专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共147题）

专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共5套）（共147题）专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、已知函数f(x)在点x0处可导，且f′(x0)=2，则等于().A、0B、1C、2D、4标准答案：D知识点解析：2、已知f(x)在x=1处可导，且f′(1)=3，则=().A、0B、1C、3D、6标准答案：C知识点解析：暂无解析3、设函数f(x)=cosx，则()．A、-1B、-1/2C、0D、1标准答案：A知识点解析：暂无解析4、d(sin2X)=().A、2cos2xdxB、cos2xdxC、-2cos2xdxD、-cos2xdx标准答案：A知识点解析：暂无解析5、曲线y=x3-3x2-1的凸区间是().A、(-∞，1)B、(-∞，2)C、(1，+∞)D、(2，+∞)标准答案：A知识点解析：因为y″=6x-6，当y″＜0时x＜1，所以选A.6、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f′(x)＞0，f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内零点的个数为().A、3B、2C、1D、0标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)7、设函数y=x2-ex，则y′=________.标准答案：2x-ex知识点解析：暂无解析8、设y=y(x)由方程y=x-ey所确定，则=________.标准答案：应填1/(1+e)，等式两边对x求导，得知识点解析：暂无解析9、设函数y=sinx，则y′″=________.标准答案：-cosx知识点解析：因为y′=cosx，y″=-sinx，y′″=-cosx10、设函数y=ex+1，则y″=________.标准答案：ex+1．知识点解析：暂无解析11、设函数，则y″=________.标准答案：知识点解析：暂无解析12、设函数f(x)=sin(1-x)，则f″(1)=________.标准答案：0知识点解析：因为f′(x)=-cos(1-x)，f″(x)=-sin(1-x)，所以f″(1)=0.13、曲线y=2x2在点(1，2)处的切线方程y=________.标准答案：4x-2知识点解析：y′(1)=4x|x=1=4，切线方程：y-2=4(x-1)，所以y=4x-2.14、设曲线Y=ax2+2x在点(1，a+2)处的切线与y=4x平行，则a=________.标准答案：1知识点解析：因为y′(1)=2a+2=4，则a=1.15、曲线y=lnx在点(1，0)处的切线方程为________.标准答案：y=x-1知识点解析：因为y′=1/x，则y′(1)=1，所以切线方程为y=x-1.16、函数的单调增加区间是________.标准答案：(1，+∞)知识点解析：因为y′=x-1＞0时，x＞1.17、曲线y=x3-3x2+5x-4的拐点坐标为________.标准答案：(1，-1)知识点解析：因为y″=6x-60，得x=1，此时y(1)=-1，所以拐点坐标为(1，-1).18、已知点(1，1)是曲线y=x2+alnx的拐点，则a=________.标准答案：2知识点解析：因为y″(1)=2-a=0，得a=2.三、简单解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)19、设函数求dy.标准答案：知识点解析：暂无解析20、设函数y=ln(x2+1)，求dy.标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数y=cos(x2+1)，求y′.标准答案：y′=-2xsin(x2+1).知识点解析：暂无解析22、设函数y=xe2x，求y′.标准答案：y′=(xe2x)′=(x)′e2x+x(e2x)′=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x.知识点解析：暂无解析23、设y=y(x)由方程ex-ey=sin(xy)所确定，求|x=0.标准答案：等式两边求微分，得d(ex-ey)=d[sin(xy)]，即edx-edy=cos(xy)d(xy)=cos(xy)(ydx+xdy)，知识点解析：暂无解析24、设y=(x)由方程y3=x+arccos(xy)所确定，求.标准答案：等式两边对x求导，得知识点解析：暂无解析25、求标准答案：知识点解析：26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、求标准答案：知识点解析：暂无解析28、已知x=-1是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)过点(1，5)，求a，b的值.标准答案：f′(x)=3ax2+2bx，f′(-1)=3a-2b=0，再由f(1)=5得a+b=5，联立解得a=2，b=3.知识点解析：暂无解析29、求函数f(x)=x3-3x-2的单调区间和极值.标准答案：函数的定义域为(-∞，+∞).函数f(x)的单调增区间为(-∞，-1)，(1，+∞)；单调减区间为(-1，1).极大值为f(1)=0，极小值为f(1)=-4.知识点解析：暂无解析30、已知函数f(x)=lnx-x．①求f(x)的单调区间和极值；②判断曲线y=f(x)的凹凸性.标准答案：①f(x)的定义域为(0，+∞).