统考版2024届高考数学一轮复习第七章7.4基本不等式学案理含解析20230423135

统考版2024届高考数学一轮复习第七章7.4基本不等式学案理含解析20230423135第四节基本不等式【知识重温】一、必记3个知识点1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：①________.(2)等号成立的条件：当且仅当②________时取等号．(3)两个平均数：eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的③________，eq\r(ab)称为正数a，b的④________.2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥⑤________(a，b∈R)．(2)ab≤⑥________(a，b∈R)．(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤⑦________(a，b∈R)．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥⑧________(a·b＞0)．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．3．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当⑨________时，x＋y有最小值是⑩________(简记：“积定和最小”)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当⑪________时，xy有最大值是⑫________(简记：“和定积最大”)．二、必明2个易误点1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．【小题热身】一、判断正误1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.()(3)“x>0且y>0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要条件．()(4)若a>0，则a3＋eq\f(1,a2)的最小值为2eq\r(a).()(5)不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有相同的成立条件．()(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．()二、教材改编2．已知x>1，则x＋eq\f(1,x－1)的最小值为()A．2B．3C．4D．63．若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．三、易错易混4．已知0<x≤3，则y＝x＋eq\f(16,x)的最小值为()A.eq\f(25,3)B．8C．20D．105．y＝2＋x＋eq\f(5,x)(x<0)的最大值为________．四、走进高考6．[2019·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝5，则eq\f(x＋12y＋1,\r(xy))的最小值为________．eq\x(考点一)利用基本不等式求最值[分层深化型]考向一：配凑法求最值[例1](1)已知x>eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最小值为________．(2)若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．4考向二：常值代换法求最值[例2][2021·广东珠海高三检测]已知x>0，y>0，z>0，且eq\f(9,y＋z)＋eq\f(1,x)＝1，则x＋y＋z的最小值为()A．8B．9C．12D．16考向三：消元法求最值[例3][2020·江苏卷，12]已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．悟·技法(1)配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；变形的目的是配凑出和或积为定值．(2)常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，再把其变形为1，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(3)消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·山东泰安一中联考]已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B.eq\f(9,2)C．5D．42．[2020·山东质量测评联盟联考]若x>2，则函数y＝4x＋eq\f(3,x－2)的最小值为________．3．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)的最小值是________．考点二利用基本不等式证明不等式[互动讲练型][例4]已知a，b，c>0，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.悟·技法利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.[变式练]——(着眼于举一反三)4．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)．考点三利用基本不等式探求参数范围[互动讲练型][例5](1)已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________；(2)[2021·江西吉安期中]设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(a,y)≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是()A．[4，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(4，＋∞)悟·技法利用基本不等式求解含参数的不等式的策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.[变式练]——(着眼于举一反三)5．[2021·福建四地六校联考]已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1D．26．已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于()A．－3B．2C．3D．8第四节基本不等式【知识重温】①a＞0，b＞0②a＝b③算术平均数④几何平均数⑤2ab⑥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2⑦eq\f(a2＋b2,2)⑧2⑨x＝y⑩2eq\r(p)⑪x＝y⑫eq\f(s2,4)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．解析：∵x>1，∴x－1>0∴x＋eq\f(1,x－1)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2时，取“＝”．∴x＋eq\f(1,x－1)的最小值为3.故选B.答案：B3．解析：∵a，b>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3∴ab－2eq\r(ab)－3≥0∴(eq\r(ab)＋1)(eq\r(ab)－3)≥0又∵eq\r(ab)＋1>0，∴eq\r(ab)－3≥0∴ab≥9当且仅当a＝b时，即a＝b＝3时，ab取最小值9.答案：[9，+]4．解析：由y＝x＋eq\f(16,x)≥2eq\r(x·\f(16,x))＝8，当且仅当x＝4时取等号．又∵0<x≤3时，y＝x＋eq\f(16,x)的值随着x的增大而减小，∴当x＝3时，y取得最小值为3＋eq\f(16,3)＝eq\f(25,3).故选A.答案：A5．解析：∵x<0∴－x>0∴y＝2＋x＋eq\f(5,x)＝2－(－x－eq\f(5,x))又∵－x－eq\f(5,x)≥2eq\r(－x·－\f(5,x))＝2eq\r(5)∴y＝2＋x＋eq\f(5,x)＝2－(－x－eq\f(5,x))≤2－2eq\r(5)当且仅当－x＝－eq\f(5,x)，且x<0，即x＝－eq\r(5)时等号成立，即2＋x＋eq\f(5,x)的最大值为2－2eq\r(5).答案：2－2eq\r(5)6．解析：eq\f(x＋12y＋1,\r(xy))＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,\r(xy))＝eq\f(2xy＋6,\r(xy))≥eq\f(2\r(2xy·6),\r(xy))＝4eq\r(3)，当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时等号成立．故所求的最小值为4eq\r(3).