第25章 锐角的三角比（典型题）-2021-2022学年九年级数学期中考试满分全攻略（沪教版）教师版

第25章锐角的三角比典型题专练

能力提升

一、单选题

1.（2020•上海浦东新•九年级月考）在Rta4况中，NC=90°,ZANB、/而对的边

分别为a、b、c,下列等式中不成立的是（）

A.tanB=—B.cosB=-C.sinA=-D.cotA=-

accb

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题.

【详解】解：中，NA90°,//、ZB./C所对的边分别为a、b、c,

tanB=—,故/选项成立；

cosB=-,故糜项成立：

C

sinA=-,故优项成立；

c

cot4=-,故〃选项不成立；

a

故选〃

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角/的对边a与斜边。的比叫做//的

正弦，记作sin4锐角4的邻边6与斜边c的比叫做//的余弦，记作cos4锐角力的对边a与邻

边6的比叫做的正切，记作tan/.

2.（2019•上海全国•九年级单元测试）如图，城关镇某村准备在坡角为a的山坡上栽树，

要求相邻两树之间的水平距离为祢，那么这两树在坡面上的距离4夕为（）

A.nicosaB.----C.eisinaD.—

cosasma

【答案】B

【分析】根据余弦三角函数的定义，直接利用锐角三角函数关系得出cosa=2；,进而得出答

案.

【详解】解：由题意可得:cosa二W，

AB

则/庐/

cosa

故选B.

【点睛】本题主要考查了解直角二角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.

3.（2021•上海）为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的

网络信号发射塔.如图，在高为12米的建筑物班的顶部测得信号发射塔4颇端的仰角/砌=

56°,建筑物颂底部座IJ山脚底部儆距离比’=16米，小山坡面式的坡度（或坡比）f=l：

0.75,坡长比’=40米（建筑物龙、小山坡6C和网络信号发射塔/施勺剖面图在同一平面内，信

号发射塔与水平线比垂直），则信号发射塔/的高约为（）（参考数据：sin56°弋

0.83,cos56°七0.56,tan56°^1.48）

DC

A.71.4米B.59.2米C.48.2米D.39.2米

【答案】D

【分析】延长打交力好点〃，DCU肝点G可得四边形幽碉矩形，根据小山坡面比的坡度,

=1：0.75,即尝=U，求得比=32,3=24,再根据三角函数即可求出信号发射塔/解J高.

CG3

【详解】解：如图，延长£7交力时点〃，ZTL小于点&

A

■:EDLDG,

・•・四边形皮做矩形，

:.GH=ED=\2,

・・,小山坡面式的坡度/=1：0.75,即当

CG3

设8G=4x,CG=3x,则以7=5x,

•；EC=40,

.•.5x=40,

解得x=8,

:.BG=32,8=24,

:.EH=DG=DC+CG=16+24=40,

BH=BG-面=32-12=20,

在RtZ\4夕冲，NAEH=56°,

%tan56°*40X1.48-59.2,

：.AB=AH-2-20=39.2（米）.

答：信号发射塔4麻J高约为39.2米.

故选：D.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.

4.（2019•上海九年级课时练习）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线

MN交AC于D,连接BD,若cosNBDC=0.6,则BC的长是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】A

【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD,再利用cosNBDC=CDW=0.6,即可求出CD的长,

DD

再利用勾股定理求出BC的长.

【详解】解：VZC=900,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,

ABD=AD,

.\CD+BD=8cm,

工qCD

再Rt❷BDC中，cosZBDC--=0.6,

BD

ACD=0.6BD=0.6（8-CD）

CD=3cm,

ABD=5cm,

由勾股定理得：BC=4cm

故选:A.

【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD,进而

用CD及示出BD是解决问题的关键.

5.（2020•上海松江区•九年级月考）在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,则sinB

的值是（）

、12

cD.—

A-HB-7-A13

【答案】D

【分析】直接利用勾股定理得出/回勺长，再利用锐角三角函数得出答案.

【详解】解:如图所示:

VZC=90°,BC=5,4C=12,

•'­AB->/52+122=13-

.•3=£口

AB13

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为

对•边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义.

