2023年浙江杭州地区重点高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（V-2x-3）（x+2）5的展开式中，V项的系数为（）

A.-23B.17C.20D.63

2.在复平面内，处复数（i为虚数单位）的共扼复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，在AA8C中，AN=-AC,P是BN上的一点，若根恁=而一一AB,则实数，〃的值为（）

33

39

4.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是

A.2>/6B.4C.2GD.272

TTTT7T

5.已知函数f（x）=sin（皿+9）3>°,10区5）,A-1为/⑴的零点'为'=图象的对称轴'且/⑴

在区间（?,（）上单调，则①的最大值是（）

A.12B.11C.10D.9

6.已知将函数/（x）=sin（s+。）（0＜。＜6,-巳＜°〈工）的图象向右平移9个单位长度后得到函数g（x）的图

223

TT

象，若/（x）和g（x）的图象都关于》=二对称，则①的值为（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

7.函数/（HnV-d+x的图象在点（1,/。））处的切线为/,贝！W在），轴上的截距为（）

A.一1B.1C.-2D.2

8.已知集合尸={幻8-2«0},Q=卜|一A。[,则©尸）0。为（）

A.[0,2）B.（2,3]C.[2,3]D.（0,2]

9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

A.124B.16万

C.244D.487

10.已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-3,-4）,贝（jtan（2a+f]的

值为（）

172417

B.——D.

31T3?

11.若x>0,y>0,则“x+2y=2而”的一个充分不必要条件是

A.%=yB.x=2y

c.x=2且y=lD.%==1

12.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0,32）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）

内的概率为()

(附：若随机变量g服从正态分布则P(M—b<J<4+cr)=68.26%,

P(〃-2cr<"+2cr)=95.44%.)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+as,则an—,as=.

14.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量£、万、工满足(22+区)二=(),则实数，的值为

15.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为.

正佳苗用州应闻图

mwis

55s

16.已知等比数列｛g｝的前〃项和为S“，4+%=—，且%+/=］，则字=__________.

2406

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

C17

17.(12分)已知函数/(%)=5以~一(a+l)x+lnx,aeR.

(1)当。=0时，求曲线/(x)在点(2,7(2))的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性.

18.（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，平面ABC。，AB=BC^2,CD=AD=WNA5C=120°.

p.

(I)证明：BDLPCx

(II)若A/是PO中点，与平面PA6所成的角的正弦值为迈，求B4的长.

10

221

19.(12分)设椭圆C：r]•+%■=1(“>/,>())的右焦点为尸，右顶点为A,已知椭圆离心率为过点尸且与x轴

垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(I)求椭圆C的方程；

(U)设过点A的直线/与椭圆C交于点3(3不在X轴上)，垂直于/的直线与/交于点与)'轴交于点〃，若

BFVHF,且NMQ4WNM4O,求直线/斜率的取值范围.

20.(12分)如图(1)五边形ABCQE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NE£)C=150,将AEM)沿AD折到AfAD的位置，得到四棱锥P—ABC。，如图(2),点M为线段PC的中点,

且平面PCD.

(1)求证：平面Q4T>_L平面A8C£>；

21.(12分)在AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,加c,向量〃；=(2a-血,&)，向量小(cosB,cosC),且记//兀

(1)求角C的大小；

(2)求y=s讥4+65加(8-0)的最大值.

22.(10分)若正数a,6,c满足a+Z?+c=1,求—--1----1------的最小值.

3。+238+23c+2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.

【详解】

55r

(x+2)的展开式的通项公式为7；.+1=C；x--2’.则

①(/—2x—3)出(-3),则(尤+2)5出V，该项为：(-3)・仁-2°.丁=-3/；

55

②(f―2x-3)出(―2x),则(x+2)5出尤3该项为：(-2).C；.2'-X=-20X;

③(d-2X-3)出则(》+2)5出V,该项为：IC122了=40尤5；

综上所述：合并后的Y项的系数为17.

故选：B

【点睛】

本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.

2.D

【解析】

将复数化简得z=l+2i1=1-2i,即可得到对应的点为。,-2)，即可得出结果.

【详解】

Z=7=?+??+?=1+2i=＞彳=1-2i,对应的点位于第四象限.

