解数学物理方程4学时;

第十章勒让德多项式和球谐函数6学时

第十一章贝塞尔函数和柱函数6学时

第十二章格林函数法求解数学物理方程4学时

期末总复习2学时

7.课程实施

7.1教学单元一（2学时）第一章复变函数（I）

7.1.1教学日期第x周xx月xx日

7.1.2教学目标

（1）理解复数的基本概念、掌握复数及其代数运算；

（2）掌握复变函数及其导数。

7.1.3教学内容（含重点、难点）

1.1复数极其四则运算

Complexnumbersanditsfourfundamentaloperations

1.Introductiontocomplexnumbers;复数概论

2.Fourfundamentaloperations;四则基本运算

3.Powersandroots.乘方与开方

4.Examples.例题

1.2.复数的几何表述

Geometricrepresentationofcomplexnumbers

1.Complexnumbersarerepresentedbythepointsandvectorsinthe

plane;复平面中的点和矢量

2.Modulusandargument.复数的模与幅角

1.3.复变函数Functionsofacomplexvariable.

1.Definitionandgeometrysignificance;定义及几何意义

2.Limitsandcontinuity;极限与连续性

3.Examples.例题

重点：复数及四则运算；复变函数及导数。

Complexnumbersanditsfourfundamentaloperations；Functionsofa

complexvariableanditsderivative.

难点：复数的根式运算；复变函数。

7.1.4教学过程

通过复习使学生掌握复数及其代数运算，讲清复变函数及其导数的定义、几何性

质，通过举例和练习使学生理解和掌握.

.复数概论Introductiontocomplexnumbers

Itiscustomarytodenoteacomplexnumber:z=x+iy

Triangleformandexploitation

z=夕(coso+isin。)，z=pexp(i(p)

(P=ArgzArgument,幅角

-7t<argz<7LPrincipalvalueofargument幅角的主值

p=y]x2+y2Modulus.模

2.Fourfundamentaloperations四则运算

3.Functionsofacomplexvariable复变函数

W=/(z)=M(x,y)+Mx,y)

1-2.Theconceptofdomain区域的概念

(1)Curve曲线

(2)Simplyconnecteddomain.单连通区域

(3)Closeddomainandmultipleconnecteddomain.

闭区域与复连通

(4)Examplesofcomplexfunctions.复变函数举例

1-3Derivativeofcomplexfunctions复变函数的导数

1.Definition定义

f'(z)=lim/(z+Az)―/(z),

1-4例题:1；2o

板书讲解。

7.1.5教学方法

课堂讲授

1.Multimediappt;多媒体PPT

2.LecturingandExplaining;板书讲解

3.DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.1.6作业安排及课后反思

Exercise1作业

(1)；Q)；(3).

1.作业布置的原则和数量要求：

让学生做习题是教学活动的实践环节，它可以使学生深入地牢固掌握所学内容的

基本概念和基本规律，提高他们分析解决问题的能力。习题应当保证属于熟练掌

握和掌握的内容、类型广泛且有一定难度的题目为主。平均每次习题数量为2-3

题。

2.对学生做作业的要求：

要求学生按时完成作业，不抄袭。作业要求书写要规范、整洁，能画图帮助思

考的作业题一定要认真画图，作业用书写字迹要清晰。保证作业的质量和数量,

防止漏题不做。

7.1.7课前准备情况及其他相关特殊要求

1.主讲教师每次上课必须有教案并认真备课，每周每个大班应按规定时间与地点

进行答疑、辅导。

2.每学期由教研室安排教师进行教学检查，包括课堂纪律、教风、学风、学生作

业及辅导情况等。

3.教师应结合教学对学生进行思想教育、进行科学的世界观和方法论教育。

4.教师应结合讲课对学生进行学风教育，规定课堂纪律要求，平时复习，自学与

作业要求，并进行学习方法指导。向学生强调数学物理的基本观点和基本方法,

特别是数学物理中的联系和区别。如发现学生学习放松、作业马虎或常缺交、

缺课，上课开小差等现象时应及时指出，或帮助学生端正学习态度，并与各系

教学秘书或班主任、辅导员联系。

5.关心成绩差的学生，帮助他们分析学习差的原因，鼓励他们努力学习，改进学

习方法。

Summary:1.复数.定义与特性

Complexnumbers.DefinitionandProsperities.

