高数数下五节直线

第五节直线一、直线方程二、两直线位置关系三、直线与平面的位置关系四、平面束方程五、直线与平面的一些相关问题直线可看成两个不平行平面的交线．一、直线方程

1、直线的一般方程——空间直线L的一般方程2、空间直线的对称式方程与参数方程空间直线看作动点的轨迹:动点与一定点的连线所成的向量平行于非零向量.非零向量叫做直线的方向向量.设直线过点M0(x0,y0,z0)且平行于非零向量,求直线方程.——直线的对称式方程(或点向式方程)或——直线的参数方程直线L过点M0(x0,y0,z0),且平行于非零向量或例1

设直线过点A(1,2,1)与点B(3,2,0),求其方程.解方向向量为：故直线方程为:

若直线L过点M0(x0,y0,z0)与M1(x1,y1,z1),

则直线方程为:——直线L的两点式方程直线

L

的方向向量为：m,n,p

称为直线L

的一组方向数.说明若m,n,p中有某个数为零,则其分子也为零

.若

m=0,则L

为：若

m=n=0,则L

为：

空间直线的一般方程、对称式方程、参数

方程可互化.1)

参数方程与对称式方程可直接互化.2)若直线方程为：则一般方程为

3)

若直线方程为：解题思路

step1

先找直线上一点(x0,y0,z0

);如何化为对称式方程和参数式方程?(任取满足方程组的一组数

x0,y0,z0即可.)Step2再找直线的方向向量.则直线的方向向量可取为,

Step3由点及方向向量就可以写出直线的参数方程或对称式方程.解令x=1,代入方程组,得两平面的法向量为故点(1,4,4)是直线上一点.例2

把直线化为对称式方程.故直线的对称式方程为1、定义两直线方向向量之间的夹角(通常不取钝角)称为两直线的夹角.二、两直线的位置关系则两直线夹角

满足2、两直线的位置关系：有如下结论：两条直线相互垂直或平行相当于它们的方向向量垂直或平行.例1

求直线的夹角.解解所求直线的方程解所求直线的方程为解且L1过点(0,0,

1),L2过点(0,4,1),

可得L1,L2的参数方程分别为:故可设所求直线L与L1,L2的交点分别为:

由于

A,P,Q

三点共线,故所求直线L为:

解法二L1,L2可分别化为对称式方程:故L1过点A1(0,0,

1),且方向向量为L2过点A2(0,4,1),

且方向向量为∴L1和L2为异面直线.故所求直线1、定义直线L与平面

的法线之间的夹角

的余角

称为直线与平面的夹角．三、直线与平面的位置关系L

设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则夹角

满足——直线与平面夹角的正弦公式解故为所求夹角为2、直线与平面的位置关系：解由于直线垂直于平面,所求直线的方程则有解由于平面垂直于直线,则有所求平面的方程为四、平面束方程

过一条直线的平面有无穷多个,过该直线的平面的全体叫做平面束.设直线L:通过直线L的平面束方程：即:例2

求通过直线且垂直于平面

的平面.解例2

求通过直线且垂直于平面

的平面.解例3求通过直线且平行于直线

的平面.说明若题设条件给出平面

通过某一直线而要求

的方程,则可利用平面束方程处理.解例4故所求投影直线方程为例5直线L：

：上的投影.在平面注意：利用平面束方程时,直线L应为一般式.[解法一]利用平面束求解(课本Page35例6)[解法二]先求点M在直线L上的投影点N(x0,y0,z0),

过点M、N的直线即为所求.例7

求通过直线且垂直于平面

的平面.解例7

求通过直线且垂直于平面

的平面.说明若得出

无解时,应再去验证平面

2

是否符合题设要求,若不符合,则问题无解;若符合,则

2

即为所求的平面.

五、直线与平面的一些相关问题

1、点到直线的距离

则

方法二

先求出点M在直线L上的投影点P,则d(M,P)即为所求.2、一些特殊点的求法

会求一些特殊点：(1)

直线

L

与平面

的交点.(2)

一点P0在平面

上、在直线L

上的投影点.(3)

一点P0关于平面、直线L

的对称点.1)

求直线

L

与平面

的交点若

L与

不平行,

则一定有交点.

求交点的方法：把L改写为参数方程,再代入平面方程,求出参数t即可得交点坐标.2)

求一点P0在平面

上的投影点求一点在平面上的投影点的方法：step1

求过点P0且垂直于平面

的直线

L,step2

求出直线L

与平面

的交点P

.3)

求一点P0关于平面

的对称点求一点关于平面对称点的方法：step1

求点P0在平面

上的投影点

P,step2

用中点公式可求出对称点

M.4)

求一点P0在直线

L

上的投影点求一点在直线上的投影点的方法：step1

求过点P0且垂直于直线

L

的平面

,step2

求出直线L

与平面

的交点P

.5)

求一点P0关于直线L的对称点求一点关于直线的对称点的方法：step1

求点P0在直线

L

上的投影点

P,step2

用中点公式可求出对称点

M.3、直线与直线的关系直线与直线1)

若共面,(1)判断是否平行.若平行,再判断是否重合.(2)若两直线不平行即相交,则要会求交点.2)

若两直线异面,求其距离及公垂线方程

.在直线L1与L2上各任取一点M1与M2,公垂线L在过L