当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，+∞).f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-1.②因为f″(x)=-(1/x2)＜0，所以曲线y=f(x)是凸的.知识点解析：暂无解析31、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析32、证明：当x＞1时，x＞1+lnx.标准答案：设f(x)=x-1-lnx，则f′(x)=1-1/x.当x＞1时，f′(x)＞0，则f(x)单调增加，所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即x-1-lnx＞0，得x＞1+lnx.知识点解析：暂无解析33、设抛物线y=1-x2与x轴的交点为A，B，在它们所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图1-2-2所示).设梯形上底CD长为2x，面积为S(x).①写出S(x)的表达式；②求S(x)的最大值.标准答案：知识点解析：暂无解析34、在抛物线y=1-x2与x轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD，其一边AB在x轴上(如图1-2-4所示).设AB=2x，矩形面积为S(x).①写出S(x)的表达式；②求S(x)的最大值．标准答案：①S(x)=AB·BC=2xy=2x(1-x2)(0＜x＜1).知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极小值，则=()A、一2B、0C、1D、2标准答案：B知识点解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f’(x0)=0．又=2f’(x0)=0．2、设函数f(x)=e－x2，则f’(x)等于()A、一2e－x2B、2e－x2C、一2xe－x2D、2xe－x2标准答案：C知识点解析：因f(x)=e－x2，则f’(x)=e－x2．(一2x)=一2xe－x2．3、设函数f(x)=2lnx+ex，则f’(2)=()A、eB、1C、1+e2D、ln2标准答案：C知识点解析：因f(x)=2lnx+ex，于是f’(x)=＋ex，故f’(2)=1+e2．4、设y=exsinx，则y’’’=()A、cosx．exB、sinx．exC、2ex(cosx—sinx)D、2ex(sinx—cosx)标准答案：C知识点解析：y’=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)，y’’=ex(sinx+cosx)+ex(cosx—sinx)=2excosx，y’’’=2excosx一2exsinx=2ex(cosx—sinx)．5、设f(x)可导，且满足=一2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A、4B、一4C、1D、一1标准答案：D知识点解析：=2f’(1)=一2，故f’(1)=一1．6、曲线y=1+()A、有水平渐近线，无铅直渐近线B、无水平渐近线，有铅直渐近线C、既有水平渐近线，又有铅直渐近线D、既无水平渐近线，也无铅直渐近线标准答案：C知识点解析：对于曲线y==1，故有水平渐近线y=1；又=一∞，故曲线有铅直渐近线x=一1．7、曲线y==1的水平渐近线的方程是()A、y=2B、y=一2C、y=1D、y=一1标准答案：D知识点解析：=一1，所以水平渐近线为y=一1．8、曲线y=(x一1)2(x一3)2的拐点个数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：本题考察曲线拐点的概念，可直接求函数二阶导数为零的点，再判断在零点左右两侧的二阶导数是否异号，以求出拐点，但由于函数的一阶、二阶导数有明显的几何意义，因而这类题目若能结合曲线的形状，往往判断起来更为方便，本题的曲线对称于直线x=2，所以它或者没有拐点，或者只有两个拐点，因此B与D被排除掉，又y’=4(x一1)(x一2)(x一3)，对导函数y’应用罗尔定理，知y’’有两个零点，从而知曲线有两个拐点，故选C．9、方程x3一3x+1=0()A、无实根B、有唯一实根C、有两个实根D、有三个实根标准答案：D知识点解析：令f(x)=x3一3x+1，则f’(x)=3(x＋1)(x－1)，可知，当一1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜一1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增，因f(一2)=一1＜0，f(一1)一3＞0，f(1)=一1＜0，f(2)一3＞0，由零点定理及f(x)的单调性知，在(一2，一1)，(－1，1)及(1，2)各存在一个实根，故f(x)=x3一3x+1有且只有三个实根，故选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则常数A=________．标准答案：a+b知识点解析：由函数F(x)在x=0处连续可得=F(0)，即=b+a=A．11、设y=2x，则y(n)=________．标准答案：(ln2)n2x知识点解析：y=2x，y’=2xln2，y’’=2x．ln2．ln2=(ln2)22x，y’’’=(ln2)2．2x．ln2=(ln2)3．2x，…y(n)=(ln2)n2x．12、设y=，则y’=_________．