2.Complexfunctions复变函数

3.Analyticfunctions.C-Rcondition.解析函数.C-R条件

7.1.8参考资料

[1].梁昆淼.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2010.pp:3-22

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2011.pp:1-18

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:1-31

7.2教学单元二(2学时)第一章复变函数(H)

7.2.1教学日期第x周xx月xx日

722教学目标

(1)掌握复变函数及其导数、理解解析函数的定义；

⑵会用柯西一黎曼条件判断函数的可导和解析；

⑶了解几个基本解析函数。

723教学内容(含重点、难点)

2.1解析函数AnalyticFunctions

1.Derivativeofcomplexfunctions;复变函数的导数

2.Theconceptofananalyticfunction解析函数的概念

2.2解析函数的充分必要条件

Necessaryandsufficientconditionsofanalyticfunctions

1.Cauchy-Riemannequations(C-RequationsorC-Rcondition);

柯西黎曼条件(C-R条件)

2.Examples.例题

2.3Elementaryfunctions.基本解析函数

l.Theexponentialfunction;指数函数

2.Thetrigonometricfunctions;三角函数

3.Thelogarithmicfunction;对数函数

4.Thepowerfunction;暴函数

5.Examples.例题

重点：解析函数的概念；柯西黎曼条件

ConceptofAnalyticFunctions；Cauchy-Riemannconditions.

难点：AnalyticFunctions解析函数

7.2.4教学过程

始首先给出函数解析的定义，函数解析的充分必要条件，推导柯西一黎曼条件.一

般讲解解析函数及几何性质，通过举例和练习使学生理解和掌握.

1.复变函数与解析函数AnalyticFunctionsofaComplexVariable

l.Theconceptofananalyticfunction解析函数的概念

2.Theorems.(1)(2)定理(1)(2)

2.柯西黎曼条件

Cauchy-Riemannequations(C-RequationsorC-Rcondition);

dudvdv

——=——,——二----Cauchy-Riemannequations

dxdydxdy

3.Prosperitiesofanalyticfunctions.解析函数的特性

1.HarmonicFunctions调和函数

ThereforeuandvaresolutionsofLaplace'sequationintwodimensions,

theyarecalledharmonicfunctions(orconjugatefunctions).

4.Elementaryfunctions.基本函数

l.Theexponentialfunction;指数函数

2.Thetrigonometricfunctions;三角函数

3.Thelogarithmicfunction;对数函数

4.Thepowerfunction;累函数

5.例题

Example1Letf(z)=u(x,y)+zv(x,y)isanalyticonthedomainD,

andu(x,y)=x2+2xy-y2,finduandv.

课堂板书讲解。

7.2.5教学方法

课堂讲授

1.Multimediappt;多媒体PPT

2.LecturingandExplaining;板书讲解

3.DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.2.6作业安排及课后反思

Exercise1作业

(2)；(3);(4).

7.2.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前。

教学实施小结：

Summary:1.Complexfunctions复变函数

2.Analyticfunctions.C-Rcondition.解析函数.C-R条件

7.2.8参考资料

[1].梁昆淼.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2010.pp:3-22

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京:高等教育出版社，2011.pp:1-18

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:1-31

7.3教学单元三(2学时)第二章复变函数的积分(I)

7.3.1教学日期第x周xx月xx日

732教学目标

(1)理解复变函数积分及其性质；

(2)掌握柯西定理和柯西公式及几个推论。

7.3.3教学内容(含重点、难点)

比较实函数积分与复变函数积分的差异，柯西定理和柯西公式及几个推论只讲结

论不推导。

3.1Theconceptofcomplexintegral复变函数积分的概念

l.Thedefinitionofcomplexintegral;复变函数积分的定义；

2.Thepropertiesoftheintegrals;复变函数积分的特性;

3.Integrabilitycondition;复变函数的不定积分

4.Examples.例题

3.2Cauchyintegraltheorem柯西积分定理

1.Cauchytheorem;柯西定理

2.Indefiniteintegral;复连通域上的柯西定理

3.GeneralizedCauchytheoreminmultiplyconnecteddomains;