1-«(l-z)(l+z)

故选:D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查共朝复数和复数与平面内点的对应，难度容易.

3.B

【解析】

根恁=而一§而变形为4户=机恁+由丽=§恁得/=3俞，转化在AABN中，利用3、P、N三

点共线可得.

【详解】

______2____7__,

解：依题：AP=mAC+-AB=3mAN+-AB,

33

又B,P,N三点共线，

2,1

3m+—=1,解得.

39

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是⑴先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成

向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.（2）直线的向量式参

数方程：A、P、B三点共线=丽=（1一t）砺+f砺（。为平面内任一点"€/?）

4.A

【解析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.

【详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且AD=AB=2,BC=4,

P4_L平面ABCD,且Q4=2,

•*-PB=V22+22=2V2•PD=d2?+展=20，CD=20PC=yjp^+AC2=V4+20=2-^6>

.•.这个四棱锥中最长棱的长度是2卡.

故选A.

【点睛】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题.

5.B

【解析】

由题意可得。•(-£)+9=讥，且◎工+9=〃乃+1，故有0=2(〃-&)+1①，再根据:二..£一£,求得0,12②,

4422①34

由①②可得。的最大值，检验包的这个值满足条件.

【详解】

解：函数/(x)=sin(iyx+e)(0>O,\(p\„,

工=一TT;为/。)的零点，1=7一T为丁=/(无)图象的对称轴，

44

r

:.co.(/~)+(p=k兀，_@L(o^—+(p=k'K+—,k、keZ9「.刃=2(〃一6+1,即。为奇数①.

442

•••/(%)在(£,刍单调，.•二色….•.如12②.

432。34

由①②可得0的最大值为1.

JTrrTT

当勿=11时，由》=—为y=/(x)图象的对称轴，可得iix：+e=%r+=，keZ,

442

故有0=,。*(-■二)+中=k兀，满足x=为/(x)的零点，

444

(71兀、

同时也满足满足fM在匕，可上单调，

故0=11为口的最大值，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

6.B

【解析】

因为将函数/(x)=sin(s+Q)(0〈口＜6,—3＜夕＜彳)的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象,

可得g(x)usinjjylx-q+(p=sin[tyx-兀(<p+oj,结合已知，即可求得答案.

3

【详解】

••,将函数/(x)=sin(0x+。)(0＜«＜6,一工＜。＜巴)的图象向右平移£个单位长度后得到函数g(x)的图象

223

+J=sin"(十0,

/.g(x)=sin

13,

7T

又•••/⑺和g(x)的图象都关于对称,

71,71

一(D+(p=k\兀+—

,由，42优4eZ),

冗冗,4\7

—G)------0)+(P=k^7TH----

1432

得三/=化_k2)»，(K&eZ),

即69=3(4—幺)(K，k)€Z),

又；0<a><6,

•'-60=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

7.A

【解析】

求出函数在X=1处的导数后可得曲线在(1,/。))处的切线方程，从而可求切线的纵截距.

【详解】

,f(x)=3x2-2x+l,故/'(1)=2,

所以曲线y=/(x)在处的切线方程为：y=2(x-l)+/(l)=2x-l.

令x=0,则y=-l,故切线的纵截距为一1.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题

属于基础题.

8.B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到比P={x|x>2},再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合尸={X|X_240},Q={X|2FK()},

所以尸={x|%W2},Q={x|0<xW3},则6j={x|x>2},

所以@P)nQ={x|2<x43}=(2,3].

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能

力，属于基础题.

9.A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2及，如图：

.•.AA3C的外接圆的圆心为斜边AC的中点O,0D1AC,且OZ)u平面必C,

\-SA=AC=2,

二SC的中点。为外接球的球心,

二半径/?=6，

•­•外接球表面积S=4;rx3=121.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

10.B

【解析】

424

根据三角函数定义得到tana=-,故tan2。=-二，再利用和差公式得到答案.

37

【详解】

•.•角a的终边过点P(-3,-4),.•.tanc=24,tan2a=2tanci=-2乙4.

3l-tan-«7

cn24,

tan2a+tan-----+11)

47_1Z.

tan2«+—==

I4

1-tan2cz-tan—1+-xl

47

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.