6.（2020•上海九年级月考）如图，在RtzM比中，/4方=90°,BC=\,AB=2,则下列结

论正确的是（）

...5/3n彳1n5/3

A.SIIL4=—B.tanJ=yCr.COSD=——D.>/3

22

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求解.

【详解】解：：在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2.

；•AC=4AB?-BC?=>/22-l2=6，

.-.SinA=^=ltanA=^=4==^,cosB=^=ltanB=^=^.

AB2ACy/33AB2BC

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义.

7.（2020•上海市西南模范中学九年级月考）在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的

对边分别为a,b,c,则下列关系式错误的是（）

b

A.a=btanAB.b=ccosAC.a=csinAD.c=----

sinA

【答案】D

【详解】根据三角函数的定义可得：tanA=Y，cosA=-,sin>l=-,所以a=btanA,b=ccos

bcc

A,a=csinA,c=---.所以，选项A、B、C正确，选项D错误，

sinA

故选D.

8.（2020•上海市西南模范中学九年级月考）在RhABC中，NC=90。，AB=4,AC=3,

那么下列各式中正确的是（）

3333

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=-D.cotA=—

4444

【答案】B

【分析】利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可.

【详解】RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,

由勾股定理得：BC=^AB--AC-=A/4^37=不，

由z.«BC出.AC3.BC币.*AC33不

所以sinA==——，cosA==—,tanA==——，cotA=——•=—；==

AB4AB4AC3BC近7

故选：B.

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义

是解决问题的关键.

9.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）小明同学从4地沿北偏西60°方向走100

m到历也，再从碘向正南方向走20001到。地，此时小明同学离地（）

B.50cmC.100mD.lOOx/3m

【答案】D

【分析】根据在Rt△/龙中利用三角函数分别求/〃，的的长，从而得到5勺长.再利用勾股定

理求力时长即可.

【详解】解：如图:

由碓力的北偏西60°方向可求得/庐60°,

在RtZ\4a冲,

49=4%sin60°=50jL

劭X"cos60°=50,

CD-BC-BD-\50.

AC=7（5OX/3）2+15O2=1OOA/3.

故选D.

【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解

决的方法就是作高线.

10.（2019•上海市民办新竹园中学九年级月考）利用投影仪把口△力比各边的长度都扩大5倍,

则锐角4的各三角函数值（）

A.都扩大5倍B.都缩小5倍C.没有变化D.不能确定

【答案】C

【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根

据相似三角形对应角相等解答.

【详解】•••各边的长度都扩大五倍，

,扩大后的二角形与RtaABC相似，

；•锐角A的各三角函数值都不变.

故选C.

【点睛】考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所

对应的边的长度无关是解题的关键.

11.（2019•上海九年级单元测试）如图，A,B,C,三点在正方形网格线的交点处，若将AABC

绕着点力逆时针旋转得到△ACE,则tan夕的值为（）

D.—

4

【答案】B

【分析】过C点作CD_LAB,垂足为D,根据旋转性质可知，NB'=/B,把求tanB'的问题，转

化为在RtZ\BCD中求tanB.

【详解】过0点作，AB,垂足为，

则根据旋转性质可知，=

CD1

在Rt^BCD中，tanB=--=-

BD3

所以tan8'=tan8=g

故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法.

二、填空题

12.（2021•上海）如图1所示是放置在水平桌面上的台灯，图2是其侧面示意图，其中底座

的示意图为矩形EFGB,EF=2.5cm,AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的

ZC4B=60°,CD可以绕点C下调节一定的角度.使用发现：当CD平线上方且与水平线所成的

角为30时，台灯光线最佳，则将台灯调整到光线最佳时点D到桌面FG的距离为

的•（参考数据：G取1.732,结果精确到0.1cm）

【答案】52.1

【分析】如图,作CM_LAB于M,DH_LAB于点H,交FG于N,CF_LDH于F,解直角三角形求出CM、

DF,从而可得切，于是可得到答案.