4.Examples.例题

重点：Complexintegralanditsproperties;复变函数积分及其特性

Cauchyintegralformulaandseveraltheorems;柯西积分公式及相关定理

难点：Cauchyintegralformulaandseveraltheorems;柯西积分公式及相关定理

7.3.4教学过程

首先比较实函数积分与复变函数积分的差异，然后讲解柯西定理和柯西公式，几

个推论只讲结论不推导和证明，课堂上多举些例子。适当设计提问，并与学生共

同讨论。

1.Theconceptofcomplexintegral复变函数积分的概念

l).Thedefinitionofcomplexintegral复变函数积分的定义

=Hm£/(4Xz*-zJ)

k=\

jf(z)dz=JM%，y)^一ijv(x,y)dx+u[x.y)dy

2).Thepropertiesoftheintegrals(p37)复变函数积分的特性

3).Integrabilitycondition(P38).复变函数的不定积分

4).Examples(P39-P41).例题

2.Cauchyintegraltheorem柯西积分定理

1).Cauchytheorem:柯西公式

Supposethatf(z)isanalytic,with/'continuousonandinsidethesimpleclosed

curveC.Then

£/(z»z=0

2).GeneralizedCauchytheoreminmultiplyconnecteddomains

复连通域上的柯西定理

SupposethatCi...CnaresimpleclosedcurvesandthatCisasimpleclosedcurve

withfanalyticonthedomainbetweenCandCi...Cn.Then

3).Examples(P46).例题

3Cauchyintegralformula柯西积分公式

1)..Cauchyintegralformula;柯西积分公式

LetfbeanalyticonthedomainDandletCbeasimpleclosedcurveinD,zoisinside

C.Then

2万2JCz—z0

Examples:1；2.

课堂板书讲解。

7.3.5教学方法

1vMultimediappt;多媒体PPT

2、LecturingandExplaining;讲解

3、DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.3.6作业安排及课后反思

Exercises：3(1);(2);(3).

7.3.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前。

Summary1.Theconceptofcomplexintegral.复变函数积分的概念

2.Cauchyintegraltheorems.柯西积分定理

3.Cauchyintegralformula.柯西积分公式

738参考资料(具体到哪一章节或页码)

[1].梁昆淼.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2010.pp:23-31

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2011.pp:20-33

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:36-59

7.4教学单元四(2学时)第二章复变函数的积分(II)

741教学日期第x周xx月xx日

742教学目标

(1)掌握柯西定理和柯西公式及几个推论；

(2)理解复变函数的不定积分。

7.4.3教学内容(含重点、难点)

1.Cauchyintegraltheorem复习柯西积分定理

1).Cauchytheorem;柯西定理

2).Indefiniteintegral;复连通域上的柯西定理

3).GeneralizedCauchytheoreminmultiplyconnecteddomains;

4).Examples.例题

2.Cauchyintegralformula柯西积分公式

l).Cauchyintegralformula;柯西积分公式

2).Existenceofhigherderivative;高阶导数

3).Examples.例题

重点：Complexintegralanditsproperties;复变函数积分及其特性

Cauchyintegralformulaandseveraltheorems;柯西积分公式及相关定理

难点：Indefiniteintegralofcomplexfunction.复变函数的不定积分

7.4.4教学过程

在上节课的基础上，运用柯西定理和柯西公式具体求解几个积分实例，简单讲解

复变函数的不定积分。适当设计提问，并与学生共同讨论。

1.Theconceptofcomplexintegral复变函数积分的概念

l).Thedefinitionofcomplexintegral复变函数积分的定义

j/(z»z=㈣£/(&Xz*-z*T)

&=|

Jf(z)dz=y)dx-v[x.y)dy+y)dx+u[x,y)dy

2).Thepropertiesoftheintegrals(p37)复变函数积分的特性

3),Integrabilitycondition(P38).复变函数的不定积分

4).Examples(P39-P41).例题

2.Cauchyintegraltheorem柯西积分定理

l).Cauchytheorem:柯西公式

Supposethatf(z)isanalytic,with/'continuousonandinsidethesimpleclosed

curveC.Then

£/(zMz=o

2).GeneralizedCauchytheoreminmultiplyconnecteddomains

复连通域上的柯西定理

SupposethatCj...CnaresimpleclosedcurvesandthatCisasimpleclosedcurve

withfanalyticonthedomainbetweenCandCi...Cn...Then

哆£j(zHz

3).Examples(P46).彳列题

r1

1).Evaluatei-----dz;

z-a

2).Evaluate^(z-afdz,(〃w-1)

