湖南2025届新高考教学教研联盟（长郡二十校）高三第二次预热演练数学试题（含答案）

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2025届新高考教学教研联盟高三第二次预热演练

数学试卷

由长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一

中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一

中；娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；宁乡市一中；浏阳市一中.联合命

题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.函数=mx4-1,若存在Ke(0,+x),使20有解，则〃।的取值范围为()

A.(8,1]B.r,2]C.1.bxiD.2,4-x\

2n-98

2.已知数歹！]{q}中，a=一—，则S=q+a,+…+o„+%=()

n2〃-99

A.96B.97C.98D.99

3.已知为虚数单位，复数二=二3二+2i，则以下命题为真命题的是()

2-i

74i

A.二的共轨复数为《一可

B.二的虚部为

5

c.|z|=3

D.z在复平面内对应的点在第一象限

4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角

坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点"IK,H是阴影部分（包括边界）的动点，则v

X-

的最小值为（）

4

D.-1

3

5.某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维

权投诉.平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助.据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投

1349

诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为，和，且对应维权成功的概率分别为选择其他方式维

MVJIxz

权且成功的概率为则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（）

IUU

62724

A.—B.—CD

25H)55

6.已知E为平行四边形的边CO的中点，以B.E为焦点的椭圆「：0+[=1（。>b>0）过点儿D

cT/）■

，且85•Bl=1BEI：-"-，则椭圆「的离心率为（）

16

I1>/276

A.B.C.D.'

3223

7.锐角A.48c中，角L8（对边分别为八6“、S为A.4BC的面积，且<J=2S+S—c『，则

2sin:BtsinC,、

--------------的取值氾围为（）

sinBsinC

(4359)

A.■D.[2万.+工I

1515

8.已知函数=+a"'|a>0），贝广">1”是"/（W的最大值大于2”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微事实上，很多代数问题都可以转换

为几何问题加以解决，如：对于形如J(x-a)：+(丁bf的代数式,可以转化为平面上点例|黑田与

N(a,b]的距离加以考虑.结合以上观点，对于函数/(”=J-+4+0,下列说法正确的是

()

A../J.VI的图象是轴对称图形

是单调函数

c./i.vi的值域为卜a.+8)

D.方程/(/(x))=2+2途无实数解

10.在锐角48c中，内角的对边分别为0,小，若Mn5=|a+c)siM,则下列说法正确的是()

A.8=2.1

B.B的取值范围为(m，])

C「7--1+2sinB的最小值为2a

tan.4tanfi

D「”的取值范围是;!’1；

c\2)

11.在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，

我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面》轴上方的复数为正，在

K轴下方的复数为负，在X轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用[目来表示复

数的“大小”，例如：[l+2i]=君,[1-2叮=6中]=1卜3]=-2i]=火，则下列说法正确的是

()

A.Z]=1在复平面内表示一个圆

B.若：£C,则方程【力=-I无解

c.若干与为虚数，且Z1=亏,则卬+占］=0

D.复数二满足［二i］=l,则目的取值范围为［拒、21

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.12-.v,|(.v+a)'的展开式中的各项系数和为243,则该展开式中/的系数为.

13.已知a>0./>>0,<?>1,/(.V)=hx'+(a+训-2'-2,若

.I,,、、Ibe2c1

।x/|x)=O,xeR|=fi/(^|x|)=O,.r€Rj*0,则一+—+—-的最小值为_________.

anc-1

14.如图，在三棱锥S18(、中，ABC为等边三角形，".H,S5=5C,若S.』+.』8=1,则三棱锥

S48(外接球体积的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数U-2C1-ax2+lax.

(1)当“二e时，求的单调性；

(2)若函数.v|在K=1处取得极小值，求实数a的取值范围.

16.(15分)

已知椭圆C：=十二=11a>6>0)的离心率为三，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的3E与直线

X—y+yfb=0相切.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过定点51.()1斜率为人的直线与椭圆c交于MJ两点，若“炉证:2.

(i)求实数人的值；

(ii)根据要求，试求出cMOA的面积.

17.（15分）

空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”.类比空间直角坐标系，乙工不分别

为“空间斜坐标系”中三条数轴。,轴、J轴、二轴）正方向的单位向量，若向量万=♦+）：/+”,则不与

有序实数组（X」'，二I相对应，称向量方的斜坐标为卜,］1,二］,记作户=卜」,二］.如图，在平行六面体

ABCD-AB1clR中,AB=AD=\,AA］=2,481=/。彳4=E•以｛粕，而，然为

基底建立“空间斜坐标系”.

（1）若点E在平面.48CO内，且平面.48CO,求还的斜坐标；

（2）若行的斜坐标为［1,0』，求平面ID/与平面.4817）的夹角的余弦值.

