高考数学一轮复习 讲义函数y=Asin(ωxφ) 教师

课题：函数知识点：一、求三角函数解析式1．函数的有关概念振幅周期频率相位初相（A>0，ω>0）AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)eq\a\vs4\al(ωx＋φ)φ2．用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)eq\a\vs4\al(0)eq\f(π,2)eq\a\vs4\al(π)eq\f(3π,2)2π0A0－A03．由函数y＝sinx的图象变换得到（A>0，ω>0）的图象的两种方法（3）由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．（4）利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（），便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍（），便得．二、三角函数图象的变换1．函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像;把函数向右平移个单位，得到函数的图像;把函数向上平移个单位，得到函数的图像;把函数向下平移个单位，得到函数的图像．伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像．2．由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．方法一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（），便得的图象．方法二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（），再沿轴向左（）或向右（）平移个单位，便得的图象．注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．三、函数的图像与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是．（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有．（4）的最小正周期都是．【注1】1．根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：（1）的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝eq\f(最高点－最低点,2)；（2）的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝eq\f(最高点＋最低点,2)；（3）的确定：结合图象，先求出周期，然后由（）来确定；（4）求，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时已知）或代入图像与直线的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为（即令，）确定．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可．2．注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期．【注2】1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2．图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3．解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移（伸缩）的大小，避免出现错误．4．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．【注3】1．求形如或（其中A≠0，）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“（）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与（），（）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．2．如何确定函数当时函数的单调性对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内．3．求函数（或，或）的单调区间的步骤：（1）将化为正．（2）将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．典型例题例1已知的部分图象如图所示，则的表达式为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图可知，，所以，所以，又当，即，所以，即，当时，，故答案为：B．例2将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的图象关于直线对称，则（）A． B． C．0 D．【答案】D【解析】由已知，的图象关于直线对称，则，又，所以，所以，所以．故答案为：D．例3要得到的图象，只需要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】【解答】又所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像故答案为：A例4把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数向右平移个单位长度得到，纵坐标不变，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到，所以，故答案为：A．例5（多选）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度D．横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平行移动个单位长度【答案】BD【解析】要想得到的图象，图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍，故排除AC；图象上所有点先向左平移个单位长度，得到，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍，得到，B符合题意；的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍，变为，再把所得各点向左平行移动个单位长度，得到，D符合题意．故答案为：BD例6函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中错误的是（）A．的一个周期为 B．的图象关于对称C．是的一个零点 D．在上单调递减【答案】D【解析】因为函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故A正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故B正确；由，得，是的一个零点，故C正确；当时，，在上单调递增，故D错误，故选D。例7将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到函数的图像，已知分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，可得的图象；再向左平移个单位，得到函数的图象．已知分别在，处取得最大值和最小值，

