3.2双曲线 讲义 高二上学期数学人教A版选择性 教师

课题：双曲线知识点11．双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹．（（为常数）．这两个定点叫双曲线的焦点．【（1）距离之差的绝对值．（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同】2．双曲线的标准方程：（焦点在x轴上）和（焦点在y轴上）（a＞0，b＞0）．这里，其中||=2c．要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同．标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）图形3．双曲线的内外部：（1）点在双曲线的内部．（2）点在双曲线的外部．（3）（，其中||=2c，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）；焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）；；）PPPPHHF2xF1oy双曲线第二定义：当动点M（x，y）到一定点F（c，0）的距离和它到一定直线的距离之比是常数时，这个动点M（x，y）的轨迹是双曲线．其中定点F（c，0）是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率．双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径．知识点31．双曲线的简单几何性质：－=1（a＞0，b＞0）（1）范围：|x|≥a，y∈R；（2）对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称；（3）顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）（4）渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程；②若渐近线方程为双曲线可设为；③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）；=4\*GB3④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；=5\*GB3⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈（1，＋∞），其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝．【注1】1．（1）当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；（2）当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；（3）当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；（4）当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上．3．求双曲线的标准方程，应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置；（2）设出标准方程后，运用待定系数法求解．【注2】1．双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．【注3】1．与双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是2．等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b）（1）形式：（）（2）离心率（3）两渐近线互相垂直，为y=；3．等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项．4．共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线）【注4】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（1，eq\r(2)）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq\r(2)．2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系：双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5．渐近线与离心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．典型例题例1在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（

）A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支【答案】B【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足，所以动点P的轨迹是一条射线．如图所示，在线段的延长线上．故选：B例2设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5【答案】A【解析】依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以，故选:A．例3已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【解析】如图所示：∵双曲线的左焦点为，∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周长．故选：C例4设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A【解析】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A例5设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下：则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：．故选：B．例6双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2【答案】C【解析】由双曲线定义可知：解得或（舍）∴点到的距离为18，故选：C．例7设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为．故选：C．例8是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】则故双曲线的两个焦点为,,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,则的最大值为故选：D例9已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C．例10已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，所以，当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号．故选：C．例11已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故，故答案为：C．例12已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的焦点为，故双曲线的焦点在轴上，故设双曲线方程为，则；由双曲线定义知：，解得；故可得；则双曲线方程为：．故答案为：C．例13过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为，联立，得①．当，即时，①式只有一个解；当时，则，解得；综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条．故选：D．例14若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，设交点，联立可得，由题意可得解得：，故选：D．例15双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线，得，，∴，，∴，故选:C．例16双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，由双曲线的定义可得所以在中，，结合，可得，所以即，在中，即，所以，则，故选：C例17已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】。故答案为：B例18设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，设，则，因为，所以可得，因为，所以，则，所以，故答案为：D例19已知双曲线的左､右焦点分别为，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作轴于，如图，依题意，，则，令，由得：，由双曲线定义知，而，在中，由余弦定理得：，解得：，即，又因为离心率，于是有，所以双曲线的离心率为。故答案为：B例20（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则该双曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．2【答案】A,B【解析】是双曲线右支上一点，则有，又，则有，即，则双曲线的离心率取值范围为AB符合题意；CD不符合题意．故答案为：AB例21已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得．故选：B．例22直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2．故选：C例23已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】设，，，，，，，．故选：D．例24已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，根据对称性，知，所以．因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D．例25若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______．【答案】【解析】由题意得：双曲线标准方程为，则，由双曲线定义知：，则．故答案为：．例26分别求满足下列条件的曲线方程（1）以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；（2）过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．（3）焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；（4）顶点间的距离为，渐近线方程为．（5），，焦点在x轴上；（6）焦点为､，经过点．【答案】（1）（2）（3）（4）或（5）（6）【解析】（1）的短轴顶点为（0，－3），（0，3），∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求椭圆方程为．（2）根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．（3）解：由题意，双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为1，因为虚轴长为，离心率为，可得，解得，所以双曲线的方程为．（4）当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为．（5）由题设知，，，由，得．因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为；（6）由已知得，且焦点在y轴上．因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即，则，．因此，所求双曲线的标准方程是．例27过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线．（1）求证：与双曲线有两个不同的交点；（2）求线段的中点的坐标和．【答案】（1）证明见解析（2），【解析】（1）由双曲线方程知：，则，由得：，则，与双曲线有两个不同的交点．（2）设，，由（1）得：，，；；．举一反三1．若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可知，，，，若，则，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．2．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为．故答案为：B．3．已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=故答案为：B4．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因为方程表示双曲线，所以当，即时，，可得；当，即时，，可得．综上所述，实数的取值范围为或。故答案为：C5．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，则由题意可知，，即，故，所以双曲线的标准方程为．故选：C．6．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为．故选：A7．点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，解得，故故选：A8．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，．弦长|MN|．故选：D．9．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，，，即，，故选：D．10．（多选）若三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为三个数1，，9成等比数列，所以，解得，当时，曲线的离心率为：，当时，曲线的离心率为：．故选：AD．11．设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】因为直线过，两点．所以直线的方程为，即，所以原点到的距离①．又②，所以，即，故，解得或．当时，，与矛盾，所以．故选：A12．若双曲线的离心率，则（）A．3 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】由已知双曲线得，所以，解得，故选：D．13．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若是锐角三角形，则只需．在中，，，则，又，∴，∴，∴．又，∴．故选：B．14．已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，所以．因为点A，在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D.15．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因为一条渐近线的斜率为，即，所以．故选：A16．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．由双曲线的定义可得，，又，可得．所以可化为，即，而，，解得，又，．故选：A．17．已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，，即，，可得，即，即，又即，又，即，所以，即，即，可得，，即，故选：．18．已知点分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A． B．或 C．2 D．3【答案】A【解析】根据题意可设，将代入，解得，则，所以，因为为等边三角形，则，即，又，所以，即，则，解得或，又因为双曲线的离心率，所以双曲线的离心率.故选：A.19．设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．【答案】【解析】设，，则，，则，两式相减得，，所以直线的方程为即，代入满足，所以直线的方程为.故答案为：.20．已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．【答案】0或【解析】设，，，，的中点为，，则，由点差法可得，即①，显然，又因为②，代②入①可得；由两点关于直线对称，可得，所以，又因为，所以，代入抛物线方程得，解得或．故答案为：0或．21．过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.【答案】【解析】设，，则，，两式相减可得：，所以，因为点是线段的中点，所以，，所以，因为，所以，即，因为，所以，，所以双曲线方程是，故答案为：.22．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.【答案】【解析】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为．故答案为：．23．已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为．设分别为双曲线的左、右焦点．若，则．【答案】5【解析】因为双曲线的渐近线方程为3xy=0，即y=3x=，所以，解得a=1，根据双曲线定义P是双曲线右支上的一点，满足|PF1||PF2|=2a=2，所以|PF1|=|PF2|+2=5．故答案为：524．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为．【答案】1；【解析】双曲线的方程为，则．设圆分别与相切于，根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知①，而②．由①②得：，所以，所以直线的方程为，即的横坐标为．设的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，即，解得．设直线的方程为，即．到直线的距离为，解得．所以线的方程为．由且在第一象限，解得．所以，．所以△F1PF2的面积为．故答案为：1；25．已知双曲线x2y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为．【答案】【解析】∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为26．与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为______．【答案】或【解析】设与具有相同渐近线的双曲线方程为，当时，双曲线的方程为，又因为两顶点间的距离为2，所以，即，所以双曲线的方程为；当时，双曲线的方程为，又因为两顶点间的距离为2，所以，即，所以双曲线的方程为；综上所述，双曲线的方程为或．故答案为：或．27．（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．【答案】

