电路分析基础课件第6章-二阶电路分析

二阶电路：由二阶微分方程描述的电路。分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程(二阶)，并利用初始条件求解得到电路的响应。它是一阶电路的推广。本章主要讨论含两个(独立)动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。

为了得到图示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程代元件VCR得：6－1

RLC串联电路的零输入响应

这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，令uS(t)=0，得二阶齐次微分方程其特征方程为由此解得特征根特征根称为电路的固有频率。当电路元件参数R,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：1时，s1,s2为不相等的负实根。3时，s1,s2

为相等的负实根。2时，s1,s2

为共轭复数根。1.当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；2.当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；3.当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。以下分别讨论这三种情况。

一、过阻尼情况电路的固有频率s1,s2不相同的实数，齐次微分方程的解为：式中的常数A1，A2由初始条件确定。令上式中的t=0+得对uC(t)求导，再令t=0+得联立求解，可得:将A1，A2代入vC(t)得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。当uC(0+)=U0,iL(0+)=

0时t>0例1

已知R=3

,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零输入响应。则：解：由R,L,C的值，计算出固有频率利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4，最后得到电容电压的零输入响应为它们的波形曲线如下图所示。

过阻尼情况uC20tiL10t从波形可看出，在t>0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。二、临界情况固有频率s1,s2相同的实数s1=s2=-

。齐次解式中常数K1,K2由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定。令t=0+得到对uC(t)求导，再令t=0+,得到联立求解以上两个方程，可以得到代入vC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。当uC(0+)=U0,iL(0+)=

0时例2

已知R=1

,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应。解：固有频率利用初始值，得则：求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应.得到电感电流的零输入响应波形曲线如图所示。临界阻尼情况uC-10tiL0t

三、欠阻尼情况固有频率s1,s2为两个共轭复数根，即：其中三者组成一个直角三角形。齐次微分方程的解为：(用欧拉公式)式中由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应。例3

已知R=6

,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。则得：利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:解：固有频率：解得K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应(a)衰减系数

=3的电容电压波形(b)

=3的电感波形(c)

=0.5的电容电压的波形（d)

=0.5的电感电流的波形下图为欠阻尼情况可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。例4已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。解：固有频率:则：利用初始条件得：解得：K1=3和K2=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应

从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90

，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。

综上所述，RLC二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：1.过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，响应按指数规律衰减。2.临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，响应按指数规律衰减。3.欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数

越大，衰减越快。衰减振荡的角频率

d

越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke-

t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，

=0，振幅不再衰减，形成角频率为

0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的。

直流激励的RLC串联电路，当uS(t)=US时，可以利用初始条件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0来求解以下非齐次微分方程,从而得到全响应6－2RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应

全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成电路的固有频率为当s1

s2时，对应齐次微分方程的通解为特解为全响应为利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数K1和K2后，就可得到电容电压的全响应，再利用KCL和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。类似地，当s1=s2时，全响应为求两个待定系数的方法也类似：类似地，根据元件的VCR或KVL计算其它响应。

类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为求两个待定系数的方法也类似：类似地，根据元件的VCR或KVL计算其它响应。

例5

已知R=6

,L=1H,C=0.04F,uS(t)=

(t)V。求t>0时电容电压的零状态响应。(单位阶跃响应)解：t>0时，

(t)=1V，可以作为直流激励处理。固有频率固有频率为共轭复根,可以得到利用初始值uC(0+)=0和iL(0+)=0,得:解得：K1＝-1和K2＝-0.75，得到电容电压的零状态响应波形如图(a)(b)：当电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变为0.5时，波形如图(c)和(d)。6－3GCL并联电路分析

与RLC串联电路对偶：

得二阶微分方程其特征方程为解得特征根同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：1，时，s1,s2为不等的实根。2，时，s1,s2为相等的实根。3，时，s1,s2为共轭复数根。

当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。这三种情况响应的计算方法和公式与RLC串联电路完全对偶。

6－4一般二阶电路分析

除了RLC串联