【详解】解：如图，作CMJ_AB于M,DH_LAB于点H,交FG于N,CFLDH于F,

VZCMH=ZCFH=ZFHM=90°,

四边形CM1F是矩形，

；.CM=FH,

在Rt^AMC中，

VAC=40cm,ZCAB=60°,

.*.CM=AC・sin60°%34.64(cm),

/.FH=CM=34.6(cm),

VCD=30cm,ZDCF=30°,

DF--CD=15(cm),

2

•四边形EFGH为矩形，ZEHN=90°,

...四边形EFNH是矩形，

*.EF=HN=2.5cm,

*.DN=DF+FH+HN=15+34.6+2.5=52,1(cm)；

D

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角

形解决问题，属于中考常考题型.

13.(2020•上海市西南模范中学九年级月考)在AA8c中，cosA-*+(l-cotB)2=0J!Lc

的形状是.

【答案】钝角三角形

【分析】根据非负数的性质得到cosA-3=0,l-cotB=0,从而求出NA与NB的度数，即可

2

判断AABC的形状.

【详解】；cosA-^-+(l-cotB)2=0

旦

>>cosA-2=01-cotB=()

CC)1

：.ZA=30°,ZB=45°

・・・ZC=180°-30°-45°=105°

AABC是钝角三角形

故答案为：钝角三角形

【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度

的三角函数值是解题的关键.

14.(2021•上海)如图1,一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点A处,

另一端8在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得ZABO=30。，ZAOB=45。,

0B长为32厘米，则A8的长为厘米.

【答案】92石-32)

【分析】作AC_LOB于点C,然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据直角三

角形中30。的性质即可得到AB的长.

【详解】解：作ACJ_0B于点C,如右图2所示，

则/AC0=/ACB=90°,

ZAQB=45。,

・・・ZAOC=NC4O=45。，

AAC=0C,

设AC=x,则0C=x,8c=32-苍

・.•ZABO=30°,

由tan30。=芸，

BC

,X_6

，

"32-X-T

.•.32X/5=（3+@X,

解得，x=16>/3-16,

，A8=2x=326-32（厘米），

即AB的长为（32石-32）厘米.

故答案为：326-32）.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解

安口•

15.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知RtZXABC中，斜边BC上的高AD=4,

4

cosB=—,贝！JAC二___.

【答案】5

4AD

【分析】根据三角形的内角和定理求出NB二NCAD,推出cosNCAD=?二黑，把AD的值代入求

3Zjl

出即可.

【详解】解：如图：

〈AD是△ABC的高，NBAC=90°,

AZADB=ZADC=ZBAC=90°,

AZB+ZBAD=90°，NBAD+NDAC=90°,

ZB=ZCAD,

4

VcosB=y,AD=4,

.\cosB=cosZCAD=^--^^，

5AC

44

即二一=2,

AC5

・・・AO5,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和解直角三角形，解题的关键是推出cosBrosNCAD,

题目比较好.

16.（2021•上海）如图，在aABC中，点D在边BC上，AD±AC,ZBAD=ZC,BD=2,CD=6,

那么tanC=.

【分析】证明△ABDs/XCBA,得出二大=M；=76,求出AB=4,由三角函数定义即可得出答案.

ACBCAB

【详解】解：＜BD=2,CD=6,

・・・BC=BD+CD=8,

VZB=ZB,ZBAD=ZC,

AAABD^ACBA,

.ADABBD

・•耘一丽一南，

JAB2=BDXBC=2X8=16,

AAB=4,

VAD±AC,

故答案为：y.

【点睛】本题考查锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质

为解题关键.

17.（2019•上海全国•九年级单元测试）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座

隧道（B,C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m到达A处，在A处

观测C地的俯角为30°,则B、C两地之间的距离为m.

【答案】1006

【分析】利用题意得到/C=30°,AB=100,然后根据30°的正切可计算出BC.

【详解】根据题意得NC=30°,AB=100,

VtanC=—

BC

“100100

K(---------------------------------------------詈】。。石=100x/3(m).

tan30*'tan30°

3

故答案为IOOG.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；

俯角是向下看的视线与水平线的夹角.解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未

知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.