课堂板书讲解。

3.Cauchyintegralformula柯西积分公式

l).Cauchyintegralformula;柯西积分公式

LetfbeanalyticonthedomainDandletCbeasimpleclosedcurveinD,z()isinside

C.Then

/(zo)=9，/^dz

2)z4z-z0

Examples:

2).Existenceofhigherderivative.高阶导数

LetfbeanalyticonasimpleconnecteddomainD.Thenallthederivativesoffexist

onD.Furthermore,forz()£DandanysimpleclosedcurveC,z()£insideofC.We

have

/(，＞＞(Zo)=^fc^rdZ

r(z)=5£含酒

J、＞2加"©-z)

3).Examples.例题

计算

rsmz

Evaluate♦——az

J|z|=lz

7.4.5教学方法

4、Multimediappt;多媒体PPT

5、LecturingandExplaining;讲解

6、DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.4.6作业安排及课后反思

Exercises：3(1);(2);(3).

7.4.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前。

Summary1.Theconceptofcomplexintegral.复变函数积分的概念

2.Cauchyintegraltheorems.柯西积分定理

3.Cauchyintegralformula.柯西积分公式

748参考资料（具体到哪一章节或页码）

[1].梁昆淼.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2010.pp:23-31

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京：高等教育出版社，201Lpp:20-33

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:36-59

7.5教学单元五（2学时）第三章复变函数级数（I）

751教学日期第x周xx月xx日

752教学目标

（1）理解基级数的收敛性；

（2）掌握解析函数的泰勒级数展开方法；

753教学内容（含重点、难点）

1.Seriesofcomplexnumbersandseries复数级数与复变函数级数

ofcomplexfunctions

1.Sequencesofcomplexnumbers.复数的级数

2.Seriesofcomplexnumber.复变函数级数

3.Sequencesandseriesofcomplexfunctions.

2.Powerseries累级数

1.Convergenceofpowerseries.基级数的收敛性

2.Radiusofconvergence.收敛半径

3.Propertiesofpowerseries.幕级数的特性

4.Examples.例题

3.Taylorseries泰勒级数

1.Taylortheorem.泰勒定理

2.Taylorseriesofsomecommonelementaryfunctions.

常用基本函数的泰勒级数

3.Examples.例题

重点：TaylorseriesandLaurentseries.

泰勒级数与洛朗级数

难点：ExpansionsMethodsofTaylorseries.

泰勒级数的展开方法

7.5.4教学过程

先复习幕级数及收敛性，然后重点讲解解析函数的泰勒级数展开方法并举例题使

学生掌

握。

1.Seriesofcomplexnumbersandseriesofcomplexfunctions

复数项级数与复变函数级数

1).Sequencesofcomplexnumbers.复数项级数

Z%’卬，，=〃"+凡，

M=1

2).Seriesofcomplexnumber.复变函数级数

3).Sequencesandseriesofcomplexfunctions.

2.Powerseries塞级数

1).Convergenceofpowerseries.基级数的收敛性

2).Radiusofconvergence.收敛半径

£a.(z-Zo)"R^lmjan/an+l\

n=\

3).Propertiesofpowerseries.幕级数的特性

4).Examples.例题

3.Taylorseries泰勒级数

1).Taylortheorem.泰勒定理

LetfbeanalyticonadomainD.Letzo《Dandlet

Dr={z|z-z()<r}becontainedinD,usuallythelargestopendiskpossibleisused:

Ifr=co,Dr=D=C.Thenforeveryz£Dr,

/(z)=£”z0)(z.z。)"

n=0几

TheseriesiscalledTaylorseriesoffaroundthepointzo.

2).Taylorseriesofsomecommonelementaryfunctions.

