第08讲 圆锥（解析版）

第08讲圆锥的认识与计算课程标准学习目标①圆锥的认识②圆锥的侧面积③圆锥的全面积认识圆锥以及相关概念。掌握圆锥的侧面积计算公式并运用。掌握圆锥的全面积公式并应用。知识点01圆锥的认识圆锥的认识：如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的高。圆锥的母线长、高与底面半径的关系：圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。即：如图：。题型考点：①利用三者之间的关系计算。【即学即练1】1．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长为20cm，求圆锥的高是。【解答】解：（1）如图所示，在Rt△SOA中，SO＝＝10知识点02圆锥的侧面展开图与侧面积圆锥的侧面展开图的认识：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。圆锥的侧面积计算：方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为a，弧长等于底面圆周长等于：，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：。方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：。题型考点：①圆锥侧面积的计算。②侧面积公式的应用。【即学即练1】2．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3，∴该圆锥的侧面积为：π×3×4＝12π．故答案为：12π．【即学即练2】3．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为cm2．【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积＝＝8π（cm2）．故答案为8π．【即学即练3】4．如图，圆锥的底面半径OB＝6，高OC＝8，则圆锥的侧面积等于•【解答】解：∵它的底面半径OB＝6，高OC＝8．∴BC＝＝10，∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl＝π×6×10＝60π．故答案为：60π．【即学即练4】5．圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（）A．2 B．1 C．3 D．4【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．故选：A．【即学即练4】6．若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是．【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，根据题意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．即该圆锥底面圆的半径是3．故答案为3．知识点03圆锥的全面积（表面积）计算圆锥的表面积计算：圆锥的侧面是一个扇形，底面是一个圆。所以：圆锥的表面积＝圆锥的侧面积＋圆锥的底面积。题型考点：①圆锥的表面积的计算。【即学即练1】7．已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是cm2．（结果保留π）【解答】解：圆锥的表面积＝10π×90+100π＝1000πcm2．故答案为：1000π．【即学即练2】8．扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为cm2．【解答】解：∵扇形的圆心角为150°，半径为4cm，∴扇形的弧长为＝π，∴圆锥的底面周长为π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝cm，∴圆锥的表面积为π××4+π×（）2＝cm2．故答案为．【即学即练3】9．已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm，另一条直角边BC＝5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A．90πcm2 B．209πcm2 C．155πcm2 D．65πcm2【解答】解：圆锥的表面积＝×10π×13+π×52＝90πcm2．故选：A．题型01圆周侧面积的计算【典例1】已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10π B．15π C．20π D．25π【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，故选：C．【典例2】圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是度，该圆锥的侧面积是（结果用含π的式子表示）．【解答】解：∵圆锥的高为，母线长为3，∴圆锥底面圆的半径为：，∴圆锥底面圆的周长为：2π．设展开图（扇形）的圆心角是n°，依题意得：，解得：n＝120°，圆锥的侧面积是：．．故答案为：120，3π．【典例3】已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，∴圆锥的底面周长＝2π×5＝10π（cm），母线长＝＝13（cm），∴圆锥的侧面积＝×10π×13＝65π（cm2）．故选：C．【典例4】已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【解答】解：∵32+42＝52，∴这个三角形为直角三角形，两直角边为3，4，斜边为5，∴以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5，∴×2π×4×5＝20π．故选：C．题型02圆锥的表面积计算【典例1】已知圆锥的母线是3cm，底面半径是1cm，则圆锥的表面积是cm2．【解答】解：底面半径为1cm，则底面周长＝2πcm，圆锥的侧面面积＝×2π×3＝3πcm2，底面面积＝πcm2，∴圆锥的表面积＝3π+π＝4πcm2．故答案为：4π．【典例2】如图，圆锥的底面直径AB＝6cm，OC＝4cm，则该圆锥的表面积是24πcm2（结果保留π）．【解答】解：∵AB＝6cm，OC＝4cm，∴OA＝＝3（cm），∴AC＝＝5（cm），∴圆锥的表面积＝S底+S侧＝πr2+πrl＝9π+15π＝24π（cm2），故答案为：24π．【典例3】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为14π．【解答】解：所得到的几何体的表面积为π×2×3+π×2×4＝14π．故答案为：14π．【典例4】如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2 D．8πcm2【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4，所以圆锥的表面积＝S侧+S底＝×42π+π＝5π（cm2）．故选：B．题型03底面圆的半径计算【典例1】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【典例2】将半径为4，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：设此圆锥底面圆的半径是r，根据题意，可得，解得r＝1，即此圆锥底面圆的半径是1．故选：A．【典例3】如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A．4 B．2 C．4π D．2π【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故选：B．