新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第1讲空间几何体核心考点2空间几何体的表面积与体积教师用书

核心考点2空间几何体的表面积与体积核心知识·精归纳1.旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2.空间几何体的体积公式V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径)．多维题组·明技法角度1：空间几何体的表面积和侧面积1.(2023·大观区校级三模)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径AB＝12cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝4cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是(C)A．(144＋12eq\r(13))π B．(144＋24eq\r(13))πC．(108＋12eq\r(13))π D．(108＋24eq\r(13))π【解析】由题意可得圆锥体的母线长为l＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，所以圆锥体的侧面积为eq\f(1,2)·12π·2eq\r(13)＝12eq\r(13)π，圆柱体的侧面积为12π×6＝72π，圆柱的底面面积为π×62＝36π，所以此陀螺的表面积为12eq\r(13)π＋72π＋36π＝(108＋12eq\r(13))π(cm2)．故选C.2.(2023·黄浦区校级三模)已知正方形ABCD的边长是1，将△ABC沿对角线AC折到△AB′C的位置，使(折叠后)A、B′、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为1＋eq\f(\r(3),2).【解析】根据题意，正方形ABCD中，设AC与BD交于点O，在翻转过程中，当B′O⊥面ACD时，四棱锥B′－ACD的高最大，此时四棱锥B′－ACD的体积最大，若B′O⊥面ACD，由于OA＝OB′＝OC，则B′D＝B′A＝B′C＝1，则△DB′C△DB′A都是边长为1的等边三角形，S△DB′A＝S△DB′C＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，△ADC中，AD＝DC＝1且AD⊥DC，则S△ADC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，同理：S△AB′C＝S△ABC＝S△ADC＝eq\f(1,2)，此时，三棱锥的表面积S＝S△DB′A＋S△DB′C＋S△ADC＋S△AB′C＝1＋eq\f(\r(3),2).角度2：空间几何体的体积3.(2023·福州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，则将菱形ABCD以其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为(B)A．2π B．6πC．4eq\r(3)π D．8π【解析】根据题意，旋转一周所形成的几何体如图，该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一个与上部分相同的圆锥，其体积等于中间圆柱的体积，且中间圆柱的高h＝DC＝2，底面圆的半径r＝BCsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故要求几何体的体积V＝πr2h＝6π.故选B.4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点，则多面体A1C1－AEFC的体积为eq\f(5,3).【解析】多面体A1C1－AEFC的体积等于三棱柱ABC－A1B1C1的体积与三棱台EBF－A1B1C1的体积之差，其中三棱柱ABC－A1B1C1的体积为eq\f(1,2)×2×2×2＝4，三棱台EBF－A1B1C1的体积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×2×2＋\r(\f(1,2)×1×1×\f(1,2)×2×2)))×2×eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，所以多面体A1C1－AEFC的体积为4－eq\f(7,3)＝eq\f(5,3).方法技巧·精提炼1.求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据常见柱、锥、台体等规则几何体的体积公式计算；(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积必等；(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为可计算体积的几何体．加固训练·促提高1.(2023·平罗县校级模拟)已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为eq\f(2,3)π，则该圆锥的侧面积为(C)A．π B．2πC．3π D．4π【解析】底面圆周长为2π，母线长为eq\f(2π,\f(2π,3))＝3，所以侧面积为eq\f(1,2)×2π×3＝3π.故选C.2.(2023·普陀区校级模拟)如图，在正四棱锥P－ABCD中，AP＝AB＝4，则正四棱锥的体积为eq\f(32\r(2),3).【解析】连接AC与BD交于O，则O是正方形ABCD的中心，∴PO⊥平面ABCD，∵AB＝4，∴AO＝2eq\r(2)，∵PA＝4，∴PO＝eq\r(16－8)＝2eq\r(2)，∴正四棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PO＝eq\f(1,3)×16×2eq\r(2)＝eq\f(32\r(2),3).故答案为eq\f(32\r(2),3).3.(2023·琼山区四模)三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥体积的最大值为eq\f(2,3).【解析】如图所示，因为AC⊥平面BCD，即AC为三棱锥A－BCD的高，设为x，又因为BC⊂平面BCD，所以AC⊥BC，在直角△ABC中，由AB＝3，AC＝x，可得BC＝eq\r(9－x2)，因为BD⊥CD，且BD＝1，可得CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(8－x2)，所以三棱锥A－BCD的体积为V＝eq\f(1,3)S△BCD·AC＝eq\f(1,3)×