第四章 数列单元测试（基础卷）（解析版）-教案课件-人教版高中数学选择性必修二（选修二）

第四章数列单元过关检测基础A卷

解析版

学校:姓名：___________班级：考号：

题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟

一、单选题

1.已知数列｛册｝的前4项为：1,则数列｛厮｝的通项公式可能为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

分母与项数一样，分子都是工，正负号相间出现，依此可得通项公式

【详解】

正负相间用（一1）"T表示，口即=一二.

故选D.

【点睛】

本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律.

2.记S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若色=3,S6=21,则数列｛%｝的公差为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】

利用等差数列｛a„｝的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列｛斯｝的公差.

【详解】

•••S”为等差数列｛小｝的前〃项和，43=3,$6=21,

a3=at+2d=3

*6x5，

§6=64+21

解得“1=1,(1=1.

...数列｛斯｝的公差为1.

故选4.

【点睛】

本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

3.已知数列｛%｝,满足凡+|=口一，若4=不，则%)19=()

11

A.2B.—C.—1D.

22

【答案】C

【分析】

利用递推公式计算出数列｛4｝的前几项，找出数列｛。,,｝的周期，然后利用周期性求出的019的值.

【详解】

11•a=^—=^—=211,

aa

n+\=-----.且41=7，-1-a111，3=-；---=^=-1,

\-an21--\-a21-2

111/、

4=巨=17^=2,所以，a“+3=4,(〃wN*),

则数列｛凡｝是以3为周期的周期数列，，«20|9=®672+3=q=T

故选C.

【点睛】

本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解

决问题的能力，属于中等题.

4.在等比数列｛%｝中，％«2=6,%+《4=5,则外■=()

“5

9433-23-9

A.一或一B.-C.二■或不D.一或一

4922324

【答案】A

【分析】

根据等比数列的性质得=包«4=6,又由4+《4=5,联立方程组，解得包，44的值，分

类讨论求解，即可得到答案.

【详解】

由题意，根据等比数列的性质，可得％,42=。「44=6,

%=2(a4=3

又山4+《4=5,联立方程组，解得〈.或｛4

闻=3〔%=2

当卜二时，贝=］此时%=/=0。)2宅；

《4=3a42a54

当:时，则d"二也二段，此时幺:彳"‘=("")2

%4=243a$9

故选A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得的

值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

5.等比数列｛q｝中（）

A.若。］<4>则“4<“5B.若4<4，则。3<。4

C.S3>S2,则D.若邑>邑，则q>%

【答案】B

【分析】

根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.

【详解】

.•等比数列｛aJ中，q2>0,

.,.当时，可得442<。2彳2,及a,<&，故B正确;

但/和%=生/不能判断大小（q3正负不确定），故A错误;

当S3>§2时,则+g+%>q1+“2，可得。3>0,即4闯2>0,可得4>0,

由于。不确定，不能确定q,外的大小，故CD错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.

57〃+2

6.两等差数列｛%｝和也｝,前〃项和分别为S”,。，且亍=则7的值为（）

149791651

A.——B.—C.—D.—

2414510

【答案】A

【分析】

在｛。“｝为等差数列中，当加+"=〃+4(〃7,”,P,qeN.)时，am+an=ap+aq.所以结合此性

质可得：母,再根据题意得到答案.

四+九T21

【详解】

解：在｛%｝为等差数列中，当加+”=。+式加，«,P,qeM)时，am+an=ap+aq.

21x(^+n)x-§

%+%o21

所以

4+121x(^,+^,)x10

S,_7〃+2

又因为W

〃+3

生+生。149

所以

4+九24'

故选：A.

【点睛】

本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题.

7.函数/(劝=7^112》-0«2》-石的正数零点从小到大构成数列｛。“｝,贝!!%=()

13%17兀171

A.——D.—

12~[26

【答案】B

【分析】

先将函数化简为f(x)=2sin2x—£-6，再解函数零点得％乃或1=四+左万，keZ,

I6J412

再求心即可.

【详解】

解：*.*fM=sin2x-cos2x->/3=2sin^2x--^j-^3

令〃x)=°得：2x—色='+2攵4或2x—'=二+2%〃，keZ,

6363

71...5%",,r

X--+K7TS^X------\-K7t,KEZ,

412

TT57r57r

/.正数零点从小到大构成数列为：a^-,a2^—,a.=—,

4-124

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.