【典例4】如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（）A． B． C． D．1【解答】解：连接BC，AO，由题意，得：∠CAB＝90°，AC＝BC，∵A，B，C在⊙O上，∴BC为⊙O的直径，AO＝BO＝2，BC⊥AO，在Rt△ABO中，，即扇形的半径为：扇形的弧长：设圆锥底面圆半径为r，则有，∴，故选：C．题型04圆锥的高线的计算【典例1】已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是cm．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得•2π•r•13＝65π，解得r＝5，所以圆锥的高＝＝12（cm）．故答案为：12．【典例2】圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°，半径6cm的扇形，则该圆锥的高是（）A．1cm B．2cm C．cm D．cm【解答】解：∵一圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为6cm的扇形，∴扇形弧长＝＝4π（cm），∴2πr＝4π，∴r＝2（cm），∴圆锥的高＝＝4（cm），故选：C．【典例3】如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥的高是（）A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm【解答】解：设母线长为R，由题意得：65π＝×10π×R，解得R＝13cm．设圆锥的底面半径为r，则10π＝2πr，解得：r＝5，故圆锥的高为：＝12故选：C．题型05圆锥的母线长的计算【典例1】已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是85πcm2，则圆锥的母线长是（）A．6.5cm B．13cm C．17cm D．26cm【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，则：85π＝π×5×R，解得R＝17，故选：C．【典例2】圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是．【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得：解得：R＝4，故答案为：4．【典例3】如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（）A． B． C． D．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BAF＝120°，根据题意得2πr＝，所以＝，即该圆锥的底面半径与母线长之比为．故选：C．1．圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（）A．25π B．20π C．15π D．12π【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl＝π×3×5＝15π，故选：C．2．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【解答】解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm，根据勾股定理得到母线长l＝＝＝13（cm），根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×5×13＝65π（cm2），故选：B．3．某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【解答】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，根据题意得，，解得n＝120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，故选：D．4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝1cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（）A．1cm B．12cm C．3cm D．6cm【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2πcm，设圆锥的母线长为Rcm，则：＝2π，解得R＝3．故选：C．5．现有一张圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2，即该圆锥底面圆的半径为2cm．故选：B．6．如图，Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以BC边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为（）A．65πcm2 B．90πcm2 C．156πcm2 D．300πcm2【解答】解：圆锥的表面积＝π×5×13+π×52＝90π（cm2）．故选：B．7．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r【解答】解：扇形的弧长是：＝，圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，即：R＝4r，R与r之间的关系是R＝4r．故选：D．8．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，根据题意得＝2πr，解得r＝2，所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．故选：C．9．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB＝5米，半径OB＝4米，则圆锥的侧面积是平方米（结果保留π）．【解答】解：∵OB＝4米，AB＝5米，∴圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π米，∴S扇形＝lr＝×8π×5＝20π米2．故答案为：20π．10．有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r＝．【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．则∠DAO＝×60°＝30°，OD＝，则AD＝OD＝，∴AB＝．则扇形的弧长是：＝π，根据题意得：2πr＝π，解得：r＝．故答案为：．11．已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为°．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的侧面积＝×2πr×l＝πrl，圆锥的全面积＝πrl+πr2，∵圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，∴πrl：（πrl+πr2）＝3：5，∴l＝r，∵2πr＝＝，解得n＝240，即圆锥侧面展开图的圆心角为240°．故答案为：240．12．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．13．在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．（1）求这个扇形的半径；（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，∴∠