【解析】（1）由，设，则，．设所求双曲线的方程为①或②，把代入①，得，与矛盾，舍去；把代入②，得．∴所求双曲线的标准方程为．（2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①，将点的坐标代入①式，得，∴所求双曲线的标准方程为．（3）设所求双曲线的方程为，点在双曲线上，∴，即，∴双曲线的标准方程为．故答案为：；；．28．已知双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．【答案】x2－＝1【解析】由题意得解得则该双曲线的方程为x2－＝1．故答案为：x2－＝129．焦点在x轴上，经过点P（4，－2）和点Q（2，2）的双曲线的标准方程为________．【答案】【解析】设双曲线方程为，将点（4，－2）和代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为．故答案为：30．实轴在x轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为的双曲线方程为______．【答案】【解析】将变型为：，所以，实轴长为12，即，，得，所以双曲线方程为：．故答案为：31．已知，则圆锥曲线的离心率等于______．【答案】或【解析】由得．当时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，此时，，离心率．当时，曲线为焦点在x轴上的双曲线，此时，，离心率．故答案为：或32．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的离心率是______．【答案】或【解析】设双曲线为．则当时，;当时，;故答案为：或．课后练习1．“k<2”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故答案为：A．2．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（）A．1或13 B．1 C．13 D．9【答案】C【解析】根据双曲线定义可得，又，所以或，又，解得，即，又，所以．故答案为：C3．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】设右焦点为F'，则F'（4，0），依题意，有PF|=|PF'|+4，|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9（当P在线段AF'上时，取等号）故|PF|+|PA|的最小值为9．故答案为：A4．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且．则的面积为（）A．8 B． C．16 D．【答案】C【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以．在中，由余弦定理得，所以，所以。故答案为：C5．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【解析】由双曲线定义知：，而，又且，∴3或7，故答案为：D．6．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨设，分别为双曲线的左右焦点，当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知，，又=11，所以，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在满足条件的点P．故答案为：B．7．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线可知：的周长为．当轴时，的周长最小值为故答案为：C8．双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线，即的右焦点坐标为，所以，解得，所以双曲线方程为，则双曲线的渐近线为；故选：C9．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为．故选：A10．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，则则渐近线为，即．故答案为为：A11．在中，，．若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为，所以AC>BC，因为以A，B为焦点的双曲线经过点C所以ACBC=2a，AB=BC=2c，在三角形ABC中由余弦定理得，即，解得AC2=12c2，所以，所以，所以．故选：C12．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如图所示，设，，设线段的中点为，则在双曲线C的右支上，又为等边三角形，所以，所以，所以连接，则在等边三角形中，且，所以，所以，即双曲线的离心率为．故答案为：C．13．直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】联立直线和双曲线：，消去得，当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；当，此时，解得或，所以时直线与双曲线无交点；故选：A14．若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】斜率为，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点（a，0），故=，且a3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．故选：D．15．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D16．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为（2，0），∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．17．直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2．故选：C18．双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.【答案】【解析】设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，，即，设点，，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：19．过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】因为双曲线方程为则设,因为点恰为线段的中点则则,两式相减并化简可得即直线的斜率为2所以直线的方程为,化简可得因为直线与双曲线有两个不同的交点所以解得且所以的取值范围为故答案为:20．以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点（3，）的双曲线的标准方程为________．【答案】－＝1【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2．设双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解