18.（17分）

设数列|»>4,«€N*）,其中q=l,a“=加，若同时满足①a,』=《或q.|=q+W=l,2,…；②

对于任意i，j,都存在乂/使得。,+。，=。「。,”，八甲01，2「、”；且两两不相等,则称数列为〃数列.

（1）当时二、时，求满足条件的〃数列的个数；

（2）记$=q+%+，若m=2A（人e、I.

（i）证明：S>2i:+91+4；

（ii）在$=49的条件下，求4>4的概率.

19.（17分）

设川n>3）是给定的正整数.对于数列《吗，…，%,令集合S=［。,+%14/

（1）对于数列-2.0.1,直接写出集合S；（用列举法表示）

（2）设常数d>（）.若，…,凡是以。为首项，，/为公差的等差数列，求证：集合S的元素个数为

2/iI；

（3）若《,生，…,凡是等比数列，且4=1,公比V二2.求集合S的元素个数，并求集合S中所有元素之和.

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数学参考答案

1234567891011

ACABC

ACDCBDCA

DBD

l.A2.C3.D4.C

5.B【解析】设选择邮件投诉为事件A,维权成功为事件8,则

P|fii=-x-+—X—+—=X—=—,故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概

'25101010051010100

^527

率为=21)<=

P\B)100480

6.D【解析】如下图所示：因为E为平行四边形48C0的边C0的中点，所以

SD-fiC=(fi£+ED)-(fi£+EC)=^5E+jCD-^BE-^CD=|fl£-;所以

\AB\=\CD\=^-a,所以|0£|=?(?。|='.连接”，由椭圆的定义：

224

\AE\=2a-\AB\=2a--a=-a,\BD\=2a-\ED\=-a；设8(-c,O),则E(c,0),故忸E|=2c,

224

22

二^BDE中，

ac

在平行四边形.48(7)中，AB//CD所以/ABE+ZBED=H，所以co§NABE+cosZBED=0，

2c2-a24r-3/c_V6

则£上一二0,整理得作：二所以椭圆厂的离心率为‘二

a3

7.C【解析】由三角形面积公式可得：S=?儿sin/,故/=/>csin[+仍-c)\"Lin/=Lj^

222hc

故1-彳sin,4=cos,4,因为sin二』+cos：』=I,所以sin：d+[I-^sin/=I，解得：sin_4=§或0,

4143

因为A/8(,为锐角三角形，所以sind=0舍去，故sin4=£,cos/1=l--x-=-,由正弦定理得:

2sin咽+sin：C2h2+?2bsinCsirUcosB+coMsinB43

,其中_=_----+一

sinSsinCbebhsinBsinB5tanfl5

因为—8(,为锐角三角形所以C<1,故/+8>:，所以

22

cosA_34(一3535

B>——4,tan8>tansinJ4'5tanfi(.o,4,，令IF

■)15/5tan555,3b5,3

2(3在(0,：)上单调递增，则

则glj)=：+，为对勾函数,在《，上单调递减,

g“)mm=g(a)=%+6=26,又g(1)=+3596543旧，5943「广

3T7’因为百'百’所

515(I)5

::

,,z.592sinS+sinClbc

sinfisinC：r-e

8.A【解析】'令，=2§m、/[0,2],则.〃x)=g(r)+

故g,m=(0(-«)Ina充分性：当4>1时，lna>。，故当/€0,-时，dy("o；当

,，2时，o>'',j?'|z|>0,故g(1)在0.,单调递减，在-.2单调递增，而

fl22

g(0)=«*।>2,则,酬”的最大值必大于2,充分性成立；必要性：当。=1时，xl<1=2,则不满足最

大值大于2,当0<八1时，Ina<0,故当/€时，a1>a<0；当/e；,2时,

aY/Lg'⑺N0；故g(r)在0,；单调递减，在；.2单调递增，又g(0)=a+l<2,要使最大值大

।3,

于2,必有g(2)>2,则一+/-2>0,即a.“〉0,即/-2。+1>0,(。-1卜(/+。-1)>0,

aa

故1+a-I<0,解得0<a<,必要性不成立.综上，“。>1”是“的最大值大于2”的充

分不必要条件.

