高考数学大二轮总复习 高考小题综合练（三）试题

高考小题综合练(三)1．(2015·韶关十校联考)已知a是实数，eq\f(a＋i,1－i)是纯虚数，则a等于()A．1 B．－1C.eq\r(2) D．－eq\r(2)2．(2015·重庆一中月考)已知集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]3．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0，))若z＝x＋3y＋m的最小值为4，则m等于()A．1B．2C．3D．44．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则()A．若m⊥n，α⊥β B．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥β D．若α∥β，则m∥n5．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是()A.eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C．5D．－56．(2015·安徽改编)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n值为()A．3B．4C．5D．67．(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)8．(2015·浙江省重点中学训练)将二项式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(4,x)))n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项的个数是()A．3B．4C．5D．69．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝eq\r(3)acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B.eq\r(2)C．3D.eq\r(3)10．(2014·山东)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()A．x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝011．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(5,2)12．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶13．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．14.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的点，AP＝eq\f(a,3)，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n>1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝________.16．(2015·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝eq\f(fx1－fx2,x1－x2)，n＝eq\f(gx1－gx2,x1－x2)，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).

答案精析高考小题综合练(三)1．A[因为eq\f(a＋i,1－i)＝eq\f(a＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a－1,2)＋eq\f(a＋1,2)i是纯虚数，所以eq\f(a－1,2)＝0，即a＝1，所以应选择A.]2．A[M＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，因为M⊆N，所以a≥2，故选A.]3．B[画出可行域，如图所示，设z′＝x＋3y，变形为y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(1,3)z′，当z′取到最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C点．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－1＝0，))可知C(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，代入目标函数z＝x＋3y＋m，得4＝eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,2)＋m，得m＝2.]4．D[对于D，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D是正确的，而A，B，C均可以举出反例说明不成立．]5．D[由1＋log3an＝log3an＋1得eq\f(an＋1,an)＝3，{an}为等比数列，公比为3.∴a5＋a7＋a9＝27(a2＋a4＋a6)＝27×9＝35，∴log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.]6．B[执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414>0.005，a＝eq\f(3,2)，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086>0．005，a＝eq\f(7,5)，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014>0．005，a＝eq\f(17,12)，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|<0.005，输出n＝4.]7．D[如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×12×1,13－\f(1,3)×\f(1,2)×12×1)＝eq\f(1,5)，选D.]8．A[展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·(eq\f(1,2))rx(r＝0,1,2，…，n)，∴前三项的系数分别是1，eq\f(n,2)，eq\f(nn－1,8)，∴2·eq\f(n,2)＝1＋eq\f(nn－1,8)，∴n＝8，∴当n＝8时，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\f(1,2))rx(r＝0,1,2，…，8)，∴r＝0,4,8，展开式中x的指数是整数，故共有3个，答案为A.]9．D[∵csinA＝eq\r(3)acosC，∴sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，∵sinA≠0，∴tanC＝eq\r(3)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，∴sinA＋sinB＝sinA＋sin(eq\f(2π,3)－A)＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sin(A＋eq\f(π,6))，∵0<A<eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴eq\f(\r(3),2)<eq\r(3)sin(A＋eq\f(π,6))≤eq\r(3)，∴sinA＋sinB的最大值为eq\r(3).]10．A[由题意知e1＝eq\f(c1,a)，e2＝eq\f(c2,a)，∴e1·e2＝eq\f(c1,a)·eq\f(c2,a)＝eq\f(c1c2,a2)＝eq\f(\r(3),2).又∵ceq\o\al(2,1)＝a2－b2，ceq\o\al(2,2)＝a2＋b2，∴eq\f(c\o\al(2,1)c\o\al(2,2),a4)＝eq\f(a4－b4,a4)＝1－(eq\f(b,a))4，即1－(eq\f(b,a))4＝eq\f(3,4)，解得eq\f(b,a)＝±eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2).令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，解得bx±ay＝0，∴x±eq\r(2)y＝0.]11．B[eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).]12．D[射击两次的结果有：一次中靶；二次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．]13．6解析f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)>0⇒x<eq\f(2,3)或x>2，f′(x)<0⇒eq\f(2,3)<x<2，故函数在(－∞，eq\f(2,3))及(2，＋∞)上单调递增，在(eq\f(2,3)，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，同样验证可知c＝6符合题意．14.eq\f(2\r(2),3)a解析如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.15．91解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋2，,Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋2，))∴an＋2＋an＝2an＋1，∴数列{an}从第二项开始为等差数列，当n＝2时，S3＋S1＝2S2＋2，∴a3＝a2＋2＝4，∴S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋eq\f(92＋18,2)＝91.16．①④解析设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，得2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