答案：4eq\r(3)课堂考点突破考点一例1解析：(1)∵x>eq\f(5,4)，∴4x－5>0∴f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝(4x－5)＋eq\f(1,4x－5)＋3≥2eq\r(4x－5·\f(1,4x－5))＋3＝2＋3＝5当且仅当4x－5＝eq\f(1,4x－5)，即x＝eq\f(3,2)时取等号，所以f(x)的最小值为5.(2)∵x>2，∴x－2>0∴f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时取等号，所以a＝3.故选C.答案：(1)5(2)C例2解析：∵y>0，z>0，∴y＋z>0，又eq\f(9,y＋z)＋eq\f(1,x)＝1，x>0，∴x＋y＋z＝[x＋(y＋z)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y＋z)))＝10＋eq\f(9x,y＋z)＋eq\f(y＋z,x)≥10＋2eq\r(\f(9x,y＋z)·\f(y＋z,x))＝16，当且仅当eq\f(9x,y＋z)＝eq\f(y＋z,x)，即y＋z＝3x时等号成立，∴x＋y＋z的最小值为16.故选D.答案：D例3解析：解法一由5x2y2＋y4＝1得x2＝eq\f(1,5y2)－eq\f(y2,5)，则x2＋y2＝eq\f(1,5y2)＋eq\f(4y2,5)≥2eq\r(\f(1,5y2)·\f(4y2,5))＝eq\f(4,5)，当且仅当eq\f(1,5y2)＝eq\f(4y2,5)，即y2＝eq\f(1,2)时取等号，则x2＋y2的最小值是eq\f(4,5).解法二4＝(5x2＋y2)·4y2≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5x2＋y2＋4y2,2)))2＝eq\f(25,4)(x2＋y2)2，则x2＋y2≥eq\f(4,5)，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝eq\f(3,10)，y2＝eq\f(1,2)时取等号，则x2＋y2的最小值是eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)变式练1．解析：∵a>0，b>0，a＋b＝2∴y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))·eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))≥eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)×2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b))＝eq\f(9,2)当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号．故选B.答案：B2．解析：∵x>2，∴x－2>0∴y＝4x＋eq\f(3,x－2)＝4(x－2)＋eq\f(3,x－2)＋8≥2eq\r(4x－2·\f(3,x－2))＋8＝4eq\r(3)＋8当且仅当4(x－2)＝eq\f(3,x－2)，即x＝2＋eq\f(\r(3),2)时取等号．答案：8＋4eq\r(3)3．解析：∵a＋b＋c＝2，a>0，b>0，c>0∴b＋c＝2－a>0，∴0<a<2∴eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,2－a)＝eq\f(42－a＋a＋1,2－aa＋1)＝eq\f(9－3a,－a2＋a＋2)＝eq\f(33－a,－a－32－5a－3－4)＝eq\f(3,a－3＋\f(4,a－3)＋5)＝eq\f(3,－[3－a＋\f(4,3－a)]＋5)≥eq\f(3,－4＋5)＝3当且仅当a＝1时取等号．答案：3考点二例4证明：∵a>0，b>0，c>0∴eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c当且仅当a＝b＝c时，等号成立．变式练4．证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1∴eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a2＋b2＋2ab－2ab,a－b)＝eq\f(a－b2＋2ab,a－b)＝a－b＋eq\f(2,a－b)≥2eq\r(a－b·\f(2,a－b))＝2eq\r(2)即a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)当且仅当a－b＝eq\f(2,a－b)，即a－b＝eq\r(2)时取等号．考点三例5解析：(1)∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又∵f(x)在x＝3时取得最小值，∴a＝4×32＝36.(2)∵x＋y＝1,且x>0，y>0，a>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(a,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))(x＋y)＝a＋1＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋1＋2eq\r(a)，∴a＋2eq\r(a)＋1≥4，即a＋2eq\r(a)－3≥0，解得a≥1，故选C.答案：(1)36(2)C变式练5．解析：由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝eq\r(a)时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝－eq\r(a)时取等号．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1，故选C.答案：C6．解析：y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5，因为x>－1，所以x＋1>0，eq\f(9,x＋1)>0，所以由基本不等式，得y＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5≥2eq\r(x＋1·\f(9,x＋1))－5＝1，当且仅当x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.故选C.答案：C第五节合情推理与演绎推理【知识重温】二、必明1个易误点演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(2)由个别到一般的推理为归纳推理．()(3)演绎推理的结论一定是正确的．()(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()二、教材改编2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．303．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班的人数均超过50人B．两条直线平行，同旁内角互补，若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋an＋1)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式三、易错易混4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个推理的小前提为()A．EF∥BCB．三角形的中位线平行于第三边C．三角形的中位线等于第三边的一半D．线段EF为△ABC的中位线5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________．四、走进高考6．[2016·全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．eq\x(考点一)类比推理[自主练透型]1．[2021·湖北孝感模拟]二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝()A．2πr4B．3πr4C．4πr4D．6πr42．已知等差数列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：______________________.悟·技法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.考点二归纳推理[分层深化型]考向一：与数字有关的推理[例1]观察下列等式：照此规律，第n个等式为________________________．考向二：与式子有关的推理[例2]已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2017(x)的表达式为________．考向三：与图形有关的推理[例3]下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．悟·技法归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知不等式1＋eq\f(1,4)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)<eq\f(7,4)，照此规律总结出第n(n∈N*)个不等式为________．