新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质章末素养提升课件新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质章末素养提升|体系构建||核心归纳|1．函数的传统定义与近代定义辨析初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：[不同点]

传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．[相同点]

两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．2．函数三种表示方法的优缺点三种表示法的特点(优缺点)比较如下：解析法优点(1)简明、全面地概括了变量间的关系；(2)可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值缺点不够形象、直观，且有些实际问题的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式图象法优点(1)直观、形象地反映出函数关系变化的趋势；(2)便于通过图象研究函数的性质缺点只能近似地得到自变量对应的函数值，有时误差较大列表法优点查询方便，不需计算便可直接得出自变量对应的函数值缺点(1)只能表示有限个数的函数关系；(2)数较多时使用不方便3．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法．①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．4．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，则f(x)＋g(x)为增(减)函数．(2)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(4)f(x)为奇函数

f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数

f(x)的图象关于y轴对称．(5)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(6)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0．存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0．(7)f(x)＋f(－x)＝0

f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0

f(x)为偶函数．|素养提升|1．分段函数在实际中的应用对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y以及x在不同范围上对应的y的不同关系，然后用x表示y，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．1．在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数的图象与x轴、直线x＝－1及x＝t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S，则S关于t的函数图象为

(

)【答案】B2．复合函数单调性的判断复合函数f(g(x))的单调性可简记为“同增异减”，即函数g(x)与函数f(x)的单调性相同时，y＝f(g(x))是递增的；单调性相反时，y＝f(g(x))是递减的．【名师点评】

复合函数单调性的判断方法：(1)利用“同增异减”判断；(2)复合函数y＝f(g(x))的单调区间必须在定义域内，并且要确定函数g(x)的值域，否则就无法确定f(g(x))的单调性(特别是当f(g(x))的单调区间是由几个区间组成时)．3．与幂函数有关的简单不等式问题与幂函数有关的不等式是形如(f(x))α＞(g(x))α的不等式，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性将其转化为关于x的不等式组来求解．|思想方法|(一)分类与整合思想思想方法解读：分类与整合思想应用非常广泛，例如，求解含参的二次函数某区间的最值时，一般需要对抛物线的对称轴进行讨论，分段函数问题要分段处理．求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a．(1)当a＜0时，由图1可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a．(2)当0≤a＜1时，由图2可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a．(3)当1≤a≤2时，由图3可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1．(4)当a＞2时，由图4可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1．1．(2023年北京门头沟区期末)已知二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋4．(1)若a＝2，求f(x)在[－2，3]上的最值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上单调单减，求实数a的取值范围；(3)若x∈[1，2]，求函数f(x)的最小值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2x＋4，x∈[－2，3]，因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝1－2＋4＝3，当x＝－2时，f(x)取得最大值为f(－2)＝22＋4＋4＝12．(2)二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋4的对称轴为x＝a－1，f(x)在区间(－∞，2]单调递减，则a－1≥2，解得a≥3．所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．(3)二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋4的对称轴为x＝a－1，当a－1≤1，则a≤2，此时f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1－2(a－1)＋4＝7－2a．当1＜a－1＜2，则2＜a＜3，此时f(x)在[1，a－1]上单调递减，在[a－1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(a－1)＝(a－1)2－2(a－1)2＋4＝－a2＋2a＋3．(二)数形结合思想思想方法解读：在画函数的图象时，借助函数的性质会更为简便，如借助于奇偶性可以画出图象，也可以利用函数的图象研究函数的性质．解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x．又因为当x＜0时，f(x)＝x2＋mx，对任意x＜0，总有x2＋2x＝x2＋mx，故m＝2．(3)由图象可知f(x)的图象在区间[－2，2]上的最高点是(1，f(1))，最低点是(－1，f(－1))．又因为f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，所以f(x)在区间[－2，2]上的最大值是1，最小值是－1．【答案】2

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8)．观察图象可得函数f(x)的表达式为f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B(1，2)，所以f(x)的最小值是2．(三)转化与化归思想思想方法解读：求函数的定义域需转化为解不等式(组)问题，判断函数的单调性可化归为比较函数值大小的问题，等等，转化与化归思想在本章中无处不在．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x＞0时，f(x)＞－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4．解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．证明如下：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1．又因为f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以f(x)在R上是增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4，得f(x2＋x＋1)＞f(3)．又因为f(x)在R上是增函数，所以x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1．故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．(2)由(1)知f(x)为R上的增函数．因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，解得m≤4．所以实数m的取值范围为(－∞，4]．|链接高考|【答案】(－∞，0)∪(0，1]

函数的概念与表示【点评】函数定义域是研究函数的基础依据，求函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)求交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．【答案】C

函数的性质【点评】本题是抽象函数奇偶性的应用，属于中档题．

(2021年北京)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“f(x)在区间[0，1]上单调递增”是“f(x)在区间[0，1]上的最大值为f(1)”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【答案】A

【点评】本题考查利用函数单调性研究函数的最值以及充分、必要条件的判断，属于基础题．

(2020年山东新高考)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 (

)A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