标准答案：知识点解析：13、设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0，则a=_________，b=_________．标准答案：，2知识点解析：f’(x)=3ax2－12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去，f’’(x)=6ax一12a，f’’(0)=一12a，因为a＞0，所以f’’(0)＜0，所以x=0是极大值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b一16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31，故a=．14、若=1，则f(x)在x=a处取极_________值．标准答案：小知识点解析：一1＞0，又有(x一a)2＞0，则由极限的保号性可知f(x)一f(a)＞0，故f(a)为极小值．三、简单解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、求y=的n阶导数．标准答案：y’=，y’’=，y’’’=，依次类推y(n)=(一1)n．知识点解析：暂无解析16、求函数y=ln(x+)的二阶导数y’’．标准答案：y’’=．知识点解析：暂无解析17、设x=φ(y)是严格单调的连续函数y=f(x)的反函数，且f(1)=9，f’(1)=一，求φ’(9)．标准答案：φ’(y)=，而f(1)=9，f’(1)=一，故φ’(9)=．知识点解析：暂无解析18、设y=y(x)由所确定，f’’(t)存在且f’’(t)≠0，求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，试求函数g(x)=的导数．标准答案：当x≠0时，g’(x)=；知识点解析：暂无解析20、求曲线y=x3一3x+5的拐点．标准答案：y’=3x2一3，y’’=6x．令y’’=0，解得x=0．当x＜0时，y＜0；当x＞0时，y’’＞0，当x=0时，y=5．因此，点(0，5)为所给曲线的拐点．知识点解析：暂无解析已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．21、判别曲线y=F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；标准答案：∵F’(x)=f(x)一2x，F’’(x)=f(x)一2，且由题意知f’(x)≤0(x∈R)，∴F’’(x)＜0(x∈R)，故曲线y=F(x)在R上是凸的；知识点解析：暂无解析22、证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．标准答案：显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根．由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减，∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，由此知F(x)在(0，1)内单调递增，因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根，故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析23、若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．标准答案：由题设可知F(x)，F’(x)，F’’(x)，F’’’(x)在[0，1]上存在，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0．又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔定理，存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)使F’’(ξ2)=0，又F’’(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f’’(x)]｜x=0=0，对F’’(x)在[0，ξ2]上再次用罗尔定理，存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)使F’’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb—arctana＜．标准答案：只需证明，在[a，b]上用拉格朗日中值定理，知识点解析：暂无解析25、证明：当x＞0时，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1一，f’’(x)=当x＞0时，f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，故有f’(x)＞f’(0)=0，则f(x)单调递增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx．知识点解析：暂无解析26、证明当x＞0时，x＞ln(1+x)．标准答案：令F(x)=x—ln(1+x)，由F’(x)=1－＞0(当x＞0时)知F(x)单调增加，又F(0)=0，所以，当x＞0时，F(x)＞0，即x—ln(1+x)＞0，即x＞ln(1+x)．知识点解析：暂无解析27、设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?标准答案：设底边长为x，直柱体高为y，则V=，S’=，令S’=0得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为时，表面积最小．