专题71 函数法求最值问题（解析版）-中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题71函数法求最值问题【规律总结】【典例分析】例1．（2020·江苏宿迁市·九年级二模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，∴OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，即∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∵A（2，4），∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），∵M为BC的中点，∴BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝，∴当时，PM有最小值为=，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、二次函数的性质等知识，认真分析图形，借助作辅助线，利用相似三角形的性质及二次函数的最值求解是解答的关键．例2．（2020·湖北武汉市·九年级期中）如图，四边形的两条对角线所成的锐角为，则四边形的面积最大值为_______________________．【答案】【分析】根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×，再利用二次函数最值求出即可．【详解】解：∵AC与BD所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，设AC＝x，则BD＝10−x，所以S＝x（10−x）×＝（x−5）2＋，所以当x＝5，S有最大值．故答案为：．【点睛】此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．例3．（2021·上海）如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，∴(8﹣y)：8＝y：10，解得：y＝；（2）设EF＝x，则KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：，解得：GF＝10﹣x，∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．【好题演练】一、单选题1．（2020·无锡市凤翔实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，点A（1，0）、B（5，0）．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是（）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】利用等边三角形的性质，过点D作DE⊥AC于点E，利用“K”型相似可得△CFE∽△EGD，由此表示出点D的坐标，利用勾股定理表示出线段BD的长，再利用配方法求求值即可得出BD的最小值．【详解】如图,过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H,过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，设点C的坐标为，∵△ACD为等边三角形,则点E为AC的中点,则点E,AE=CE=ED，∵∠CEF+∠FCE=90°,∠CEF+∠DEG=90°，∴∠DEG=∠ECF，∴△CFE∽△EGD，∴,其中EF=,CF=，解得：，，故点，，当时，BD最小，BD最小值是3．故选：B．【点睛】本题属于线段最值问题，构造相似三角形，利用相似三角形的性质表示出点D的坐标是解决本题的关键．2．（2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学九年级其他模拟）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为()A．cm B．1cm C．cm D．2cm【答案】C【分析】设，，由得，构建二次函数即可解决问题；【详解】设BE=y，AP=x，∵四边形ABCD是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴时，y有最小值．故答案选C．【点睛】本题主要考查了求解二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题3．（2020·福建龙岩市·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，直线与抛物线交于A，B两点，P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大值时，点P的横坐标为___________．【答案】【分析】根据题意，先求出抛物线的解析式，然后求出A、B的坐标，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，求出PC的长度，利用二次函数的最值性质，即可求出答案．【详解】解：根据题意，把点和代入抛物线，则，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴，解得：，；∴A、B两点的横坐标分别为：，2；如图，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，设点P为（x，），则点C的坐标为（x，x+1），∴线段PC=，点A、B的横坐标距离为：，∴的面积为：，整理得到：；∴当时，的面积最大；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行分析．4．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学九年级一模）如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为__________．【答案】【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值．【详解】设直线AB为∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴∴∴直线AB为如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为当与抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值∴∴∴∴∴∴将代入，得∴∴∴∴为直角三角形，∴即△ABP面积的最小值为故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题5．（2020·重庆市南川中学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3），，，．【分析】（1）将，代入解析式即可求解；（2）过点作轴，交直线于，设点表示出，建立关于的二次函数表达式，利用函数的性质求解最大值即可；（3）当分别为边或对角线的时候，结合矩形的性质进行分类讨论即可．【详解】（1）代入，，得，解得，解析式为：；（2）如图，过点作轴，交直线于，设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，则直线的解析式为：，在抛物线上，设其坐标为，其中，则的坐标为，，即：当时，有最大值为；

（3）抛物线向右平移2个单位后解析式为：，联立，解得，即，原抛物线的对称轴为：直线，则设，，，，，1）如图，若以为边构造矩形，有以下两种情况：①如图，在矩形中，满足，即：，解得：，即：，根据四点相对位置关系得：，解得：，；②如图，在矩形中，满足，即：，解得：，即：，根据四点相对位置关系得：，解得：，；

2）如图，若以为对角线构造矩形，则满足：，即：，解得：或，即：，，当时，根据四点相对位置关系得：，解得：，；当时，根据四点相对位置关系得：，解得：，；综上，符合条件的有：，，，．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，矩形的性质，注重用函数的思想解决面积最值问题，以及分类讨论的思想进行求解未知点是解题关键．6．（2020·昆明市第一中学西山学校九年级期中）阅读下列材料：我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式（、、是常数，且、不同时为0）.如图1，点到直线：的距离（）计算公式是：．例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得．解答下列问题：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点．（1）请将直线化为“”的形式；（2）求点到直线的距离；（3）抛物线上是否存在点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）点M到直线AB的距离为6；（3）存在，，△PAB面积最小值为．【分析】（1）根据题意可直接进行化简；（2）根据题中所给公式可直接进行代值求解；（3）设点，根据题意可得点P到直线AB的距离，然后根据三角形面积计算公式可得，最后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由