9.ACD

10.AB【解析】对A,由正弦定理角化边得/=a|a+c|,由余弦定理

ca1+C1-b1a'+c：-a|a+c|c1,fe2+c:-a1a+c)+c2-a'a+c

COSD=--=--=--------，cosJ=--=--=-

laclacla22bc2bc2b

因为J8C为锐角三角形，所以比BeO.y1,2.4,所以

.‘.2(。+c>«(ai-cY.c1

cos2.4=2eos-J-l=^^-l=i---)-l=--i，所以c°s8=cos?］，所以8=21，A正

确；对B,由上知，C=it-34,

八)九

0</<—

2

因为A18(、为锐角三角形,0<2J<-解得6<月<“所以旌B正确;

23,2

0<n-3J<-

7

对C,

11、.-cosJcosB、.口sin^cosJ-cosBsinJ.,八sin(S-J|%,人

+zsinn=----------+zsinn=♦2smn=+2s\nB

tan/ftanfi-------------s\nAs\;nB--------------------sinJsinA---------------------sin/fsinA

=SinJ+2sinB=—+2sinS2>/2,当」一=2sinB时，得sinB=巫，因为

sin/sinBs\nBsinB2

5€(y,i),sin5e*所以等号不成立，c错误；

h-a_sinfi-siivl_sin2N-sinJ_2sinJcos/l-siivl_2sirt4cosJ-siivl

对D,csin(n-3^)sin3/lsin2/coM+cos2/l§iiv!2sinJcos:J+p-2sin2J)sinJ

2sin.!cos.1-sinJ2cos.412cos.1-1I_,sf7t,JT〜川正J

-----—=、一,=二~-=-------------，因为一<<<二，所以J<co$/〈Y

3s\nA-4sin\43-4sinJ4cos\4-12cosJ+16422

所以e+i<28/+kG+]’所以肃(五卷T<卷

误.

11.BCD【解析】根据已知条件[二]=1表示模长为1,在复平面位于X轴上方的复数，所以并不是一个圆,

故A错误；若：eC,则方程[目为一个实数，所以[：]：=-I无解，故B正确；若4，4为虚数，且：：

,设：二hi,则匚=-6i,所以

[ZJ=A,[Z2]=h,所以["+上]=0,故C正确；设二二0+bi,根据复数的新定义有

[二-i]=[“+(6-1)i]=1,所以—|，且14W2,所以(「=|—(/)—1»所以闫是

yja2+b2=\j\-(b-1)2+b1=>j2b>所以J2b€[>/1,2|,故D正确；

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.48【解析】令*=1可得(2-「)(1+。)'=243,解得u…।的展开式中通项

Srr

7；+,=C；5-2,r=0,l,--,5,分别令5-r=0,5-r=3,得r=5j=：,所以一-展开式中的常数

项和含的项分别为

7；=C；/$•2$=32,7；=C；x52-22=4(*,所以(2-x')(x+。)，展开式中/的系数为

2x40-32=48.

13.8【解析】因为"/1门=0,、£R=：。〃丁|.川=0」£R=0,

则方程〃*=0与/(/|x”-0有相同的解，不妨设为x“，

/小)=0

故/(0)=0,即/»•()，+(0+26卜2。-2=0,整理得a+2b=2,

f(7k))=0

因为。>0,<)>O,c>I,所以

abc-1\ab)c-1[ah)c-\{ah)c-1

-=4(c-l)+-----+…22.J4Ic-l|-------+4=8,

c-1Vc-1

23he2c1

即。二力=不,c=7时，等号成立，所以+丁+的最小值为8.

32abc-1

14.4"三【解析】如图，取8c中点E,连接5E.JE,贝MCISE.BC1IE,

147

又SEnif>£,S£J£c平面/SE,则“1平面/SE,

因为S.4c平面/SE,则8cls4,

又3i48/8n8c=8..48.0Cc平面.48(,,

所以S.41平面，8c,

所以三棱锥S-」8c的外接球球心必在过.18C的中心01且平行于S4的直线上，

且=3.4,设48=NQ<x<11,则S.4=1-x,401=今,

设三棱锥S-/8c的外接球半径为R,则有=/0-+00：=+：,

1224

当工=；时，曦=:，故三棱锥5-ABC外接球体积的最小值为y&S=彳年.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.【解析】（1）当“=的，./f.VI=|x2）e'1ex2•lex,

则J'\.vl=।,r-l|e1-2e|,v-11=I,v-11|e1-2e）,

令./Ix）=。，解得K=1或x=2+In?.

令/'（x）<（）,解得I<x<2+ln2,所以/卬在（1,2+In2）上单调递减；

令/'（X）>0,解得\<：1或x>2+ln2,即/（X）在（-«M）,（2+ln2,+x1上单调递增.

综上，函数/(“在卜8J，1211n2.itI上单调递增，在(1,2Mn2)上单调递减.

(2)由/(.v|=(x-2)e*"+2ax求导得/'(x)=(x-ljc"1-2«(x-1)=(x-l)|e''-2u|,

①当a4o时，e'-2a>0恒成立，

令/(X)<O,解得x<l,即〃”在(-8,1)上单调递减;

令/'(x)>0,解得X>1,即/(."在上单调递增，

故。40时，函数/(H在K=I处取得极小值，符合题意；

②当0<a<1时，令.“、)=。，解得*=1.工=1-ln(2(7),且；>。，

当l+ln(2a)<x<l时，/'l.vKO,函数/\；在【I-h2’八.11上单调递减；

当时，/'(x)>0,函数/(V在(1,+8|上单调递增，

所以函数/(H在K=1处取得极小值，符合题意.