知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f(x)在x=a处可导，则=()A、f’(a)B、2f’(a)C、一2f’(a)D、一f’(a)标准答案：C知识点解析：=一2f’(a)，故选C．2、设函数y=2x+sinx，则y’=()A、1一cosxB、1+cosxC、2一cosxD、2+cosx标准答案：D知识点解析：因为y=2x+sinx，则y’=2+cosx．3、设f’(1)=1，则=()A、一1B、0C、D、1标准答案：C知识点解析：因f’(1)，因f’(1)=1，故极限值为．4、设f(x)=｜sinx｜，f(x)在x=0处()A、可导B、连续但不可导C、不连续D、无意义标准答案：B知识点解析：f(x)=｜sinx｜在R上连续，在x=0处显然连续，=1，=一1，所以f(x)在x=0处不可导，故选B．5、曲线在t=0相应的点处的切线方程是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：y’=．又t=0时，x=1，y=0，故切线方程为y=(x一1)．6、f(x)在(一∞，+∞)内可导，且对任意的x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意x，f’(x)＞0B、对任意x，f’(一x)≤0C、函数f(一x)单调增加D、函数一f(一x)单调增加标准答案：D知识点解析：反例：取f(x)=x3，有f’(0)=0，f(一x)=一x3单调减少，排除A，B，C，故选D，D项证明如下：令F(x)=一f(－x)，x1＞x2，则一x1＜一x2．所以F(x1)=一f(一x1)＞一f(一x2)=F(x2)，故一f(一x)单调增加．7、设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＜0，f’’(x)＜0，又△y=f(x+△x)一f(x)，dy=f’(x)△x，则当△x＞0时，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：B知识点解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)△x=0，因此应排除A、C项，由于f’’(x)＜0，可知曲线是凸的，f’(x)＜0，曲线单调下降，因此曲线弧单调下降且为凸的，由曲线弧图形可知△y＜dy，故选B．8、设函数y=f(x)的导数y’=f’(x)的图像如图2—1所示，则下列结论正确的是()A、x=一1是驻点，但不是极值点B、x=一1为极大值点C、x=1是极小值点D、x=一1为极小值点标准答案：D知识点解析：从图像上可知，f’(－1)=0，因而x=一1为驻点，当x＜一1时，f’(x)＜0；当x＞一1时，f’(x)＞0，所以，x=一1是y=f(x)的极小值点，故选D．9、以下结论正确的是()A、函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B、若x0为函数f(x)的驻点，则x0必为f(x)的极值点C、若函数f(x)在点x0处有极值，且f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0D、若函数f(x)在点x0处连续，则f’(x0)一定存在标准答案：C知识点解析：导数为零的点称为驻点，但驻点不一定是极值点．极值点可能是驻点，也可能是不可导点，可导一定连续，连续不一定可导．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、设f(x)=在x=1处可导，则a=________，b=________．标准答案：e，1知识点解析：f(x)在x=1处可导，则f(x)在x=1处连续，11、y=，求dy=________．标准答案：知识点解析：y=．12、若x=atcost，y=atsint，则=_________．标准答案：知识点解析：．13、设曲线y=，则该曲线的铅直渐近线为_________．标准答案：x=一1知识点解析：由y=，故铅直渐近线为x=一1．14、y=x3一3x2+6x一2在[一1，1]上的最大值为_________．标准答案：2知识点解析：f’(x)=3x2一6x+6=3[(x一1)2+1]＞0，函数单调递增，故在[一1，1]上最大值为f(1)=1—3+6—2=2．三、简单解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、设f(x)=3x，g(x)=x3，求f’[g’(x)]．标准答案：因为f’(x)=3xln3，g’(x)=3x2，所以f’[g’(x)]=f’(3x2)=33x2ln3．知识点解析：暂无解析16、设sin(t．s)+ln(s一t)=t，且s=s(t)，求的值．标准答案：在sin(t．s)＋ln(s一t)=t两边对t求导，视s为t的函数，有cos(t．s)(s+t．s’)+．(s’一1)=1，而当t=0时，s=1，代入上式得=1．知识点解析：暂无解析17、求函数y=的导数．标准答案：等式两边取对数得lny=，两边对x求导得，所以y’=．知识点解析：暂无解析18、已知两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxe－t2dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限．标准答案：由已知条件得f(0)=0，f’(0)==1。故所求切线方程为y=x，且=2f’(0)=2．