，

．则，故当时，取得最小值为，故选B。例8已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是②函数在区间上是减函数③函数的图像关于点对称④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】①因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．②当时，，y=sinx在上不是单调函数，结论错误．③因为f（）＝0，则函数f（x）图象的一个对称中心为结论正确．④函数f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到．结论错误．故正确结论有①③，故选B．例9将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】向右平移个单位长度得：横坐标扩大到原来的倍得：本题正确选项A。例10将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象；∵所得图象关于轴对称，∴，．∵，即，．∴，,则当取最小值时，取，可得，∴函数的解析式为．故选C。例11要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【解析】要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可，即．故答案为：D．例12函数的图象可以由函数的图象（）A．向右平移单位得到 B．向左平移单位得到C．向右平移单位得到 D．向左平移单位得到【答案】D【解析】因为，，所以函数向左平移单位得到函数的图像，故答案为：D例13已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．在上单调递减D．直线为图象的一条对称轴【答案】C【解析】由题意得，，则，而，即，解得，∵，∴，∴，A符合题意；函数的图象向右平移个单位长度后，得到，该函数图象关于原点对称，B符合题意；∵，∴，则在上先增后减，C不符合题意；∵，∴直线为图象的一条对称轴，D符合题意．故答案为：C．例14将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数为偶函数，则，解得，，则当时，取最小值．故答案为：A．例15已知奇函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】A【解析】因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，则，则，令，解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A符合题意，B不符合题意；令，解得，当时，，时，，C不符合题意，D不符合题意．故答案为：A．例16已知函数的部分图象如图所示，则．【答案】2【解析】由题意，过和，故，因为，故，故，根据图示是正半轴的第一个零点，故有，故解得故答案为：2例17已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间，若当时，求的值域．【答案】见解析【解析】（1）解：由图象可知：，解得，又由于，可得，所以，由图象知，又因为，所以，所以．（2）解：依题可得，解得，所以的单调递增区间，因为，令，则，，即的值域为．例18已知函数（其中，）的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间．【答案】见解析【解析】（1）解：根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．再根据五点法作图，，∴，∴（2）解：若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，对于函数，令，求得，可得的增区间为，．结合，可得增区间为举一反三1．函数的图象如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可知：，所以，故，又，可求得，，由可得．故选：C．2．已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为的最小正周期为，所以．将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．故答案为：A．3．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（）A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到【答案】D【解析】由图可知，，则，所以．由，，得，所以．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D符合题意．故答案为：D4．函数的部分图象如图，的最小正零点是，要得到函数的图象，可将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】【解答】由图象可得，点的图象上，所以，因为，所以，所以，将函数的图象向左平移个单位可得的图象．故答案为：B．5．函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，．将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为．6．（多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象的周期为B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在区间[－，]上的最大值为2D．直线与）图像所有交点的横坐标之和为【答案】AC【解析】依题意，，得，A符合题意；，，则，当时，取最小值，则，得，即，当时，，B不符合题意；当[－，]，则，则，C符合题意；，则，设直线与）图像所有交点的横坐标为，则，解得，D不符合题意；故答案为：AC．7．（多选）已知函数的图象如下图所示，下列说法正确的是（）A．的解折式为B．函数的图象关于点中心对称C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的新函数为奇函数D．函数图象的对称轴方程是【答案】ACD【解析】对于A，由图象知：，，解得：；，，解得：，又，，，A符合题意；对于B，由图象可知：是的一条对称轴，B不符合题意；对于C，向右平移个单位长度得：，，所得函数为奇函数，C符合题意；对于D，令，解得：，的对称轴为，D符合题意．故答案为：ACD．8．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】根据已知函数其中，的图象过点，，可得，，解得：．再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B。9．将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（）A．函数在区间上为增函数B．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上的最大值为【答案】A【解析】由函数f（x）＝2sinx的图象先向左平移个单位，可得y＝2sin（x）的图象；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝g（x）＝2sin（x）的图象。时，x，此时g（x）＝2sin（x）是单调递增的，故A正确；函数的图象向右平移个单位后得到y＝2sin（x）不是奇函数，不满足关于原点对称，故B错误；将x=代入函数解析式中，得到2sin（）=2sin=；故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；当时，x，最大值为，故D错误；故选A。10．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x）]＝故选B。11．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】向右平移个单位长度得：所有点横坐标变为原来倍得：，本题选B。12．若函数，将函数的图像向左平移（）个单位后关于轴对称．A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位后得到函数，此时可得函数图像关于轴对称，故选A。13．（多选）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（）A．最小正周期为B．在区间上的最大值为C．图像的一个对称中心为D．图像的一条对称轴为直线【答案】AD【解析】的图像向左平移个单位长度得函数，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，其最小正周期为，A选项正确；由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；故答案为：AD．14．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为．【答案】【解析】由图象可知，，，，三角函数的解析式是函数的图象过，，把点的坐标代入三角函数的解析式，，又，，三角函数的解析式是．故答案为：．15．已知函数的最大值为1．（1）求函数的周期与单调递增区间；（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值，最小值．课后练习1．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），．故答案为：D．

2．为了得到函数的图像，只需把余弦曲线上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【答案】B【解析】，最小正周期变为原来的，所以横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．A，C，D不符合题意．故答案为：B．3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【解析】由于把函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故为了得到函数的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可。故答案为：D．

4．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】，则将函数函数图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象．故答案为：D．5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递增【答案】C【解析】由图象可得：A=2，最小正周期为，所以，又又，所以，所以．对于A，，所以是f（x）的一个对称中心，A正确，不符合题意；对于B，，B正确，不符合题意；对于C，，C错误，符合题意；对于D，令，解得：，令，所以D正确，不符合题意．故答案为：C．6．先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象的一条对称轴为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数为偶函数【答案】D【解析】先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，故。函数的最小正周期为，故A错误；将代入函数中，得到，故不是函数的一条对称轴，故B错误；由于，故不是函数的一个对称中心，故C错误；，是偶函数，D正确。7．将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位长度得到，令时，，即，则，当时，，故答案为D。8．将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象；再将所得图象向右平移个单位后，可得的图象．因为所得到的图象关于原点对称，所以，，即，则令，可得的最小值为，故选B。9．将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变