江苏省宿迁市宿城区职业高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

江苏省宿迁市宿城区职业高级中学2021-2022学年高三

数学理模拟试题含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体

的体积为（）

_421

A.8-3nB.8-orC.8-巨”D.8-3Jt

参考答案：

D

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】根据几何体的三视图知：该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体,

结合图中数据，计算它的体积即可.

【解答】解：根据几何体的三视图知，

该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，

11

V=23-2x3xItX12X2=8-3.

故选：D.

【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题.

2.已知球的半径为我，则半球的最大内接正方体的边长为

,\(2、历%/6

(A)2R(B)~R(C)~3-R(D)(V2-1)R

参考答案：

C

略

-3x+4

y------------

3.函数.x的定义域为()

A.M.l]B.H.O)c.(0J]

D.[T0)U(0.1]

参考答案：

D

4.若复数z=l+【，】为虚数单位，则(1+Dz=

A.1+皆B.3+4C.3TD.3

参考答案：

A

本题主要考查了复数的运算等，难度较小。由于z=l+i,则(1+z)-z=(l+1+i)

(1+i)=(2+i)(1+i)=l+3i,故选A；

x-y+220

4x-y-440

'x^O

5.设x,y满足约束条件1尸2°，若目标函数z=^+力（a>0,b>0）的最大值为6,

的最小值为)

A.1B.3C.2D.4

参考答案:

A

略

.,、kg.x-d）'g（x）=log]X-T

6.设函数7（x）=4、?4的零点分别为勺,一,则（）

A.0VX/2<1B.X/2=1C.1<X1X2<2立13222

参考答案：

A

7.已知曲线F-4x的焦点F,曲线上三点A,B,C满足力-曲+则

网+画+困=—

A.2B.4C.6D.8

参考答案：

C

_11,汽、

sin2a=-cos（a—）=

8.已知3,则4

A.3B.3C.3D.

2

3

参考答案:

D

9.已知数列{〃“}是等差数列，且则的值为().

A.出B,C.3D,3

参考答案：

A

试题分析：叼=加，所以

.c2x_4冗▲.,、44元R

%=2ir.q=—.勺♦%=4♦Oj)=tm—=VJ

考点：1、等差数列；2、三角函数求值.

22^.=*+x(a,beR.i，

10.已知i，则a-b=

(A)1(B)2(C)-1

(D)-3

参考答案：

A

由题意知a-2i=)+P=-l+b］，所以。=-1力=-2,。-6二1,选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.(2013?松江区一模)集合A={0,2,a},B={1,a2},若AuB={0,1,2,4,16),

则a的值为一.

参考答案：

4

略

12.设上；=口2,3…MReN*),对大；的任意非空子集A,定义/(&为A中的最大元

素，当A取遍-%的所有非空子集时，对应的/(④的和为邑，则局=

参考答案：

129

略

13.已知函数x,数列｛%｝是公比大于0的等比数列，且■=1,

/(R，/(37(6+/(3/(/)='则.=.

参考答案：

2

【分析】

1

<__,

由于<4｝是等比数列，所以I.J也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得q

的值.

」，11

【详解】设数列｛4｝的公比为g>°,则14J是首项为，，公比为g的等比数列，由

f(/)♦/W*/(<%)♦-♦〃，)♦/(%)=F得

,、“F

1111----------1-------F

—♦—+•••+—Qi——

，即q①，由

包

■=L得"5二［②，联立①②解得.2.

【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前"项和公式，考查运算求解

能力，属于中档题.

DO,y》O

</C-3x+3返

14.由约束条件［y<kx+l,确定的可行域D能被半径为2的圆面完全覆盖，则实数k

的取值范围是—.

参考答案：

(-°0，4-1

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】先画出山约束条件确定的可行域D,山可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的,

1

判断出直线y=kx+l斜率小于等于后即可得出k的范围.