知识点解析：暂无解析19、设f(x)=2x2+x｜x｜，求f’(0)，并证明f(x)在x=0处不存在二阶导数．标准答案：f(0)=0，从而f’(0)==0；当x＞0时，f(x)=2x2+x2=3x2，所以f’(x)=6x；当x＜0时，f(x)=2x2一x2=x2，所以f’(x)=2x．从而f’(x)=而f－’’==2，f＋’’==6，f－’’(0)≠f＋’’(0)，所以f(x)在x=0处不存在二阶导数．知识点解析：暂无解析20、求函数y=x2+的极值与单调区间及其凹凸区间和拐点、渐近线．标准答案：函数定义域为x∈(一∞，0)∪(0，+∞)，y’=2x一，令y’=0，得x=1．当x＞1时，y’＞0；当x＜1时，y’＜0，所以函数y=x2+在x=1处取得极小值，且极小值为y(1)=3；单调增区间为x∈(1，+∞)，单调减区间为(一∞，0)，(0，1)．又因y’’=，令y’’=0，得x=．当＜x＜0时，y’’＜0；当x＞0时，y’’＞0，所以点(，0)是拐点，凹区间为(一∞，)，(0，+∞)；凸区间为(，0)，又因有垂直渐近线x=0．知识点解析：暂无解析21、已知f(x)在[a，b]上连续且f(a)一f(b)，在(a，b)内f’’(x)存在，连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，试证在(a，b)内至少有一点ξ使得f’’(ξ)=0．标准答案：由f(a)=f(b)且f(x)在[a，b]上连续可知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)内有一点η1，使得f’(η1)=0；在(c，b)内有一点η2，使得f’(η2)=0，这里a＜η1＜c＜η2＜b．再由罗尔定理，知在(η1，η2)内至少有一点ξ，使得f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析22、设F(X)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明在(a，b)内至少存在一点ζ，使f’(ζ)=一λf(ζ)，这里λ为任意实数．标准答案：将要证明的关系式写成f’(ζ)+λF(ζ)=0，作辅助函数φ(x)=eλxf(x)，容易验证φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，故存在ζ∈(a，b)，使φ’(ζ)=0，即eλζ[f’(ζ)+λf(ζ)]=0，亦即f’(ζ)=一λf(ζ)．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且f(a)=0，证明存在一点ξ∈(0，a)，使得f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：把ξ变为x，得f(x)+xf’(x)=0，即(xf(x))’=0，两边积分得xf(x)=C，所以，设F(x)=xf(x)．设F(x)=xf(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，F(0)=0，F(a)=0，根据罗尔定理得，存在一点ξ∈(0，a)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、若函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．标准答案：f’(x)g(x)+2f(x)g’(x)=0，解微分方程，分离变量得，两边积分得，lnf(x)=一2lng(x)+C1，即lnf(x)g2(x)=C1，因此f(x)g2(x)=C，故设F(x)=f(x)g2(x)．由题意可知F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=f(a)g2(a)=0，F(b)=f(b)g2(b)=0，所以，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0，又g(x)≠0，整理得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析25、证明对任意x都有x—x2＜．标准答案：令F(x)=一x+x2，由F’(x)=一1+2x=0得唯一驻点x=，且F’’(x)=2＞0，所以＞0，为函数F(x)的最小值，故对任意x都有F(x)＞0，所以一x+x2＞0，即x—x2＜．知识点解析：暂无解析26、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积为最大，问其高应为多少?标准答案：设高为h，则底面半径r=(400一h2)h，V’=一πh2，令V’=0得h=＜0，故h=为极大值点，在此问题中也为最大值点．即高为cm时，其体积最大．知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在x=0处可导，则=()A、f’(0)B、f’(0)C、2f’(0)D、f’(0)标准答案：C知识点解析：2、设函数y=ex－2，则dy=()A、ex－3dxB、ex－2dxC、ex－1dxD、exdx标准答案：B知识点解析：因为y=ex－2，y’=ex－2，所以dy=ex－2dx．3、下列函数中，在x=0处可导的是()A、y=｜x｜B、y=C、y=x3D、y=lnx标准答案：C知识点解析：选项A中，y=｜x｜，在x=0处左右导数不相同，则y=｜x｜在x=0处不可导；选项B中，在x=0处无定义，即y=在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y’=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx在x=0点没定义，所以y=lnx在x=0处不可导．