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文档简介

电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量1，电磁场中带电粒子的运动方程2，拉格朗日形式3，哈密顿形式4，非相对论情形精选ppt1，电磁场中带电粒子的运动方程

在相对论力学中，力学根本方程可写为协变式：其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力矢量所以，在相对论协变的力学方程包括：上式可改写为：精选ppt在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为：所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为：精选ppt2，拉格朗日形式

在理论力学中，拉格朗日的根本形式为：其中为广义动量， 为广义速度，Qa为广义力。对保守力系来讲：精选ppt因为势能V中一般并不包含广义速度，所以令L=T-V来代表体系的动能与势能之差。所以得到保守力系下的拉格朗日方程为：在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格朗日方程。电磁场中的带电粒子的运动方程为：〔1〕其中粒子的机械动量p是：〔2〕现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程〔2〕化为拉格朗日形式。精选ppt〔3〕〔4〕把〔3〕和〔4〕代入〔1〕式中，得〔5〕由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：〔6〕精选ppt所以〔5〕可写为：〔7〕动量p和矢势A可以写为所以拉格朗日量L为：〔8〕那么运动方程〔7〕可以写为拉格朗日形式：〔9〕精选ppt对L的几点说明：把〔8〕式乘以自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度决定。当粒子在电磁场中运动时，除了之外，还依赖于四维势，那么它们可以构成一个不变量，因此，当v<<c时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗量L为〔8〕得：上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。因此只能是一个洛伦兹不变量，当时，那么自有粒子的拉格朗日函数为：精选ppt3，哈密顿形式

对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量定义为〔10〕那么系统的哈密顿量为：〔11〕用哈密顿量可以把运动方程表为正那么形式：〔12〕和〔13〕对于电磁场中的带电粒子运动情形，由〔8〕式，正那么动量P是：即〔14〕精选ppt由〔11〕式，带电粒子的哈密顿量为:但是H应该用正那么动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：〔15〕〔16〕引入四维正那么动量：那么哈密顿量H与Pu的第四分量联系：〔17〕〔18〕不难验证哈密顿方程〔12〕和〔13〕相当于原运动方程〔1〕精选ppt4，非相对论情形

当v<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量。拉格朗日量〔8〕式当v<<c时变为：〔19〕哈密顿量〔16〕式

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