-1.V

8.已知函数/(x)=A^(XGR),正项等比数列｛%｝满足须=1，则

/(lna1)+/(ln<72)++/(lna99)

99101

A.99B.101C.—D.—

22

【答案】c

【详解】

3-t1

因为函数/(-x)------=------：.f(x)+f(-x)=l(XGR),

1+3-x3V+1

正项等比数列｛a“｝满足a5()=1•-4为9==1，

Inax+In=Ina2+Ina..=0

99

则/(lnq)+/(lna2)++/(1。99)=万，选C

二、多选题

9.无穷数列｛%｝的前〃项和S“=a〃2+尿+c,其中a,b,c为实数，则()

A.｛因｝可能为等差数列

B.｛%｝可能为等比数列

C.｛%｝中一定存在连续三项构成等差数列

D.｛《,｝中一定存在连续三项构成等比数列

【答案】AC

【分析】

由S,+M+C可求得勺的表达式，利用定义判定得出答案.

【详解】

当〃=1时，4=E=Q+〃+C.

2

当〃N2时，an-Sn—Sn_｝=an+6〃+C-Q（〃-一人（力_]）_仃=2an-a+b.

当〃=1时，上式=〃+力.

所以若｛%｝是等差数列，则a+Z>=a+b+c，c=O.

所以当c=0时，｛q｝是等差数列，不可能是等比数列；当CH（）时，｛%｝从第二项开始是等差数

列.

故选：AC

【点睛】

本题只要考查等差数列前〃项和S,与通项公式的关系，利用S,求通项公式，属于基础题.

10.已知数列｛叫的首项为4,且满足2（〃+l）a“-w”+[=0（〃wN*）,则（）

A.为等差数列

B.｛4｝为递增数列

C.｛%｝的前〃项和S,,=(〃—1)-2向+4

D・｛台｝的前几项和(,=等

【答案】BD

【分析】

+

由2(〃+Y)an-nan+[=0得也=2x4，所以可知数列,是等比数列,从而可求出an=n-2"',

几+1n[n)

可得数列｛q｝为递增数列，利用错位相减法可求得｛4｝的前〃项和，由于令=喘;=〃，从

而利用等差数列的求和公式可求出数列｛翁｝的前〃项和.

【详解】

由2(〃+1)4-〃4m=0得也=2、%,所以[2]是以a=q=4为首项，2为公比的

几十1n[nJ1

等比数列，故A错误；因为❷=4X2"T=2""，所以为=〃-2向，显然递增，故8正确；

n

因为S“=1X2?+2X23+…+小2向，2S„=1X23+2X24++n-2,,+2,所以

-S„=1X22+23++2"i—〃.2"2一2一(1一2”)〃之..故S“=(〃-1)X2-2+4,

1-2

故C错误；因为%=嘿=〃，所以｛斜｝的前〃项和4=现署=4，

故。正确.

故选：BD

【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差

数列前〃项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

11.已知无穷等差数列｛q｝的前〃项和为s“，S6<S7,且S7〉S8,则（）

A.在数列｛凡｝中，为最大B.在数列｛q,｝中，4或许最大

C.53=Sl0D.当〃28时，<0

【答案】AD

【分析】

由已知得到%>0,。8<0，进而得到d<0.从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关

系可等价转化为4+6d=0,可知不一定成立，从而判定C错误.

【详解】

由已知得：a7>0,a8<0,

结合等差数列的性质可知，d<0,该等差数列是单调递减的数列，

.•.A正确，B错误，D正确，

S3=等价于A。一邑二°,即4+4+.一+4（）二°,等价于4+4o=°，即4+6"=

这在已知条件中是没有的，故C错误.

故选:AD.

【点睛】

本题考查等差数列的性质和前"项和，属基础题，关键在于掌握和与项的关系.

12.将〃2个数排成〃行〃列的一个数阵，如图：该数阵第一列的〃个数从上到下构成以〃，为公差的

等差数列，每一行的〃个数从左到右构成以〃?为公比的等比数列（其中加>（））.已知知=2,

%=%+1，记这个数的和为S.下列结论正确的有（）

“31432a33.............a3n

anlan243……Mi

A.m=3B.47=17x37c.羯=（3i—1）x3^D.S=；〃（3〃+l）（3"—1）

【答案】ACD

【分析】

根据等差数列和等比数列通项公式，结合《3=4I+1可求得加，同时确定%7、%的值、得到

A,2C的正误：首先利用等比数列求和公式求得第i行〃个数的和，再结合等差求和公式得到。的

正误.

【详解】

222

对TA，al3=anm=2m,+5/〃=2+5加，2m=3+5m＞又加＞0，

.•.，%=3,A正确；

66

对于3，^61=2+5m=17,,\a61=a6l-m=17x3,8错误；

J]/_,

对于C,ai[=a]]+（z-l）m=3z-l,=aiy-m~=（3z-1）-3TC正确；

对于。，第于亍＞个数的和s-3“二空如二工L建辿二D,

\~YYl-22

.­.5=1（3,,-l）x[2+5+8+---+（3n-l）]=^（3n-l）x^|^l=lrt（3n+l）（3n-l）.O正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，

将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.