18.（2019•上海九年级单元测试）如图，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,ZDBC=45°,翻折梯

形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8.则（1）BE的长为

.（2）NCDE的正切值为

【分析】(1)由轴对称的性质可以得出aBFE也ZXDFE,从而得出DE=BE,由NDBC=45°可以

得出/BED=90°,过A作AG_LBC于G,可以求出BG=3,可以求出BE的值.

(2)根据tan/CDE=^,由(1)的结论可以求出其值.

bu

【详解】(1)由题意得△BFE/ZWFE,

.\DE=BE.

又；在aBDE中，ZDBE=45°,

/BDE=NDBE=45°,

.,.ZBED=90°,即DE_LBC.

•.•在等腰梯形ABCD中,AD=2,BC=8,

过A作AGJ_BC于G,

•.•四边形AGED是矩形.

/.AD=GE=2,AG=DE.

•..四边形ABCD是等腰梯形，

/.AB=CD,

VZAGB=ZDEC=90o

*.一(AB=CD

Rt/XABG和RtZ\DCE中，\

UG=DE

.,.RtAABG^RtADCE(HL),

/.BG=EC=3.

r.BE=5

⑵由(1)得DE=BE=5,

在ADEC中，ZDEC=90°,DE=5,EC=3,

.♦.tan/CDE//

ED5

故答案为：（DBE=5；（2）tanZCDE=|

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻折变换，全等三角形的判定，解直角三角形的运

用.

19.（2019•上海九年级单元测试）已知小4110-3]=3-向白,则锐角。的取值范围是

【答案】OVaW30。

【分析】根据二次根式的性质可得出sina再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论.

【详解】由题意知g-sinaNO,故sinawg,即sinaWsin30°,由正弦函数是增函数.

知0<aW30°

【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数

值是解题关键.

20.（2019•上海九年级单元测试）如图,AD±CD,AB=10,BC=20,ZA=ZC=30°,则AD的

长为;CD的长为.

【答案】5.10；101+5

【分析】过B点分别作BEJ_AD,BF±CD,垂足分别为E、F,则得BF=ED,BE=DF.

分别解RtZkAEB和RtZ\BFC,求得AE,BE,BF,CF,则可得解.

【详解】解：过B点分别作BELAD,BF±CD,垂足分别为E、F,则得BF=ED,BE=DF.

:在RtZkAEB中,ZA=30°,AB=10,

AE=AB•cos30°=10XBE=AB.sin30»=10Xl=5.

又：在RtZXBFC中，ZC=30°，BC=20,

.\BFWBC=X20=10,CF=BC•cos300=20X

.\AD=AE+ED=53+IO,

CD=CF+FD=103+5.

(1).5b+10：(2).10卜+5

故答案为:

【点睛】本题考查了解直角三角形，添加恰当的辅助线构造直角三角形和灵活运用锐角三角

函数解直角三角形是解题的关键.

21.（2019•上海杨浦区•九年级月考）如图，一人乘雪橇沿坡比1：G的斜坡笔直滑下72

米，那么他下降的高度为米.

【答案】36

【分析】因为其坡比为1：G，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答.

【详解】如图:

因为坡度比为1：石，即tana=@,

3

a=30°.

则其下降的高度=72Xsin30°=36米.

故答案为36

【点睛】此题主要考查了学生对坡度坡角的理解及运用，得出坡角的度数是解题关键.

22.（2019•上海市民办新竹园中学九年级月考）如图，把"个边长为1的正方形拼接成一排,

求得tanN8AC=l,tanZBA,C=1,lanZBA,C=1,计算tanNR^C—,...按此规

律，写出tanN8A“C=（用含〃的代数式表示）.

BC

【答案】']

n2-n+l

【分析】作QUBA,于H,根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A.H,

根据正切的概念求出tan/BAC总结规律解答.

【详解】试题解析：作CHJ_BA“于H,

由勾股定理得，BA,=j42+『=J万，AC=Ji6,

△BAQ的面积=42|[,

/.-Xy/viXCH-，

22

解得，CH=姮，

17

22

则AM=^A3C-CH=

CH1

tanZBAjC=.=—,

4"rr13

tanZBA,C=l,1=12-1+1,

tanZBA,C=-,3=22-2+1,

3

tanN%C=g,7=32-3+1,

/.tanZBAnC=-------

一〃+1

故答案为：卷,

n2-/?+1.