4、f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100)，则f’(一1)=()A、100！B、99！C、∞D、一99！标准答案：B知识点解析：由导数的定义可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99！．5、曲线y=()A、有一个拐点B、有两个拐点C、有三个拐点D、无拐点标准答案：D知识点解析：因y’=，则y’’在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以无拐点．6、函数y=ex+e－x的单调增加区间是()A、(一∞，+∞)B、(一∞，0]C、(一1，1)D、[0，+∞)标准答案：D知识点解析：y=ex+e－x，则y’=ex一e－x=，令y’＞0，则x＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增．7、函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ξ=()A、2B、3C、0D、1标准答案：A知识点解析：由f(x)=，得f(0)=f(3)=0．又因f’(x)=，故f’(ξ)=0，所以ξ=2．8、设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)＞0，f(1)＜0，则下列正确的是()A、y=f(x)在[0，1]上可能无界B、y=f(x)在[0，1]上未必有最小值C、y=f(x)在[0，1]上未必有最大值D、方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根标准答案：D知识点解析：函数在闭区间上连续，则在该区间必定有界，且存在最大、最小值，由零点定理可知选项D正确．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设函数y=(x一3)4，则dy=________．标准答案：4(x一3)3dx知识点解析：因为y=(x一3)4，y’=4(x一3)3，则dy=4(x一3)3dx．10、设y=x2ex，则y(10)｜x=0=________．标准答案：90知识点解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1]，y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2]，y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3]，…y(10)=ex[(x+10)2一10]，所以y(10)｜x=0=90．11、x=，y=t3，则=________．标准答案：一3t2(1+t)2知识点解析：=一3t2(1+t)2．12、曲线y=的水平渐近线方程为_________．标准答案：y=知识点解析：的水平渐近线．13、f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为_________．标准答案：x=一(n+1)知识点解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，故(f(n)(x))’=f(n＋1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=一(n+1)，显然当x＞一(n+1)时，f(n＋1)(x)＞0；当x＜一(n+1)时，f(n＋1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=一(n+1)．三、简单解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)14、讨论f(x)=在x=0处的可导性．标准答案：f－’(0)==0，f＋’(0)==0．故函数在x=0处可导且f’(0)=0．知识点解析：暂无解析15、求曲线y=e－x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．标准答案：曲线y=e－x上任一点(x0，e－x0)处的切线方程为y=e－x0=一(e－x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=一1，则切点为(一1，e)，故过原点的切线方程为y=一ex．又曲线y=e－x上任意点的法线方程为y—e－x0=ex0(x—x0)，因法线与x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，从而所求法线方程为y=x+1．知识点解析：暂无解析16、函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．标准答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．知识点解析：暂无解析17、求函数y=的导数[已知f(μ)可微]．标准答案：设y=f(μ)，μ=ν2，ν=sint，t=，则知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x0点可导，求．标准答案：=2f’(x0)．知识点解析：暂无解析19、已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，证明：g’(x)=2g(x)．