新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时空间中的夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时空间中的夹角问题学习目标素养要求1.理解线线、线面、面面夹角的向量表示直观想象、抽象数学2.会用向量方法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角直观想象、数学运算|自学导引|

空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝____________＝__________________|cos〈a，b〉|

角的分类向量求法范围直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝____________＝__________________二面角设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝_____________＝__________________|cos〈a，n〉|

|cos〈n1，n2〉|

[0，π]

1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.(

)(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角． (

)(3)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2则θ＝〈n1，n2〉． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【预习自测】【答案】A3．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为 (

)A．45° B．135°C．45°或135° D．90°【答案】C|课堂互动|题型1异面直线所成的角

(2)(2023年通化检测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，∠ACB＝90°，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________.(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系；②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．1．如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB＝4，求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．题型2直线与平面所成的角如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°．(1)求证：AP⊥PC；(2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB与平面PCD所成角的正弦值．(1)证明：因为平面PAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AP．又因为AP⊥PB，且PB∩BC＝B，故AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC．图1

图2

利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．3．如图，已知四棱锥S－ABCD，SD＝SB，在平行四边形ABCD中，AD＝CD，Q为SC上的点，过AQ的平面分别交SB，SD于点E，F，且BD∥平面AEQF．(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AD＝CD，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为BD∥平面AEQF，平面AEQF∩平面SBD＝EF，BD⊂平面SBD，所以BD∥EF．因为BD⊥AC，所以EF⊥AC．图1图2

审题指导：(1)要证明DE⊥平面ACD，需要证明DE与平面ACD内两条相交直线垂直，其中DE⊥DC较明显，由平面ABC⊥平面BCDE，且AC⊥BC，证得AC⊥平面BCDE，从而DE⊥AC．(2)要求二面角B－AD－E的大小，可先以D为原点建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式计算二面角的大小．【题后悟道】1．利用条件建立空间直角坐标系充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系，使几何体的顶点尽量多地落在坐标轴上，建系或在求点的坐标时用到的位置关系和数量关系要进行必要的说明，如本例中，AC⊥平面BCDE，不仅用于证明AC⊥DE，还为求点A的坐标提供依据．|素养达成|2．向量法求直线与平面所成角的原理1．(题型2)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 (

)A．120° B．60°C．30° D．以上均错【答案】C【解析】由直线与平面所成的角的范围及与向量所成角的关系知直线l与平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°．2．(题型3)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为

(

)A．45° B．135°C．9