新教材同步辅导2023年高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值分层演练新人教A版选择性必修第三册

7.3.1离散型随机变量的均值A级基础巩固1.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)为()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22解析:X的可能取值为0,1,2.因为P(X=0)=0.1×0.15=0.015,P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,P(X=2)=0.9×0.85=0.765,所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.答案:B2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个完全相同的小球,若从中任取2个,则取出球的最大编号X的均值为()A.13B.23C.2 D.8解析:X的可能取值为2,3.因为P(X=2)=13,P(X=3)=2所以E(X)=2×13+3×23=答案:D3.如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的均值为3,那么2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),2(a4-3),2(a5-3),2(a6-3)的均值是()A.0 B.3 C.6 D.12解析:由E(aX+b)=aE(X)+b,可知所求均值是2×3-6=0.答案:A4.(2021·新高考全国Ⅱ卷)一种微生物可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数相互独立且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).解:由题意,p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.5.(2022·北京卷)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X).解:用频率估计概率,则在校运动会铅球比赛中,甲获得优秀奖的概率为410=25,乙获得优秀奖的概率为36=12,丙获得优秀奖的概率为X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=35×12×12P(X=1)=25×12×12+35×12×12+35×1P(X=2)=25×12×12+25×12×12+35P(X=3)=25×12×12=2所以E(X)=0×320+1×25+2×720+3×1B级能力提升6.设口袋中有质地均匀的黑球和白球共7个,从中任取2个球(白球个数多于2个,黑球个数多于2个),若取到白球个数的均值为67,则口袋中白球的个数为(A.3B.4C.5 D.2解析:设白球有x个(2<x<5),则黑球有(7-x)个.设取出的2个球中所含白球个数为X,则X的可能取值为0,1,2.因为P(X=0)=C7-xP(X=1)=Cx1CP(X=2)=Cx2C所以0×(7-x)(6-x)42+1解得x=3,即口袋中有3个白球.答案:A7.多空题(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=1635,E(ξ)=12解析:根据题意可得ξ的取值可为1,2,3,4,所以P(ξ=1)=C62CP(ξ=2)=C21·P(ξ=3)=C32CP(ξ=4)=C22C所以E(ξ)=1×37+2×1635+3×335+4×18.(2021·新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每名参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?请说明理由.解:(1)由题可知,X的所有可能取值为0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知,E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100.P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.C级挑战创新9.(2023·新高考全国Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率.(2)求第i次投篮的人是甲的概率.(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E∑ni=1Xi=∑ni=1qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(解:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.(2)设P(Ai)=pi,由题意得P(Bi)=1-pi,则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)·P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.构造等比数列{pi+λ},设pi+1+λ=25(pi+λ解得λ=-13则pi+1-13=2