标准答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．知识点解析：暂无解析20、已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．标准答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=在(0，+∞)内单调增加．标准答案：方法一因为f’’(x)＞0，所以f’(x)在(0，+∞)单调增加，故f’(x)＞f’(ξ)，即g’(x)＞0，从而g(x)在(0，+∞)单调增加．方法二g’(x)=，欲证分子φ(x)=f’(x)x－f(x)大于零，因为φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调增加，即φ(x)＞φ(0)=0，故当x＞0，g(x)在(0，+∞)内单调增加．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．标准答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．知识点解析：暂无解析23、当0＜x＜π时，证明．标准答案：令F(x)=，则F(0)=F(π)=0．又F’(x)=＜F’(0)＞F’(x)＞F’(π)．而F’(0)=＜0，判别不出F’(x)的正负．注意到F’’(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸曲线，由于F(0)=F(π)=0，故F(x)＞0，即，得证．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．标准答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．知识点解析：暂无解析25、证明当x＞0时，有．标准答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．知识点解析：暂无解析26、某企业计划生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用最少?标准答案：设每批生产x件，则一年内生产批，每批生产直接消耗费用为p，则p=kx2，又因为根据条件，每批产品40件时，直接消耗的生产费用为800，所以，800=k402，即k=x2，该产品的总费用y为y=．0＜x≤a，又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点，所以当x=≈45时，总费用最小．知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知f′(1)=2，则().A、-2B、0C、2D、4标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)在x=1处可导且f′(1)=2，则().A、-2B、-1/2C、1/2D、2标准答案：A知识点解析：暂无解析3、设函数y=ex-ln3，则dy/dx=().标准答案：A知识点解析：暂无解析4、设函数则f′(x)=().A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析5、下列函数中，在x=0处不可导的是().A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为在x=0处y′不存在.6、设函数y=ex-1+1，则dy=().A、exdxB、ex-1dxC、(ex+1)dxD、(ex-1+1)dx标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设函数y=x4+2x2+3，则d2y/dx2=().A、4x3+4xB、4x2+4C、12x2+4xD、12x2+4标准答案：D知识点解析：暂无解析8、曲线y=e2x-4x在点(0，1)处的切线方程为().A、2x-y-1=0B、2x+y-1=0C、2x-y+1=0D、2x+y+1=0标准答案：B知识点解析：因为y′(0)=(2e2x-4)|x=0=-2，则在点(0，1)处切线方程是2x+y-1=0.9、下列区间为函数f(x)=x4-4x的单调增区间的是().A、(-∞，+∞)B、(-∞，0)C、(-1，1)D、(1，+∞)标准答案：D知识点解析：因为使f′(x)=4x3-4＞0的区间为(1，+∞).10、函数f(x)=ln(x2+2x+2)的单调递减区间是().A、(-∞，-1)B、(-1，0)C、(0，1)D、(1，+∞)标准答案：A知识点解析：因为令f′(x)＜0，则x＜-1，所以选A.二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)11、设y=y(x)是由方程ey=x+y所确定，则=________.标准答案：等式两边对x求导，得知识点解析：暂无解析12、设函数f(x)=cosx，则f″(x)=________.标准答案：-cosx知识点解析：暂无解析13、设函数y=sin(2x+1)，则y″=________.标准答案：-4sin(2x+1)．知识点解析：暂无解析14、曲线Y=sin(x+1)在点(一1，0)处的切线斜率为________.标准答案：1知识点解析：因为y′=cos(x+1)，则y′(-1)=1.15、曲线y=ex+x2在点(0，1)处的切线斜率为________.标准答案：1知识点解析：因为y′(0)=(ex+2x)|x=0=1.16、曲线y=x3+3x的拐点坐标为________.标准答案：(0，0)知识点解析：因为y″=6x0，得x=0，则y=0.17、函数f(x)=