【高考调研】2019届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习作业：22立体几何2

立体几何专练（二）•作业（二十二）（2019-南昌模拟）如图，四棱锥S—ABCD中，SD，底面ABCD,AB〃DC,AD±DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点，且SE=2EB.（1）证明：DE，平面SBC；⑵求二面角A—DE—C的大小.解析分别以DA,DC,DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），连接DB,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),DB=(1,1,0),DS=(0,0,2)．(1)：SE(1)：SE=2EB,.,.de=|db+3ds=|x(1,1,0)+；义(0,0,2)=(3,3,3).又BC=(—1,1,0),BS=(—1,—1,2),/.DE-BC=0,DE-BS=0,/.DE±BC,DE±BS.又BCnBS=B,/.DEL平面SBC.(2)由(1)知，DE，平面SBC,「ECU平面SBC,/DE±EC.由SE=2EB,知由SE=2EB,知E(2,3,3),DE=(3I3,23),一2EC=(—3,43,-3),取DE中点F,连接AF,则故FA-DE=0,由此得FA±DE,/向量FA与EC的夹角等于二面角A—DE—C的平面角.

又cosFA,EC又cosFA,ECFA-EC——12,IFAIIECI，二面角A-DE-C的大小为120°.(2019・湖南演练)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PAL底面ABCD,AD〃BC,NABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB的中点.ADAD(1)求证：八乂〃平面PCD；⑵设点N是线段CD上一动点，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求DN的长.解析(1)证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),，AM=(0,1,1),PD=(1,0,-2),CD=(—1,-2,0).一JPD-n=0, [x—2z=0,TOC\o"1-5"\h\z设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则[ 即彳 。八— [—x—2y=0.iCD-n=0,令z=1,则x=2,y=—1,于是n=(2,—1,1).— —•；AM-n=0,AAM±n，.;AM〃平面PCD.— —(2)解：;点N是线段CD上的一点，DN=^DC,：DN=^DC=九(1,2,0),AN=AD+DN=(1,0,0)十九(1,2,0)=(1+九,2入，0),— — —MN=AN—AM=(1+X,2入，0)—(0,1,1)=(1+九，2入一1,—1).又平面PAB的一个法向量为m=(1,0,0),设MN与平面PAB所成的角为仇则sin0=I%；(1+九)2+(2九一1)2+1(1+则sin0=I%；(1+九)2+(2九一1)2+11十九11十九\：'5九2—2九十3一'5（1十九）2—12（1十九）十1015—15—1 +10(.,)21十人 1十人1 ,1 3、 7'10(普—5)2+513 2••当1十在=5时,即5=3+3%'入=3时'sin°W大,即0最大・故DN=3\y22+12=-3-.（2019・衡中调研）如图，在4ABC中，O是BC的中点，AB=AC,AO=2OC=2,将ABAO沿AO折起，使B点与图中的B’点重合.（1）求证：八。，平面B'OC；⑵当三棱锥B'-AOC的体积取最大值时，求二面角A-B'C-O的余弦值；⑶在（2）的条件下，试问在线段B'A上是否存在一点P,使CP与平面B'OA所2成角的正弦值为2?证明你的结论.解析(1)・・・AB=AC,且O是BC的中点,.,.AO^BCiAO±OB',AO±OC.又・・・OB′nOC=O'，AO,平面B'OC.⑵当B'O,平面AOC时,三棱锥B'—AOC的体积最大,过O点作OH^B'C于点H,连接AH,由(1)知,AO,平面B'OC,又B'CU平面B'OC'AB'C,AO.VAOnOH=O,AB'C,平面AOH'.'.B'C,AH'Z.ZAHO即为二面角A—B'C—O的平面角,在Rt△AOH中,AO=2'OH=辛’，AH='AcosZAHO=AH=3'...二面角A—B'C—O的余弦值为3.

TOC\o"1-5"\h\z⑶存在，且为线段AB，的中点. •二以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，c(o,1, :〃 0),A(2,0,0),B，0,0,1). ”「 「设AP=^AB'=(一2九，0,入)，— — —— — —CP=CA+AP=(2一2九,一1,入),ICP-nl—ICP-nl—ICPIInI开始/¥一人//又•・•平面B'OA的一个法向量为n=(0,1,0),212a-CFb=ACc=AF/输出三棱锥H-ACf的高一/,I、

结束⑴若点M,N,K分别是棱HA,HC,HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：乂6〃平面ACF；(2)已知原长方体材料中，AB=2m,AD=3m,DH=1m,根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高.①甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角①再根据公式h=