③当。=；时，令/'(x)=°,解得、=工=1,此时/'(x)NO恒成立且不恒为0,/(X)单调递增,

故函数/(皿无极值，不符合题意.

④当。>［时，令/'(x)=0,解得M=l,.q=I,ln(2a),且―，

当x<l时，/'(x)>0,函数在上单调递增；

当l<x<l+ln(2a)时，/(x)<0,函数/(x|在(l,l+ln(2a|)上单调递减，所以函数/用在、=1处

取得极大值，不符合题意.

综上，实数"的取值范围是

।22•2।4

16【解析】(1)由题意知离心率e=^=-,所以e=二即/=,方

a2a-a143

瓜

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的3E与直线+6=0相切，有力=

712+(-02

所以尸=3,则r=4,故椭圆C的方程为三+匕=1.

43

⑵⑴设直线MA的方程为「二

22

工+Jl

由彳43，消去J得(3+41)/-84:x+4k:-\2=0,显然A>0,

尸曲X-1)

8公

.皿=3+止

4A2_12,

M=3+4l

、.,(4k2-128A-.]-9k2

2

则y^v,=k(x.-l]-k(x2-\]=k[x,x2-(x,+x,+1=A------；---------+1=-

」(3+4-3+4/)3+4上

所以。V•。2=$八+vr,==_；>,

'*'u,--3+41F

.:卜=2,解得±=±VT.

16

(ii)由(i)可知，直线为1=±&\x-

hXj=n

2…『一肛与=氐楙)+、=4

所以|A/N|=J[%+(必-%/=4+k

V2R

点。到直线的距离4=

G3

ll…」八.c136\]66v6

所以「1/0\的面积S=-x——x----=------

2113II

17.【解析】（1）由题可知AE=xi+\],AAt=2k,则福=/+0-2.（提示：斜坐标的本质是将空

间中的向量用基底表示后的系数），由题可知==4E1平面ABCD,

(・

A,E*AB=0,(xi+0-2)i=-1+x=Ot__

J_____即一一.一则；二:T,则，#'的斜坐标为[1]，2].

4E•m=o,lx/+W-24)・/=-1+y=0,

（2）由题可得"二f+后函二.八“，

设平面XDF的法向量为万=p：+/+〃瓜（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值

求得法向量），

33gA

++/+〃/)=p-F—+—+—+/n=0,一P+一削+三=0.

d=O.222即.222

由_得.

c5八

,1=0,(j+24(0+qj+族)=q+三+p+q+2n1=0,2q+p-\"—m=0,

2

取"i=10,可得p==-9,

即1=-7：-91+10“

贝=mF=(-77一9j+10Q2=49+81+100-70-90=70.

由(1)可知4K_L平面.48CO,

且季=7+j-2h贝"耶『=(：+j-2i尸=I+I+4-2-2=2,

^E,a=(f+J-2i)(-7f-9j+l0i|=-7+5-9+5+7+9-20=-10,

I/—uAxE-a\inJ35区

则卜。乂4瓦研=」彳肃=而诉:即平面,彳。十与平面.48(7)的夹角的余弦值为等.

18.【解析】(1)当-L"-的，q=1,4=2

由条件①知q=1或2.

又由条件②对于任意入/,都存在S"使得a,+a=a,•e；l,2一・,”且两两不相等)，

可得满足条件的4数列只有一个，且为.

(2)⑴证明：当加=2k(keE凡

设数列中L口.…J--I.M出现的频数分别为/"J；，

由题意知/2卜=1,2,3-、2>2,2h121,

若'<；,则有q+%<«+q(对任意s>/>2)与已知矛盾，

故3•»,同理可得24,

若工<2,假设$=1,则存在唯一的匕1,2,3,…2；,使得」=；

那么对于任意不同于1J的sJ则有q+q=l+2wq+《，与已知矛盾，

所以工N2,同理可得

所以S=4+%+%+・・・+%21x4+2x2+3x1+・・•+(24—2]xl+(2&-l]x2+2&x4

(3+21)(21),

=12*+6+------------------------^=2…然+4.

2

15

(ii)由⑴知S>2卜+9K4,即2卜•9£+4449,解得一彳4443,

又kE、’,所以Aw(o,3],所以"1=21e(0,6]且为整数,所以m=1.23456,

当断=1时，数列[4/,只有1组；

当・=2时，数列:《，；可以表示为:|出方3力}(、+2『=490,24)，

满足条件t+2y=49.x>4.r>4的(xj)有(5,22),(7,21)，.…(41,4)共19组;

当m=3时，数列："”；可以表示为，，7'一.1