【解答】解：•••可行域能被圆覆盖，

可行域是封闭的，

'x>0,

■y<C-3x+3

作出约束条件[y<kx+i的可行域：

可得B（0,1）,C（1,0）,BC|=我，

返

结合图，要使可行域能被2为半径的圆覆盖，

只需直线y=kx+l与直线y=-3x+3的交点坐标在圆的内部,

两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=5,

则实数k的取值范围是：（-8,5].

15.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下

表.观察表中数据

的特点，用适当的数填入表中空白（一）内，

年龄（岁）3035404550556065

收缩压（水银柱毫110115120125130135()145

米)

舒张压(水银柱毫707375788083(_)88

米)

参考答案:

答案：(』理)(85)

16.直线文+少15=0被圆/+/=25截得的弦AB的长为.

参考答案：

8

片+1(x<2)

17.若函数llog5(x+2Xx>2)则〃7)*/Che30=.

参考答案：

5

试题分析：通=岫9+产"+1=5

考点：分段函数.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知二次函数f(x)=x2+ax+b+l,关于x的不等式f(x)-(2b-1)x+b2<l的解集

为(b,b+1),其中bWO.

(1)求a的值；

f(x)

(II)令g(x)=x-1,若函数6(x)=g(x)-kin(x-1)存在极值点，求实

数k的取值范围，并求出极值点.

参考答案：

【考点】3W：二次函数的性质.

【分析】(I)令f(b)-(2b-1)b+b?=l即可解出a；

(II)求出(x),令。'(x)=0,讨论b的符号得出两根与区间(0,1)的关

系，从而得出小(x)的单调性，得出极值的情形.

【解答】解：(I)Vf(x)-(2b-1)x+b?<l的解集为(b,b+1),

即x，(a-2b+l)x+b'+bVO的解集为(b,b+1),

.,.方程x2+(a-2b+l)x+b2+b=0的解为xi=b,Xz=b+L

/.b+(b+1)=-(a-2b+l),解得a=-2.

(II)6(x)得定义域为(1,+8).

x2-2x+b+lb

由(I)知f(x)=x?-2x+b+l,.,.g(x)=x-1=x-1+x-1,

b卜x"(2+k)x+k-b+1

/.<l>'(x)=1-(x-1)2-x-l=(x-1)2,

•••函数"(x)存在极值点，<b'(x)=0有解，

•••方程、-(2+k)x+k-b+l=O有两个不同的实数根，且在(1,+8)上至少有一根，

/.△=(2+k)2-4(k-b+1)=k2+4b>0.

k+27k2+4bk+2+42+如

解方程x?-(2+k)x+k-b+l=0得xi=2,Xz=2

(1)当b>0时，xi<l,X2>1,

k+2+Yk2+4bk+Z+Jk2+lb

.,・当x£(1,2)时，6'(x)<0,当x£(2,+8)时、

6'(x)>0,

k+2+Jk2+4bk+2+Jk2+4b

，@(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

k+2+正，4b

.•.巾(x)极小值点为2

(2)当b<0时;由△=妙+处>0得k<-24，或k>2/B

若k<-,则xVl,x2<l,

・•・当X>1时，6'(x)>0,/.(x)在(1,+8)上单调递增，不符合题意；

1

若k>2Q，贝ijx>1,x2>l,

k+27k2+如k+Z-Jk.+gbk+Z+Jk2+gb

二4>(x)在(1,2)上单调递增，在(2,2)上

k+2+Jk，4b

单调递减，在（2,+8）单调递增,

k+2Wk2+4bk+Z+Yk2+gb

，小(x)的极大值点为2,极小值点为2

k+2+Jk2+4b

综上，当b>0时，k取任意实数，函数6(x)极小值点为2；

k+2+[k2+4b

当b<0时，k>2VTb,函数。(x)极小值点为2,极大值点为

k+2-4k2+4b

..(—,—)(«€AT)

19.(本小题满分13分)若数列1%)满足点4怎“在函数_"x)=x+2月

的图象上，且为=4.

(D求数列的通项公式。

(II)求证：，斥但一师<2.

参考答案:

1分

——■2/2.

11加得------T?T3.

