专题5.5 三角恒等变换1（重点题型解题技巧）（解析版）2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

第第页专题5.5三角恒等变换1（重点题型解题技巧）【题型1三角函数和差、半角正余弦公式】【题型2三角函数非特殊角选择问题】【题型3已知值求值问题】【题型4辅助角公式的基础知识及妙用】题型1三角函数和差、半角正余弦公式三角函数和差、半角正余弦公式技巧总结①两角和与差的正弦公式口诀：正余余正，符号相同故：②两角和与差的余弦公式口诀：余余正正，符号相反③； ③二倍角公式①；②； ③；④降次（幂）公式⑤半角公式形如1、化简的值为（）A． B． C． D．解：（方法一），（方法二），故选：C．形如2、（）．A． B． C． D．解：由两角差的余弦函数，可得，故选．形如3、（）．A． B． C． D．解：根据余弦的和角公式有．故选：A.1．计算的值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】.故选：C．2．若，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦的差角公式得到，再根据条件即可求出结果.【详解】因为，又，所以，故选：D.3．已知锐角，满足，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、，由利用余弦的两角差的展开式计算可得答案.【详解】因为为锐角，所以，因为，为锐角，所以，所以，.故选：B.4．已知，均为锐角，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方和关系求出、的值，再根据两角和的余弦公式求出的值，即可得答案.【详解】解：易知，，所以，又因为，，所以，即.故选：C.5．下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】，所以A正确；，所以B正确；，所以C错误；，所以D错误．故选：AB．6．下列式子的运算结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判断选项.【详解】对于A，，不符合题意；对于B，，符合题意；对于C，，不符合题意；对于D，，符合题意．故选:BD．7．已知角A，B是△ABC的内角，且，，则．【答案】或【分析】先根据已知条件得到角A，B的正弦值和余弦值，然后直接由两角和的余弦公式即可求出结果.【详解】因为角A是△ABC的内角，，所以，，因为角B是△ABC的内角，，所以，当时，；当时，；故答案为：或.8．已知，则.【答案】【分析】根据和差公式和同角三角函数基本关系计算即可.【详解】因为，所以，.故答案为：-1.9．利用特殊角的三角函数值计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）（5）直接使用和差公式化简求值即可；（2）（3）（6）先使用和差公式或二倍角公式化简，再结合诱导公式即可求解；（4）先用诱导公式转化成和差公式形式，再有和差公式求解即可.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）原式..（5）.（6）.10．求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的余弦公式即可求解；（2）逆用两角差的余弦公式即可求解.【详解】（1）.（2）.题型2三角函数非特殊角选择问题三角函数非特殊角选择问题技巧总结记住常见数据： 形如1、（）．A． B． C． D．解：原式所以原式一定为正的，排除BD而故答案为C形如2、的值为（）A． B． C． D．解：原式所以原式一定为正的，排除BD而故答案为A形如3、（）A． B． C． D．解：原式而故答案为A形如4、已知为锐角，，则（）A． B． C． D．解：∴故一定为负的故排除BD故答案为C1．计算（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.【详解】.故选：D．2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：故选：C3．已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】由诱导公式可知点即为，，由三角函数定义可知，平方利用两角和的正弦计算可得结果.【详解】解：角的终边经过点，即，由三角函数的定义可得，，所以．故选：．4．计算：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将拆成，用两角和的正弦计算即可.【详解】解：.故选：D.5．的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后利用两角和的正弦公式即可求解.【详解】解：.故选：D.6．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接根据利用两角差的正弦公式计算可得；【详解】解：∵，∴．故选：C【点睛】本题考查两差的正弦公式的应用，属于基础题.7．的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式计算即可.【详解】,,故选：B【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.8．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可利用诱导公式，考虑加上，再结合正弦的和角公式运算即可【详解】，故选：C.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，属于基础题9．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角和的正弦公式,将化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得.【详解】法一：.法二：故选:.【点睛】本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.10．的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】将1变为，再利用正切的两角差的公式计算即可.【详解】.故选：B.题型3已知值求值问题基础工具：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式及倍角公式求解.【详解】，故选：B2．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式化简为，再利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系，化为齐次式，结合齐次式法求值，即可得答案.【详解】由题意知，故，故选：D3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦的和差角公式，结合正弦二倍角公式即可求解.【详解】，即，两边平方得，所以，故选:A.4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式以及二倍角公式对已知三角函数值进行三角恒等变换从而得出结论.【详解】因为,所以有，则.故选:D.5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据正切的两角差公式求，然后利用二倍角公式和平方关系将所求化为齐次式，利用可求.【详解】由，有，解得，则．故选：C．6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用换元法，结合诱导公式及二倍角公式，即可求得本题答案.【详解】设，则，.故选：C7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简可得，再根据求解即可.【详解】由题意，即，即.故.故选：A8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所求角用已知角表示，再根据诱导公式及二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由，得.故选：B.9．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角正切公式求得，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答案.【详解】由得，，而，故，故选：B10．设为锐角，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角的变换表示，再利用两角差的正弦公式，即可求解.【详解】因为，，且，所以,,.故选：B11．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用降幂公式及诱导公式即可.【详解】因为，所以.故选：B.12．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据结合二倍角的余弦公式计算即可.【详解】.故选：D.题型4辅助角公式的基础知识及妙用三角函数辅助角公式技巧总结形如：第一步：第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号.第三步：的求算，只需在第一象限标明点寻找夹角即可达到秒杀的境界.注意：若果，则需提负号，继续遵循以上步骤形如1、若，那么（）A． B． C． D．解：第一步：第二步：坐标为则∴∴第三步：设∴∴故选D形如2、已知为锐角，，则（）A． B． C． D．解:第一步：第二步：坐标为则∴∴第三步：所以．故选：C．形如3、对于函数，给出下列选项其中正确的是（）A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期为C．函数在区间上单调递增 D．函数有最大值，没有最小值解：第一步：第二步：坐标为则∴第三步：对称中心：峰值，故错周期：故错 单调性：峰值根据正弦走势为递增，故正确 最值：存在最大值与最小值1．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式求出a，根据辅助角公式求出b，根据两角和的正切公式求出c，结合三角函数的性质即可求解.【详解】因为，，，又，所以．故选：A.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由，得，即，所以.故选：A3．已知，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两角和与差的余弦公式以及辅助角公式即可得到答案.【详解】.故选：B.4．的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知，化简可得，即可得出答案.【详解】.故选：B.5．计算的值是（

）A． B．2C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用辅助角公式变形求解作答.【详解】.故选：C6．已知，则．【答案】/0.875【分析】应用辅助角公式得，令，解出，则，结合二倍角公式即可求.【详解】由，得，即，令，则，，所以故答案为：.7．将下列各式化成的形式，其中，，．（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】利用辅助角公式化简可得答案.【详解】故答案为：，，8．关于x的方程有解，则实数k的取值范围是．【答案】【分析】等价于方程有解，求出函数的值域即得解.【详解】解：由题得方程有解，所以方程有解，因为函数的值域为.所以实数k的取值范围是.故答案为：9．化简以下式子：(1)；(2)；(