常用基本函数的泰勒级数

3).Examples,(seepptfiles)例题。1；2。

课堂板书讲解。

7.5.5教学方法

1、Multimediappt;多媒体PPT

2、LecturingandExplaining;讲解

3、DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.5.6作业安排及课后反思

Exercises:作业

3(1)；(2);(3).

7.5.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前，

教学实施小结：

Summary：1.Seriesofcomplexnumbersandseries

复变函数级数

2.Taylorseries泰勒级数

7.5.8参考资料

1].梁昆淼.数学物理方法.北京:高等教育出版社,2010.pp:32-49

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2011.pp:35-54

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:63-88

7.6教学单元六(2学时)第三章复变函数级数(II)

761教学日期第x周xx月xx日

762教学目标

(1)熟练掌握解析函数的洛朗级数展开方法；

763教学内容(含重点、难点)

1.Laurenttheorem.洛朗定理

2.Laurentexpansion.洛朗展开

3.Examples.例题

重点：洛朗级数展开方法

难点：ExpansionsMethodsofLaurentseries.

洛朗级数的展开方法

7.6.4教学过程

在前节的基础上，重点讲解解析函数的洛朗级数展开方法并举例题使学生掌握,

对孤立

奇点的分类和特性则只做一般介绍。

1.Laurentseries洛朗级数

1).Laurenttheorem.洛朗级数

2).Laurentexpansion.洛朗级数展开

If/(z)isanalyticintheinteriorandontheboundaryofthecircularring

betweenR2<|z-z()|<,itcanberepresentedasaseries

expansionaboutzointheform

/(Z)=£%(z-Zo)"=Za"(z-Zo)"+£%(z—Zo)"

rt=-oort=-<c"=0

Principalpartanalyticpart

Wherea=——f若

3.Examples.例题

(1)FindtheLaurentexpansionfor/(z)=sinz.

Solutionsinz=z--z3+—z5--z7+…

3!5!7!

(2)FindtheLaurentexpansionfor/(z)=l/(z2-1)inthecircularring

1<|z|<oo.

100

-〃=027

7.6.5教学方法

1、Multimediappt;多媒体PPT

2、LecturingandExplaining;讲解

3、DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.6.6作业安排及课后反思

Exercises:作业

4(1)；(2);(3).

7.6.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前，

教学实施小结：

Summary1.Laurentseries洛朗级数

7.6.8参考资料

[1].梁昆淼.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2010.pp:32-49

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京：高等教育出版社，2011.pp:35-54

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:63-88

7.7教学单元七(2学时)第四章留数与留数定理(I)

771教学日期第x周xx月xx日

772教学目标

1.理解孤立奇点的分类和特性。

2.熟练掌握留数的求法.

7.7.3教学内容(含重点、难点)

1.Isolatedsingularities.另R立奇点

1).Thethreetypesofisolatedsingularpoints.三类孤立奇点

2).Behaviorofnearisolatedsingularpoints.孤立奇点附近的行为

3).Examples.例题

2.Residues,mth-orderpole,simplepole留数、m阶极点

1).Definitionandcalculationofresidues.留数的定义

2).mth-orderpole,simplepole,m阶极点、单极点

3).Examples.例题

重点：Residuestheorem;Evaluationofresidues.

留数定理；留数的计算

难点：留数的求法。

7.7.4教学过程

讲清留数定理和留数的求法，举例说明，通过习题课让学生熟练掌握留数的求法。

1.Isolatedsingularities.JR立奇点

1).Thethreetypesofisolatedsingularpoints.三类孤立奇点

(i)Removablesingularity.可去奇点

(ii)Pole.极点

(iii)Essentialsingularity.本性奇点

2).Behavioroffnearisolatedsingularpoints.