【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、

熟记锐角三角函数的概念是解题的关键.

三、解答题

23.（2020•上海大学附属学校）如图，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡切的长为12

米，坡角。为60°.根据有关部门的规定，/aW39°时，才能避免滑坡危险.学校为了消

除安全隐患，决定对斜坡切进行改造，在保持坡脚坏动的情况下，学校至少要把坡顶晌后

水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：s力?39°g0.63,cos39°

«0.78,为〃39°^0.81,X/2^1.41,VJ-1.73,6-2.24）

【答案】7

【分析】假设点〃移到〃'的位置时，恰好/。=39°,过点加46T点瓦作〃E'1ACT

点炉，根据锐角二角函数的定义求出庞、CE、CE1的长，进而可得出结论.

【详解】假设点〃移到〃'的位置时，恰好/。=39。,过〃点作比工4行打点，作〃'EVAC^e

:.D扭CD・si/0"=65上Wcos60°=6

'：DELAC,ffE：LAC,DD'HCE

...四边形颇‘D'是矩形

：.DE=D'E=6&,DD'=EE'

'：AD'CE=39°

•”小评

:.EE'=CE-存13-6=7（米）•

即加=7

答：学校至少要把坡顶闹后水平移动7米才能保证教学楼的安全.

【点睛】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键.

24.（2011•上海闵行区•中考模拟）为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步

修建地下停车库.如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN〃AD,AD1DE,CF

±AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度=1：3,AD=9米，点C在DE上，CD=O.5米，CD是限高

标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）.如果进入该车库车辆的高度不能超过线段

CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：72^1.41,6心1.73,

M^3.16）

限高_米

【答案】2.3.

【分析】据题意得出tanB=g,即可得出tanA,在Rtz^ADE中，根据勾股定理可求得DE,即

可得出/FCE的正切值，再在RtZXCEF中，设EF=x，即可求出x,从而得出CF=3x的长.

【详解】解：

.W

据题意得tanB=],

YMN/ZAD,

.".ZA=ZB,

**•tanA—,

3

VDE1AD,

・••在RtZ\ADE中，tanA=—,

AD

VAD=9,

・・・DE=3,

又〈DC=0.5,

JCE=2.5,

VCF±AB,

AZFCE+ZCEF=90°,

VDE±AD,

・・・NA+NCEF=90°,

AZA=ZFCE,

.\tanZFCE=—

3

在RtACEF中，CE2=EE2+CE2

设EF=x,CF=3x(x>0),CE=2.5,

代入得（趣）2=x2+（3x）2

解得（如果前面没有“设x>0”，则此处应“x=土磐，舍负”），

44

.•.CF=3x=^^=2.3,

4

该停车库限高2.3米.

【点睛】点评：本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是

坡度等于坡角的正切值.

25.（2018•上海九年级月考）如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得

某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围

16海里内有暗礁.

（1）说明点B是否在暗礁区域内：

（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由.

【答案】（1）B点不在暗礁区域内；（2）继续向东航行船有触礁的危险，理由见解析.

【解析】（1）B是否在暗礁区域内就要看CB的距离，若CB>16,则点B不在暗礁区域内；若CB

<16,则点B在暗礁区域内.（2）往东航行是否有触礁危险，就要看点C到AB的距离CH与16的

大小关系.若CH>16,则无触礁的危险；若CBV16,则有触礁的危险

26.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，斜坡AC的坡度为1：>/3,AC=8

米，坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=8石米，试求旗杆BC的高度.

【答案】旗杆BC的高度为8米

【分析】如果延长BC交A0于E点，则要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度,

就要先求出AE的长度.直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然

后求出8E、CE的高度，BC=BE-CE,即可得出结果.

【详解】解：延长8C交A。于E点，则CEJ_4).

在RtAAEC中，AC=8,由坡度为1:有可知：ZC4E=30°,

I

8?4

\C£=AC浮in30?2-

AE=ACg:os30?8?当4后.

在RtAABE中，BE=-JAB2-AE2=J(8⑸一(4扬。=12.