11.C

【解析】

x>0,y>0,

...x+2y22j而，当且仅当x=2y时取等号.

故"x=2,且y=1”是"2〉=2J而”的充分不必要条件.选C.

12.B

【解析】

试题分析：由题意P(-3<^<3)=68.26%,K-6<^<6)=95.44%,P(3<^<6)=(95.44%-68.26%)=13.59%.

故选B.

考点：正态分布

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.164

【解析】

只需令X=O,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得44=C；+2C：+C；.

【详解】

令x=0,得的=(0+1)3(0+2)2=4,

而(x+l)3(x+2)2=(x+l)3[(x+l)2+2(x+l)+l]=(x+l)5+2(x+l)4+(x+1)3；

则04—C；+2C：+Cj=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【点睛】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

3

14.——

2

【解析】

根据图示分析出£、h，"的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出/的取值.

【详解】

由图可知：«=(l,2),b=(3,l),c=(4,4),所以22+衣=(2+3t,4+r),

又因为(2M+石)•C=(),所以8+12r+16+4r=0,

3

所以i=_2.

2

3

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知£=(大,%)石=(工2，%)，若则有

%z+y%=°・

15.20万

【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.

【详解】

由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆

34

柱组合而成，其体积为乃x22x4+-x—万x23=20万.

83

故答案为：20乃.

【点睛】

本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.

16.63

【解析】

由题意知q=,继而利用等比数列｛«„｝的前n项和为S”的公式代入求值即可.

ClyL

【详解】

解：由题意知4="幺=不，所以&=］_?==2_63.

故答案为：63.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x+2y+2-21n2=O；(2)当a,0时,/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,”)上单调递减；当0<a<l时,/(幻

在(0,1)和,+8］上单调递增，在［1,上单调递减；当a=1时,/(幻在(0,+8)上单调递增；当a>1时,/0)在

(0,£|和(1,+a))上单调递增，在d上单调递减.

【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.

⑵易得函数定义域是(0,+oo)，且f(x)=吧).故分出0,0<。<1和。=1与。>1四种情况，分别分析得极值

x

点的关系进而求得原函数的单调性即可.

【详解】

(1)当a=0时,/'(X)=—x+Inx,/(X)=-1+工,则切线的斜率为广(2)=—1+11.

x22

又/(2)=-2+ln2，则曲线/(x)在点(2,/(2))的切线方程是y—(―2+In2)=(x-2),

即x+2y+2-21n2=0.

ax一(a+l)x+1(ax-l)(x-1)

fr(x)=ax—(a+1)+—

①当6,0时,ar-1<0,所以当X€(O,1)时，/(%)>0；当xG(1,”)时,r(x)<。,

所以/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

②当0<a<l时］>1,所以当xe(°，l)和C+s)时J'(x)>0;当时,/'(x)<0,

所以f(x)在(0,1)和］上单调递增，在［1,：)上单调递减；

③当。=1时」=1,所以/'(x)..0在(0,+8)上恒成立.所以/(X)在(0,+8)上单调递增；

a

④当a>1时,0<,<1,

所以XW和(1,”)时,/'(x)>0；XG时J'(x)<0.

所以/(幻在0,和(L”)上单调递增，在』上单调递减.

综上所述，当④0时,/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,4w)上单调递减；当0<a<1时,/(x)在(0,1)和F,+8］上单调递

增，在［12］上单调递减；当a=1时,在(0,+8)上单调递增；当a>1时,f(x)在(0-］和(1,+<»)上单调递增，在

1)上单调递减.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论，需要根据题意求函数的极值点，再根据极值点的大小关

系分类讨论即可.属于常考题.

18.(I)见解析；(II)76

【解析】

(I)取AC的中点0,连接OB,。。，由AB=BC,AD=CD,得B,O,D三点共线,且AC_LBO,又B£>_LQ4,

再利用线面垂直的判定定理证明.

(D)设B4=x,则=Jf+4,PD=1W+7，在底面ABC。中，BD=3,在中，由余弦定理得：

22

PB=RM?+PM-2-BM-PM-cos"MB，在ADBM中，由余弦定理得

DB2=BM2+〃，-2•BM-DM-cosN〃曲，两式相加求得£"=皤，再过。作，胡，则£>/7J_

nzj

平面RIB,即点。到平面的距离，由M是灯)中点，得到“到平面丛8的距离——，然后根据与平面

2

抬6所成的角的正弦值为迪求解.