AH.sin0求出三棱锥H—ACF的高，请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高.②乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？(请直接写出t的值，不要求写出演算或推理过程)．解析本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．(1)证法一：：HM=MA,HN=NC,HK=KF,，MK〃AF,MN#AC.「MKC平面ACF,AFU平面ACF,，MK〃平面ACF.同理可证NM〃平面ACF.VMN,MKU平面MNK,且MKAMN=M,，平面MNK〃平面ACF.又MGU平面MNK,故MG〃平面ACF.证法二：连HG并延长交FC于T,连接AT.：HN=NC,HK=KF,，KN〃FC,则HG=GT.又・.・HM=MA,，MG〃AT.「MGC平面ACF,ATU平面ACF,，MG〃平面ACF.⑵①如图，分别以DA,DC,DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O—xyz.则有A(3则有A(3,0,0),C(0,2,0),F(3,2,1),H(0,0,1)．一AC=(—一AC=(—3,20)一AF=(01),一AH=(—3,0,1).设平面ACF的一个法向量n=(x,y,z),则有1一n则有1一n・AC=-3x+2y=0,解得1一一，1〃,AF=2y+z=0,x=3y，z=—2y.令y=3,则n=(2,3,—6),sin0一sin0一AH-n一|AH||n|12 6V10=7^10=35，，三棱锥H—ACF的高为AH.sin。=黑人•"而=172.，三棱锥H—ACF的高为AH.sin。=黑人•"而=172.②t=2.5.(2019•河北五校联考)如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,NABC=60°,平面AA1cl^平面ABCD,ZA1AC=60°.(1)证明：BDXAA1；⑵求锐二面角D-AA1-C的平面角的余弦值；⑶在直线CC1上是否存在点P,使得BP〃平面DA1c1,若存在，求出P的位置.解析连接BD交AC于点。，则BDLAC,连接A1O.在AAAQ中，AA1=2,AO=1,NA1AO=60°,，A1O2=AA12+AO2—2AA1-AO-cos60°=3./.AO2+A1O2=AA12.AA1O±AO.;平面AA1cle，平面ABCD....A1OL底面ABCD.分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴，坐标系,y轴，z轴，建立如图所示的空间直角则A(0,—1,0),B(\：30,0),C(0,1,0),D(一\,13,0,0),A1(0,0,木).(1)・・，BD=(一2\瓦0,0),AA1=(0,1,<3).

_ _...AA1-BD=0X(—2\⑶+1X0+、,13X0=0,/.BDXAA1.(2)・.・OB,平面AA1clC,...平面AA1cle的一个法向量n1=(1,0,0).设平面AA1D的一个法向量为n2=(x2,y2，z2),n2±AA1,_02，AD,y2+\/3z2=0,2二2取n=(1,.；3,—1).—\"+2=0, 2,c°sn,n=中=卓1 2 In111n21 5.,.锐二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是5^-.使得BP〃平面DA1c1,__使得BP〃平面DA1c1,__设cP=^cc1,P(x,y,则(x,y—1,z)=M0,得P(0,1+大，6)，z)．1,<3),_BP=(一、：3,1+X,寸3入).设平面DA1C1的一个法向量为n3=(x3,y3,z3),n/A"_nn3±DA1,2y3=0,4x3+*z3=0,不妨取n3=(1,°,T).：BP〃平面DA1c1,_，n3・BP=0,即一,；3—%；3入=0,得九=—1.即存在点P在C1c的延长线上，且C1C=CP,使得BP〃平面DA1cl.

I备选题I（2019・福州五校联考）如图，在四棱锥C—ABDE中，F为CD的中点ABC,AE〃BD,AB=BC=CA=BD=2AE.（1）求证：EF，平面BCD；⑵求平面CED与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.解析（1）设AE=1,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz,A(0解析（1）设AE=1,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz,A(0,0,0),B(0,2,0),C(q31,0),D(0,22),E(0,0,1),3,2,1)一EF=0)一(一\:'3,1,2),BD=(0,02)．一CD=VEF-CD=0,EF-BD=0,/.EF±CD,EF±BD.又CD又CDU平面BCD,BDU平面BCD,CDABD=D,.•代,平面BCD.⑵设平面CED的法向量为n=（x,⑵设平面CED的法向量为n=（x,y一z),则n±EF一n±CD,容X+2y=0' 取x=1,解得,—出x+y+2z=0,y二lz=一通3,2小3.・•.n=（1,—申，苧）是平面CED的一个法向量，而平