•;BE=BC+CE,

\BC=BE-CE=12-4=8(米).

答：旗杆的高度为8米.

【点睛】本题考查了三角函数和解直角三角形，熟悉相关性质是解题的关键.

27.(2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习)如图，AB和CD是同一地面上的两座相

距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°,楼底D的俯角为30°,求楼

B一

=

=

E

B

=

B

△W

□:一

□EE

D三

O

B度

O悬

I

B

【答案】楼CD的高是(36+125/3)米

【分析】在题中两个直角二角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加

即可.

【详解】延长过点A的水平线交CD丁点E

c

D

则有AELCD,四边形ABDE是矩形，AE=BD=36

,/ZCAE=45°.♦.△AEC是等腰直角三角形；.CE=AE=36

ED

在RtZ\AED中，tanZEAD=----

AE

.,.ED=36Xtan300=126

.\CD=CE+ED=36+1273

答:楼CD的高是（36+12白）米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合

图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.

28.（2019・上海全国•九年级单元测试）如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警

察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C、〃为监测点，已知点GD、8在同一直线上,

且4cLa；必=400米，tan/4）C=2,4ABe=35°

（1）求道路AS段的长（结果精确到1米）

（2）如果道路/硼限速为60千米/时，一辆汽车通过力般的时间为90秒，请你判断该车是否

是超速，并说明理由；参考数据：sin350弋0.5736,cos35°-0.8192,tan35°^0.7002

【答案】（1）1395米；（2）超速，理由见解析；

【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

（2）求出汽车的实际车速即可判断.

【详解】解：（1）在Rt/ua冲，

AC=CZ>tanZADC=400X2=800,

在Rt△力比中，

AB=.'=”1395(米)；

sinZABC0.5736

1395

(2)车速为：-^-^15.5/n/s=55.8kni/h<&0k/n/h9

...该汽车没有超速.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角二角函数的定义，本题

属于中等题型.

29.(2019•上海杨浦区•九年级月考)如图，在RtA48c中，NC=90。，点。是BC边的中

3

点，C£>=2,tanB=-.

(1)求4。和AB的长；

(2)求sin/R4。的值.

【答案】(1)AD-V13,AB=5；(2)sinNBAD二小叵.

65

3

【分析】(1)由中点定义求BC=4,根据tanB=:得：AC=3,由勾股定理得：AB=5,AD=g；

4

(2)作高线DE,证明△DEBS/XACB,求DE的长，再利用三角函数定义求结果.

【详解】⑴・・力是BC的中点，CD=2,

ABD=DC=2,BC=4,

nAC3

在Rt4ACB中，由tanB--

CB4

・4C_3

--4__4

JAC=3,

由勾股定理得：AD=>/AC2+CD2=V32+22=713，

AB=y/AC2+BCZ=V32+42=5;

（2）过点D作DE_LAB于E,

ZC=ZDEB=90°,

又NB=NB,

AADEB^AACB,

.DE_DB

''~AC~~AR'

•DE_2

",~35，

DE=y,

DE66713

.'.sinZBAD=AD~~5~~65.

乖

【点睛】此题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键.

30.（2020•上海市西南模范中学九年级月考）如图，在一笔直的海岸线1上有A,B两个观测

站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°

的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.

（1）求点P到海岸线1的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处.此时，从B测得小船在北偏

西15°的方向.求点C与点B之间的距离.

（上述2小题的结果都保留根号）

【答案】（1）（石-l）km;（2）夜km

【分析】（1）过点P作PD_LAB于点D,构造直角二角形BDP和PDA,PD即为点P到海岸线1的距离,

应用锐角三角函数即可求解.

（2）过点B作BFLCA于点F,构造直角三角形ABF和BFC,应用锐角二角函数即可求解.