三、填空题

已知为等差数列,前”项和取得最大值时的

13.｛a,,｝q++=105,a2+a4+a6=99,｛an｝S“n

值为.

【答案】20

【分析】

先由条件求出q,d，算出S“，然后利用二次函数的知识求出即可

【详解】

设｛4｝的公差为d，由题意得

q+4+%~a\+4+2d+q+4d=105

即4+2d=35,①

%+。4+6~a\+d+4+3d+q+5d=99

即4+3d=33,②

由①②联立得q=39,d=-2

所以=39〃+x(-2)=一/+40〃=_(〃_2oy+400

故当〃=20时，S〃取得最大值4。。

故答案为：2。

【点睛】

等差数列的S“是关于〃的•.次函数，但要注意〃只能取正整数.

14.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙''的问题："今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦

日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两

只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；

小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如

2

果墙足够厚，S“为前"天两只老鼠打洞长度之和，则S产_____尺.

【答案】2"+1-21-"

【分析】

写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解.

【详解】

根据题意大老鼠第n天打洞/=2"J尺，

小老鼠第〃天打洞/尺，

|(1A"-1

所以S,,=1+2+4+…+2"T+1+—+…+-

2⑴

=21+2出厂

=2"+1—2~

故答案为：2"+1-2「"

【点睛】

此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及

分组求和.

15.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例

如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有

9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是.

【答案】405

【分析】

9x8

前9圈的石板数依次组成一个首项为9,公差为9的等差数列，59=9x9+^x9=405

16.

如图，互不相同的点A，4，4，和牛员,，纥,分别在角。的两条边上，所有4纥相互平

行，且所有梯形A“B“BeA”z的面积均相等.设OA“=4.若q=1,%=2,则数列｛%｝的通项公式

是.

[答案】a“=13rl-2

【分析】

根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与。“相关的递推公式，再由递推公式

求得通项公式.

【详解】

由于4+四+"4纥，所以.OAn+iBn+]OAnB,„

梯形4,纥纥+m,用的面积为AOA,什£用的面积减去△04“纥的面积，

SQ&B,_O&_a-

S.O&B,。号否

则可得如一说=个—，即递推公式为24=*+，

故也:｝为等差数列，且公差4=々2-。；=3，

故a”~=1+(/1—1)x3=3/2—2,得a“=J3〃-2

故答案为：4=j3〃-2

【点睛】

本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中

档题.

四、解答题

17.设等差数列｛q｝的前“项的和为S“，且S,=—62,S6=-75,求：

(1)求｛%｝的通项公式为；

(2)求数列｛同｝的前14项和.

【答案】(1)4=3〃—23；(2)147.

【分析】

(1)山已知条件列出关于力,"的方程组，求出可得到为；

(2)由通项公式。“先判断数列｛4｝中项的正负，然后再化简数列｛|%|｝中的项，即可求出结果.

【详解】

4x3

4a+—^=-62

1n

解：(1)设等差数列｛为｝的公差为"，依题意得，

66+夕”=-75

12

解得q=-20,d-3,

：.an=-20+(n-l)x3=3n-23：

(2)an=3n-23,

止安匕空=配以加』-与

，由a”<0得〃<8,S“

|qI+|“21+|q|++I4J=—q—%——%+%++44=5]4—2s7

3433

—x2l4---xl4-—x匕7

222

=7(42—43)-7(21—43)=147.

【点睛】

此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.

18.数列｛%｝满足4=1,%=2,4+2=2。〃+[—+2

（1）设或=〃,用一生,证明数列｛，｝是等差数列

（2）求数列的前〃项和S,.

曲%J

【答案】（1）证明过程见详解；（2）S“=-------.

2〃+1

【分析】

（1）先化简得到（4+2一%+1）一（4+1一%）=2即瓦+「4=2,再求得a=%-4=1，最后判断

数列｛%｝是以I为首项，以2为公差的等差数列.

（2）先求出数列｛2｝的通项公式a=2〃-1,再运用“裂项相消法”求数列〈，一，的前.〃项和

Sn即可.

【详解】

解：（I）因为4+2=24m_%+2,所以（%+2_4用）一（6用一%）=2

因为4=«,1+,~an,所以d+i-4=2,且4=%=1

所以数列｛2｝是以1为首项，以2为公差的等差数列.