2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来eq\f(1,3)的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．n级分形图中共有________条线段．考点三把演绎推理写成三段论形式[互动讲练型][例4]用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直；(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角；(3)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(4)三角函数是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．悟·技法运用三段论时的注意事项用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.[变式练]——(着眼于举一反三)3．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)循环小数是有理数，0.33eq\o(2,\s\up6(·))是循环小数，所以0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理数；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．第五节合情推理与演绎推理【知识重温】①归纳推理②全部对象③部分④个别⑤类比推理⑥这些特征⑦由特殊到特殊⑧一般原理⑨对象⑩特殊问题⑪一般⑫特殊【小题热身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(1＋nn,2)(个)．由此可以得出第七个三角形点数是28.故选B.答案：B3．解析：A、D为归纳推理，C为类比推理，B为演绎推理．故选B.答案：B4．解析：大前提是三角形的中位线平行于第三边，小前提是线段EF为△ABC的中位线．故选D.答案：D5．解析：由题意知，在平面上，两个正三角形的面积比是边长比的平方．由类比推理知：体积比是棱长比的立方．即可得它们的体积比为18.答案：186．解析：由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和3课堂考点突破考点一1．解析：二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.答案：A2．解析：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).答案：eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)考点二例1解析：由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2例2解析：f1(x)＝eq\f(x,1＋x)，f2(x)＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)，f3(x)＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，…，归纳可得f2017(x)＝eq\f(x,1＋2017x).答案：f2017(x)＝eq\f(x,1＋2017x)例3解析：由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.∴总个数为eq\f(nn＋1,2).答案：eq\f(nn＋1,2)变式练1．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋eq\f(1,22)<eq\f(2×2－1,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(2×3－1,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(2×4－1,4)，所以照此规律可得到第n个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1－1,n＋1)＝eq\f(2n＋1,n＋1).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)2．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3.答案：3×2n－3考点三例4解析：(1)每个菱形的对角线相互垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)所以，正方形的对角线相互垂直．(结论)(2)两个角是对顶角则两角相等，(大前提)∠1和∠2不相等，(小前提)所以，∠1和∠2不是对顶角．(结论)(3)一切奇数都不能被2整除，(大前提)2100＋1是奇数，(小前提)2100＋1不能被2整除．(结论)(4)三角函数都是周期函数，(大前提)y＝tanα是三角函数，(小前提)y＝tanα是周期函数．(结论)变式练3．解析：(1)所有的循环小数是有理数，(大前提)0．33eq\o(2,\s\up6(·))是循环小数，(小前提)所以，0.33eq\o(2,\s\up6(·))是有理数．(结论)(2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)正方形是矩形，(小前提)正方形的对角线相等．(结论)(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．(结论)第六节直接证明与间接证明【知识重温】一、必记3个知识点1．综合法一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)2．分析法一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(得到一个明显成立的条件)3．反证法一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．二、必明2个易误点1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)分析法必须是从结论推向已知．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)综合法的过程是演绎推理．()(4)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．()(5)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()二、教材改编2．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④3.eq\r(6)－2eq\r(2)与eq\r(5)－eq\r(7)的大小关系是________．三、易错易混4．以下命题中正确的是()A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例5．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里②是①的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件四、走进高考6．[2017·北京卷]能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．eq\x(考点一)综合法[自主练透型]1．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.2．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.悟·技法考点二分析法[自主练透型]3．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.4．[易错题]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).悟·技法1.利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.考点三反证法[互动讲练型][例]已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．悟·技法反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[变式练]——(着眼于举一反三)若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)中至少有一个小于2.第六节直接证明与间接证明【知识重温】①已知条件和某些数学定义、公理、定理等②推理论证③证明的结论④充分条件⑤原命题不成立⑥矛盾⑦假设错误【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以．答案：C3．解析：假设eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)，由分析法可得，要证eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)，只需证eq\r(6)＋eq\r(7)>eq\r(5)＋2eq