3).Examples.(P94-96).例题

2.Residues,mth-orderpole,simplepole

留数、m阶极点、单极点

1).Definitionandcalculationofresidues.留数的定义与计算

Letf(z)hasanisolatedsingularityatzo,thenf(z)admitsaLaurentexpansionthatis

validinadeletedneighborhoodofzo.anda.iiscalledtheresidueoff(z)atzo,Thisis

written

Re-以)=%

1r

Wecanhaveanotherdefinition:Resf(z)=----1f(z)dz

02加'J|iol=£

2).mth-orderpole,simplepole,m阶极点，单极点

(i)Simplepole:单极点

Re4(z0)=lim[(z-Zo

ZT%

/(z)=鼎，—加。)=需1

(ii)mth-orderpole,m阶极点

m

Re5f(z0)=lim7-~-卜-z0)-'/(z)]>

3.Examples例题

1.Findtheresiduesoff(z)=sin(z)/(z-l)2求留数

Solutionz=lisanisolatedsingularpoint,z=2issecond-orderpole,

then.,,,

Res/(I)-lim---[(z-l)2/(z)J=lim------sinz=cosl

fl!必—1!dz

7.7.5教学方法

1.Multimediappt;多媒体PPT

2.LecturingandExplaining;讲解

3.DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.7.6作业安排及课后反思

Exercises：3(1);(2);(3).

7.7.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前。

教学实施小结

1.Isolatedsingularities.孤立奇点

2.Residues,mth-orderpole,simplepole留数、m阶极点、单极点

3.Examples例题

7.7.8参考资料

[口.梁昆淼.数学物理方法.北京:高等教育出版社，2010.pp:51-67

[2].胡嗣柱.数学物理方法.北京:高等教育出版社，20n.pp:66-84

[3].盖云英.复变函数与积分变换.北京：科学出版社，2010.pp:63-88

7.8教学单元八(2学时)第四章留数与留数定理(H)

781教学日期第x周xx月xx日

782教学目标

1.熟练掌握留数定理.

2.了解几种特殊积分的求法。

783教学内容(含重点、难点)

1.Residuetheorem留数定理：

2.Applicationofresiduesinevaluating留数在计算积分中的应definiteand

improperintegrals.用

1).Trigonometricintegrals：£T/?(cos0,sin0)d0

2).IntegralsofthetypeJ于(x)dx

3).Integralsoftheformfcosaxf{x}dxandfsinaMx)dx.

3.Examples例题

重点：Residuestheorem；

留数定理

难点：Evaluatingdefiniteandimproperintegrals.

有限、无限积分的计算

7.8.4教学过程

讲清留数定理举例说明，通过习题课让学生熟练掌握留数定理；有选择地选讲留

数定理

在求解几个特殊积分中的应用。

1.Residuetheorem留数定理：

LetDbeadomainandletzl,z2,...zn£DbendistinctpointsinD.LetfBeanalytic

onD.Thatis,fisanalyticonDexceptforisolatedsingularitiesatzi,Z2…zn.LetCbe

asimpleclosedcurveinthedomainDwhoseinsideliesinD,then

f(Z)dz=2冗立Resf(zQ

1

=2zriaA=24iRe5/,(z0)(isolatedsingularpoints.)

ff(z)dz=2兀rResf(zk)(nisolatedsingularpoints)

&=1

2.Examples.例题

Examples1.Evaluate----dz,C:Iz|=2

Solution.Tof(z)=z/(z4-1),therearefoursimplepolesintheinsideof

C,theyare±1,±i.So

cZ"

t——:1dz=2汝2Resf(z.

cz-1k=l

=2m{Resf(l)+Resf(-l)+Resf(i)+Resf(-i)}

c”1111、八

=2勿{—H----------------}=0

4444

3.Applicationofresiduesinevaluatingdefiniteandimproperintegrals.

留数在计算积分中的应用

1).Trigonometricintegrals：fR(cos0sin0)d0

JO9

-i_i

z+zz-z、dz

£7?(cos^,sin0)d0=JR

)

|z|=lV2'2iiz

z=el°

LetR(x,y)bearationalfunctionofx,y,havingnopoleontheunitcircle,then

『/?(cos^,sin0]d0=2加*£{Residuesoff(z)insideunitcircle}.

2.)Evaluate计算

8cosmx

dx

bX2+25

7.8.5教学方法

1.Multimediappt;多媒体PPT

2.LecturingandExplaining;讲解

3.DiscussionandQuestions.讨论与提问

7.8.6作业安排及课后反思

Exercises：3(1);(2);(3).

7.8.7课前准备情况及其他相关特殊要求

同前。

教学实施小结

1.留数定理；

2.Applicationofresiduesinevaluatingdefiniteandimproperintegrals.

留数在计算积分中的应用,

3.Examples