（2）由（1）的包=l+（〃-l）x2=2"-1,

「、1_11_____!—]

所以~（2n-l）（2n+l）~2\2n-i~2n+iJ

。1111

所以=----1----------1----------FH-----------

她助她2%

舒-扑发-与+2[2n-\~2n+l)

=U「一U=q

212n+lJ2n+l

【点睛】

本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”

求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.

19.在①3k=-1，②％+1-4=一,，③。”+1=。“+〃一8这三个条件中任选一个，补充在下面

an26

的问题中，若问题中的5"存在最大值，则求出最大值；若问题中的S,不存在最大值，请说明理由.

问题：设s“是数列｛q｝的前〃项和，且4=4,,求｛6,｝的通项公式，并判断S,是否

存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【分析】

若选①，求出数列｛4｝是首项为4,公比为-g的等比数列，求出通项公式和前〃项和，通过讨论〃

的奇偶性，求出其最大值即可；

若选②，求出数列｛为｝是首项为4,公差为一1的等差数列，求出通项公式和前〃项和，求出其最

6

大值即可；

若选③，求出/=〃—["+24,当〃216时，4>0,故S“不存在最大值.

【详解】

解：选①

因为其包=-!，4=4,所以｛6,｝是首项为4.公比为-！的等比数列，

%22

41--

当〃为奇数时，s=1」;8八।1

"1+13（T）

2

因为|[1+随着〃的增加而减少，所以此时s“的最大值为E=4.

8（I

当〃为偶数时，5„=-1-—

JI乙

综上，5“存在最大值，且最大值为4.

选②

因为4=4.所以｛%｝是首项为4,公差为―；的等差数列,

66

所以2=4+(〃_1)(一t125

——nd---.

66

125

由—n-\---20得〃W25,

66

所以S,存在最大值.且最大值为邑5（或邑4），

25x24(1A

因为S?5=25x4+―-—xf--1=5(),所以S“的最大值为50.

选③

因为4+1=a”+〃-8,所以4+1—%=〃-8,

所以生一弓二一？，a3—ci2=-6,•••</„n-9,

(-7+n-9)(n-l)n2-17n+16

则4“一6Z|=%-Q]+—++一。”一1

22

...r-r-.।Yf—17〃+24

又q=4,所以Q〃二-------------

当〃之16时,。“>0,

故S“不存在最大值.

【点睛】

此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题

20.已知数列｛%｝的前〃项和为5“，满足S“=2a”—2.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）设包=（2〃一求数列也｝的前〃项和7“.

【答案】（1）4=2"；⑵7；,=（2n-3）x2n+l+6

【分析】

（I）利用«„=Sn-S,i（〃>2）,4=M,可得｛可｝为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求

得通项公式4；

（2）利用错位相减法求和即可求

【详解】

(1)当〃=1时，4=S[=2q-2,解得q=2,

当〃>1时，由S.=2%—2可得

S“_i=2a“_1-2,n>\

两式相减可得an=2a“-2%,即上匚=2,

an-\

所以｛a,,｝是以2为首项，以2为公比的等比数列,

所以a“=2-2"T=2"

(2)由(1)d=(2〃-1>2”,

7；=1X2+3X22+5X23++(2〃-1)・2",

则27；=1x22+3x23+5x2,+L+(2〃-3)x2"+(2〃-1)x2"”,

两式相减得-7；=2+2x22+2x2?++2x2"-(2/1—1)x2"“

8(1-2"T)

=2+_(2〃一1)x2.=2"+2—6—(2〃-1)x2"“=一(2〃-3)•2,,+|-6,

1-2

所以7；=(2〃-3)〉2向+6.

【点睛】

方法点睛：

|X—S”,,n>2

由数列前〃项和求通项公式时，一般根据凡=；求解，考查学生的计算能力.

屿，〃二1

31

21.已知数列｛q｝的前〃项和为5“=/”2一万〃.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵数列d=[1gq],国表示不超过X的最大整数，求也｝的前1000项和Zooo.

【答案】(1)4=3〃一2；(2)7；0Go=2631.

【分析】

(1)利用4=S“-S,T可求出;

(2)根据数列特点采用分组求和法求解.

【详解】

(1)当〃=1时，4=¥=1,

313■>]

nn

当〃22时，an=Sn-Sn_｝~~'~~-一万("-1)=3〃-2,

将〃=1代入上式验证显然适合，所以为=3〃-2.

(2)因为%=1°，。34=10°，«334-1000,%334=I。。。。,

0,1<»<3

1,4</1<33

所以“

2,34<»<333

3,334<n<1000

所以^IOOO=0x3+lx30+2x300+3x667=2631.

【点睛】

本题考查凡和S”的关系，考查分组求和法，属于基础题.

22.在①$5=35,②34+生=10,③q+i=3〃+4这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作

答.

。成等比数列

已