【详解】解：（1）如图，过点P作PDLAB于点D,

A

B

设PD=x,

由题意可知,PBD=45°,ZPAD=30°,

...在RtaBDP中，BD=PD=x

在RtAPDA中，AD=6PD-&

•；AB=2，...取.十岳m智

解得x=]+，=6-l（km）

•••点P到海岸线1的距离为（0-Dkm

（2）如图,过点B作BFLCA于点F,

在Rt^ABF中，：瑕效=辎,晶醺产，=窗:&，=11,

在Rtz\ABC中，NC=180°-ZBAC-ZABC=45°,

...在RtZ\BFC中，蝎震=检界=赤阑1=唐伽碱

/.点C与点B之间的距离为岛斓

31.（2019•上海浦东新•）向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示

的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120。.路灯采用

锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为a和45°,

且tana=6.求灯杆AB的长度.

【分析】过点掰乍/nL6K交位于点E过点8作BG上4居交川吁点G,则％除10.设/片疯

Apv

E-D六---------二二，由膜13.3求得产11.4,据止匕知力信71尸-G41.4,再求得N47俏

tanZADF6

/ABC-/CBR3y可得/斤2/R2.8.

【详解】过点力作仍L阳交CE于点、F,过点例乍旌LIE交AF于点、G,则陷陷10.

由题意得：NAD斤。，N氏45°.

设力片X.

VZ^45°,:・E六A六x.

AF

在RtAJ"中，VtanZJZ^—,DP=^----------------

DFtanZADF6

x

•・,好13.3,Ax+=13.3,AA=11.4,C.AG-AF-GF-WA-10=1.4.

76

除120°,：.ZABG=ZABC-ZCBG=\20°-90°=30°,：.A&=2AG=2.8.

答：灯杆伽J长度为2.8米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角

形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力.

32.（2020•上海松江区•九年级月考）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰

好在AB的中点处.一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航

行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：

【答案】35km

【分析】过点C作CHJ_AD于H..构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成

比例的定理列方程求解即可.

【详解】解：如图，过点C作CHLADTH..设CH=xfon.

在HA4C”中，ZA=37\

.37。="

AH

CHx

AH=

tan37°~tan37°

在必AC£7/中，ZCEH=45°,

345。="

EH

：.EH=-^--=x.

tan45

•:CH±AD,BDA.ADf

：.ZAHC=ZADB=9^.

：.HC//DB.

.AHAC

・♦而一演，

又C为AB的中点,

AC=CB.

:.AH=HD.

x

丁=x+5.

tan37

.5xtan375x0.75

••x~~=15.

1-tan371-0.75

AE=AH+HE=15„+15«35（km）.

tan37

因此，E处距离港口A大约为35km.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三

角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

33.（2021•上海九年级专题练习）如图，在AABC中，AB=AC=IO,BC=16,点、D为BC边

上的一个动点（点。不与点8、点C重合）.以。为顶点作乙M>E=N8,射线OE交AC边于

点E,过点A作AF_LAD交射线DE■于点F.

(1)求证：AB・CE=BD・CD；

(2)当。尸平分/ADC时，求AE的长；

(3)当AA£F是等腰三角形时，求BO的长.

【答案】(1)证明见解析；⑵125(3)8。的长为11或3多9或25

3242

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到ZB=NC,根据三角形的外角性质得到

NBAD=NCDE,得到AB4)sZkCDE,根据相似三角形的性质证明结论：

Ap«n

(2)证明。/〃AB,根据平行线的性质得到黑=黑，证明ABD4SA&4C,根据相似三角

ACDC

形的性质列式计算，得到答案；

(3)分点尸在DE的延长线上、点尸在线段OE匕两种情况，根据等腰三角形的性质计算即

可.

【详解】(1)证明：•・.AB=AC,

・•.ZB=ZC,ZADC=ZBAD+ZB,ZADE=ZB,

:・NBAD=/CDE,又N8=NC,

:.\BAD^\CDE,

.ABBD

"'CD~~CEf

即孙CE=3D・CZ)；

(2)解：:。方平分N")C,

・・.ZADE=/CDE,

,:NCDE=ZBAD,

:.ZADE=/BAD,

.・.DF//AB,

.AEBD

AC-BC?

,:ZBAD=ZADE=ZB,

：.ZBAD=ZC,又N5=NB,

:.\BDA^\BAC,

.BDBABD10

・・——=——,即Mn——=—

BABC1()16

解得，加午25,

4

25

_4,

To--!?

125

解得，=

(3)解：作A