10

【详解】

(I)取AC的中点。，连接。民。。，

由=AD=CD,得8,0,。三点共线，

且ACLBO,又BQ_LE4，ACr>PA=A,

所以80,平面PAC,

所以BD工PC.

(II)设PA=x,P8=6+4,PD=y/x2+7>

在底面ABC。中，BD=3,

在△夫3中，由余弦定理得：PB2=BM2+/>2一2•BM-PM-cos"MB，

在ADBM中，由余弦定理得掰2=BM?+DM2-2-BM-DM-cos4DMB，

两式相加得：DB2+PB2=2BM2+2DM2，

过。作则OH_L平面Q4B,

3百

即点。到平面PAB的距离DH=BD-

sin60F

因为知是「。中点，所以为M到平面加？的距离力'=也叵,

24

因为BM与平面PA6所成的角的正弦值为圭叵,

10

3出

解得x=瓜-

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档

题.

【解析】

2b2c

(I)由题意可得竺=3,e=—,a2=b2+c2,解得即可求出椭圆的C的方程；

aa

(II)由已知设直线/的方程为尸A(x-2),(原0),联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根

与系数的关系求得8的坐标，再写出所在直线方程，求出”的坐标，由8尸，HF,解得y”.由方程组消去y,解

得X,”，由ZMOA<NM4O,得到xM>1，转化为关于k的不等式，求得k的范围.

【详解】

(I)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3,

2b2

所以竺=3,

a

因为椭圆离心率e为,，所以£=!，

2a2

又。2=/+/，

解得Q=2,c=l,b=8，

22

所以椭圆C的方程为土+乙=1；

43

(II)设直线/的斜率为Z(AHO),则尸Mx-2),设8(/,%)，

y=Z(x-2)

由，f)2得(以2+3卜2_]6女2%+[6左2-12=0,

43

Sk2-6Sk2-6

解得x—2,或x=,由题意得为；

4女2+34公+3

II*72k

从而“而5

由(I)知，F(1,0),设“(0,%,),

9-4k212%、

所以而BF

4二+3止+3,

因为BF工HF,所以而Hk=0,

所以妇1+*=°'解得切9-4公

12k

19-4*2

所以直线方的方程为y=—L+w

丁=山一2)20/+9

设”(/，加)，由'既史消去九解得见=可港短.

/k12k

在AM40中，ZMOA<ZMAO<^>|M4|<\MO\,

即(XM-2)2+yjVxj+%」，

2

20k+9>1

所以XMNI,即正

解得％＜一亚，或kN近.

44

(

所以直线/的斜率的取值范围为-8,-,+oo.

7

【点睛】

本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程,

属于难题.

20.（1）见解析（2）—i—

7

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证得成立；（2）通过已知条件求

出各边长度,建系如图所示，求出平面PDB的法向量，根据线面角公式代入坐标求得结果.

试题解析：（1）证明：取PD的中点N,连接AN,MN,则MN//C£>,MN=！C。，

2

又ABUCD,AB，CD,所以MN//AB,MN=AB,则四边形A8MN为平行四边形，所以AN//BM,

2

又平面PCD,

二4V_L平面PCD,

：.AN1PD,ANLCD.

由ED=E4即及N为PO的中点，可得AE4Z）为等边三角形，

AZPDA=60°，

又NE£>C=150°，，NCD4=90°，

二CD1平面PAD,CDu平面ABCD,

二平面BAZ），平面ABCD.

（2）解：

ABI/CD,：./PCD为直线PC与AB所成的角，

PD1

由（D可得ZPOC=90°,，tan/PCO=而=5,CD=2P£>,

设PD=1,则。=2,%=4。=46=1,

取A。的中点。，连接P。，过。作AB的平行线，

可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则小g,0,0),4g,1l,0,cf-1,2,0

2,小。书

3〕

4…4/

1.

所以方=(1,1,0),而=,叫T。，

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.、n-DB^Q”+y=°

设为=(x,y,2)为平面依。的法向量，贝！H一，即｛]百，

n-PB=0-x+y--z=0