Mi■空“

a.4

.,.4=--------r-.7分

(2n-l)3

(口)V亚I+百区”一弧4八N荷&,之.8分

41

-2(9分

(2n-lX2n-kl)2n-l2n+l

+血曰+…+Ja.4.i

=2(1-

2n+!

所以不等式成立.

20.已知数列｛为｝满足:

(1)求0，s及数列｛〃“｝的通项公式;

&:

(2)若数列｛"｝满足："=】，，求数列｛小｝的通项公式。

参考答案：

(1)〃=1时，=1,....................................................................1分

〃=2时乂1，=2=>，=0......................................................2分

2*~*.+2*~’.+…+2^।+q=n①

产.+21.+.”+』=*-1(*2)②................................4分

①-2x②=%=2"(〃A2).......................................................6分

Q=1满足上式，故a。=2"....................................7分

*,-^=1x2,

(4-4,=Ox2‘

(2)%一4=(2-〃)7,有4一如=0T)X27(RN2)累加整理......9分

心

5■=1+1x2?+0x2*+…+、(3-，、2，①..............1"0分、

次=2+lx>+0xNi+(3-〃)xZG冽②[2分

\=l-2*lx25--+(3-»)2"=(4-«)2,-5(»>2)

②一①得1-2''''''……14分

4=1满足上式，故史"")2"%............................15分

21.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥月-48CQ的底面为菱形，且/48。=60°,

AB=EC=2,AE=BE=、H.

(I)求证：平面艮48J_平面48C。；

(II)求二面角乂一EC-0的余弦值.

参考答案:

解法1：(1)证明：取AB的中点0,连接EO,CO

•：AE=EB=42,AB=2...△ABC为等腰三角形

50_LH纥E0=1又＞?AB=BC,ZABC=60"

/.AABC为等边三角形，又EC=2

EC2=E。'+C03即X0_LCO,

EO_L平面ABCD,且EOU平面EAB

:.平面EAB_L平面ABCD,.........6分

(2)过A作AH1CE于H点，过H作HM//CD,

又RtAEDO解得DE=2嬷，所以。+EC，=DE1

即DCJ.EC,所以MHLCE,因此/AHM为二面角H-EC-D的平面角，

2+!_]

厂co$Z-AHM=—―-----=2"

AH=—MH=-2x包」

通过计算知2,2,AM=1,所以22

2-J1

所以二面角力_EC-Q的余弦值为〒..........12

分

解法2.(1)设ACCBD=O,如图，以0为原点,

OC,0B为x,y轴建立空间直角坐标系O-xyz

设E(m,n,t),则

A(-1,0,0),C(l,0,0),

B(0,4,0),D(0,-V3,0),

.•.疝=

(w+BE=(mtn-

松=(冽+1尸+/+/=2

BE2=m+(»-V3+/3=2

C£a=(MJ-1)3+MJ+?=4

所以解得：22

所以""2'2",因为AB的中点""5’可期,所以蕨=（QOJ）

即ME_L平面ABCD,又平面EAB,所以平面EAB_L平面ABCD...6分

（2）心心争）,〃=（2,0,。）,k=（1,同），

分别设平面AEC,平面ECD的法向量为*=（XJ.Z）.那=（x'.y'.z'）

CE»=x+^-y+z=0

<22

则4C"n-2x-0令丫=_2,得彳=（0,-2,JJ）

CE»=--xr+—y+2*=o

,22

pc«=/+^/=0令y=_i,历=(6,-L2b)

一一nm2+62百

cos<nm>=--------=-==

t\n\\m\77x47

2币

所以二面角工-EC-D的余弦值为〒.........12分

M：W+[=1(aR>°),n[+4=1

22.巳知椭圆/加的长轴长为4、/」，且与椭圆二4

有相同的离心率.

(I)求椭圆4彳的方程；

(H)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点4、B,且

后_1_无？若存在，写出该.圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

参考答案：

【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.菁

—+^=1xJ+/=-网€华.2招

(1)84(II)存在，.圆的方程’3,L