普集高中2022-2023学年度第二学期高 一 年级第1次月考（ 数学 ）试题（卷）含答案

班级：考场：考号：姓名：座位：普集高中2022班级：考场：考号：姓名：座位：（数学）试题（卷）第一卷选择题（共48分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的有()A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线2．在△ABC中，已知为上一点，若，则()A． B．C． D．3．已知向量，满足，，，则与的夹角为()A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝()A．150°B．90°C．60°D．120°5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则()A． B． C． D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosA＋acosC＝2c，若a＝b，则sinB等于()A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形8．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是()A．(eq\r(3)，5)B．(eq\r(7)，5) C．(1，5)D．(1，7)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结果为零向量的是()A． B．C． D．10．在△ABC中，若，则a的值可以为()A．B．C．D．11．如果平面向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，那么下列结论中正确的是()A．a∥bB．(a－b)⊥bC．a·b＝2eq\r(2) D．|a|＝eq\r(2)|b|12．在△ABC中，已知，，，则下列选项中正确的为()A． B．△ABC外接圆的半径为C．△ABC的面积为 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，，，则的值为．14．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则△ABC的最大角的余弦值为．15．甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B处时与电视塔S的距离是km．16．已知平行四边形ABCD满足，，，，，．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，．（1）用表示；（2）求证：B，E，F三点共线．18．(本小题满分12分)已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为．求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．19．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB．（1）求B的大小；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．20．(本小题满分12分)已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD．求证：AB⊥AC；求点D和向量eq\o(AD,\s\up7(→))的坐标；（3）设∠ABC＝θ，求cosθ．21．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝eq\r(7)，且ccosA＋eq\f(1,2)a＝b．（1）求C的大小；（2）求△ABC的面积．22．(本小题满分12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq\f(a,\r(3)cosA)＝eq\f(c,sinC)．（1）求A的大小；（2）若a＝6，求b＋c的取值范围．普集高中2022—2023学年度第二学期高一年级第1次月考（数学）参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．B3．C4．D5．B6．A7．C8．B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．BCD10．AB11．BD12．ABD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13．；14．；15．3eq\r(2)；16．14．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)【解析】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，则，故，；（2）证明：因为，，所以，所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线．(本小题满分12分)【解析】（1），，；（2），∴；（3）若与垂直，则，即，∴，即，∴．19．(本小题满分12分)【解析】（1）∵bsinA＝eq\r(3)acosB，∴由正弦定理，得sinBsinA＝eq\r(3)sinAcosB．在△ABC中，sinA≠0，∴sinB＝eq\r(3)cosB，即得tanB＝eq\r(3)，∴B＝eq\f(π,3)．（2）∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acoseq\f(π,3)，解得a＝eq\r(3)，∴c＝2a＝2eq\r(3)．20．(本小题满分12分)【解析】（1）证明：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(4－2,3－4)＝(2，－1)．∵eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，即AB⊥AC．（2）设D点坐标为(x，y)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝(x－2，y－4)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(5,5)．∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①又eq\o(BD,\s\up7(→))＝(x＋1，y＋2)，而eq\o(BD,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))共线，∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②由①②解得x＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(5,2)，故D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(5,2)))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－2，\f(5,2)－4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))．（3）eq\o(BA,\s\up7(→))＝(3,6)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(5,5)，cosθ＝eq\f(\o(BA,\s\up7(→))·\o(BC,\s\up7(→)),|\o(BA,\s\up7(→))||\o(BC,\s\up7(→))|)＝eq\f(3×5＋6×5,\r(32＋62)×\r(52＋52))＝eq\f(3\r(10),10)．21．(本小题满分12分)【解析】（1）由正弦定理，得sinCcosA＋eq\f(1,2)sinA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，即eq\f(1,2)sinA＝sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)．（2）由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)．22．(本小题满分12分)【解析】（1）由正弦定理，得eq\f(a,\r(3)cosA)＝eq\f(a,sinA)，整理得sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)．又0<A<π，所以A＝eq\f(π,3)．（2）因为eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,sin\f(π,3))＝4eq\r(3)，所以b＝4eq\r(3)sinB，c＝4eq\r(3)sinC，则b＋c＝4eq\r(3)sinB＋4eq\r(3)sinC＝4eq\r(3)[sinB＋sineq\b\lc\(\rc\)