代数Lyapunov方程与Riccati方程解的估计

代数Lyapunov方程与Riccati方程解的估计代数Lyapunov方程与Riccati方程广泛应用于控制系统的稳定性分析与控制器设计问题之中，对这两类方程的求解及的工作。对两类方程解的估计在许多控制问题中都发挥析、最优控制器和过滤器设计、瞬时时态评估等。本文主要研究代数Riccati方程与代数Lyapunov方程解的估计问题，具体包含以下内容：1.研究一般离散时间代数Riccati方程解矩阵的迹的估计。利用矩阵求逆公式给出一般离散时间代数Riccati方程的等价形式，通过矩阵特征值2.研究一般离散时间代数Riccati方程解矩阵的估计。利用矩阵求逆公式及特征值性质，推导出其解矩阵的界，并建立3.研究摄动离散时间代数Rieeati方程解矩阵的估计。利用矩阵运算均由一个矩阵不等式与一个离散时间代数Riccati方程确定。4.研究摄动连续时间代数Lyapunov方程解的估计。利用矩阵运算性质给出在一定的不确定性假设下其对称正定解矩一个连续时间代数Riccati方程或不等式给出，同时给出了该方程存在对称5.研究摄动连续时间代数Riccati方程解的估计。通过Schur补用矩阵不等式的性质给出了解矩阵的两个下界。关键词代数Riccati方程：代数Lyapunov方程；解矩阵；矩阵的界；摄动EstimationoftheSolutionsoftheAlgebraicLyapunovEquationandRiccatiEquationsAbstractThealgebraicLyapunovequationandRiccatiequationareusuallyutilizedtoperformthestabilityanalysisofcontrolsystemsandsolvetheproblemofcontrollerdesign.Therefore,bothsolvingandestimatingthesolutionsaboutthetwokindsequationsareveryimportant.Furthermore,theboundsofthesolutionmatrixoftheseequationscanalsobeappliedtodealwithmanycontrolproblemssuchasstabilityanalysis,thedesignofoptimalcontrollersandfilters,andtheestimatesofthetransientbehavior.Inthispaper,theestimationofthesolutionsofthealgebraicRiccatiequationandLyapunovequationarebothinvestigated,andthepresentpaperisorganizedasfollows:First,theestimationproblemofthetraceofsolutionmatrixofthegeneraldiscretetimealgebraicRiccatiequationisdiscussed.TheequivalentformofthegeneraldiscretetimealgebraicRiccatiequationisgivenbyusingtheformulaofmatrixinversion.Then,threenewlowerboundsforthetraceofthesolutionmatrixarederivedbymeansofthepropertiesofeigenvaulesandtracesofmatrices;comparedtothemajorityoftheapproachproposedintheliterature,thepresentresultsarelessconservativeundercertainconditions.Second,theestimationproblemofthesolutionmatrixofthegeneraldiscretetimealgebraicRiccatiequationisdiscussed.Boundsofthesolutionmatrixaboutitaregivenbyusingtheformulaofmatrixinversionandthepropertiesofeigenvalueofthematrix,andtheresultsareimprovedbyestablishingaformulaofiteration.Third,theestimationproblemofthesolutionmatrixoftheperturbeddiscretetimealgebraicRiccatiequationisdiscussed.Theestimationofupperandlowerboundsofthesolutionmatrixtotheequationunderacertainuncertaintyassumptionispresentedbyapplyingthematrixcalculationproperty,andthe.II.estimationresultsaregivenbyamatrixinequalityanddiscretetimealgebraicRiccatiequations.Fourth,theestimationproblemofthesolutionmatrixoftheperturbedcontinuoustimealgebraicLyapunovequationisdiscussed.Theestimationofupperandlowerboundsofthesolutionmatrixtotheequationunderacertainuncertaintyassumptionarepresentedbyapplyingsomecalculationpropertiesofmatrixandinequality,andtheestimationresultsaregivenbyacontinuoustimealgebraRiccatiequationsorgivenbysomeinequalities.Atthesametime,someexistenceconditionsofsymmetricpositivedefinitematrixsolutionareshownfortheequation.Finally,theestimationproblemofthesolutionmatrixoftheperturbedcontinuoustimealgebraicRiccatiequationisintroduced.AnestimationofupperboundandexistenceconditionofthesolutionmatrixtotheequationunderacertainuncertaintyassumptionispresentedbyapplyingtheSchurcomplementandsomecalculationpropertiesofmatrixinequality.Atthesametime,twolowerboundsofthesolutionmatrixtotheequationareshownbysomepropertiesofmatrixinequality.KeywordsalgebraicRiccatiequation,algebraicLyapunovequation,solutionmatrix,matrixbounds,perturbation..III本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《代数Lyapunov方程与R iccati方程解的估计》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本作者签名：毕；乌云日期：如8年3月ff日《代数Lyapunov方程与Riccati方程解的估计》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈不保密d。（请在以上相应方框内打4)日期：如。孑年3月l『日,五铊吻，.\>哈尔滨理T大学理学硕十学位论文第1章绪论物理和工程中的许多问题，如线性二次最优控制、Kalman滤波、Hoo控制、完全最小二乘法、两点边值等问题，最终会归结为特殊方程一矩阵代数Lyapunov方程与Riccati方程的求解问题。上述的Lyapunov方程与Riccati方程是工程领域的两类非常重要的方程，包括连续和离散两种情形，是指在对连续或离散的动态系统进行研究时所遇称形式的二次代数微分方程。上述方程广泛应用于工程是控制系统理论领域【l】。这两类方程在系统稳定性分析、最优控制器和过滤器设计、瞬时性态评估中都发挥着重要的作用。此外，这决系统稳定性分析【2】、时滞系统控制器设计【3】、最大成本估算和控制器设计【4】、数值算法的收敛性【5】、Riccati微分方程的性态f6】等中得相当困难；另一方面，有时可能只需要方程的程、生产设备以及其它众多的被控对象，其动态特性一般都难来描述，有时即使能获得被控对象的精确数学模型，但由于其其进行有效的性能分析和综合，因此必须进行适当的简化，从性；另一方面，时滞现象大量存在，如长管道进料或皮带传输程、网络控制系统信号的传输以及复杂的在线分析仪等均会导性和时滞性的存在，造成了系统控制无论在理论分析上还是工困难，并且实践证明，系统中不确定性和时滞的存在常常是系由于系统中的矩阵代数Riccati方程和矩阵代数Lyapunov方程关于系统中的不确定性参数矩阵是非线性的，在具体研究中还会遇形不同的且难于处理的情况，所以涉及到摄动连续与离散矩阵代数Riccati哈尔滨理T大学理学硕上学位论文Riccati方程和连续离散矩阵代数Lyapunov方程的求解时有时是无法进行的。事实上，在实际问题中常常只需知道摄动连续与离散矩阵代数Riccati方程和代数Lyapunov方程的解的上下界的估计值，甚至是特征值的估计值，而不必求其精确解，比如，在随机系统的稳定协方要求摄动方程的解的迹的上下界。目前，这方面的工作近几年已所获得的成果还较少。所以对摄动的矩阵代数Riccati方程和矩阵代数Lyapunov方程的研究更具有重要的理论和实际意义。离散时间代数Lyapunov方程．的研究源于上个世纪八十年代，1982年，Morit7】利用Ostrowski不等式得出离散时间代数Lyapunov方程解的一个上下界，为其研究开辟了先河；1985年，Mori[81开始了对离散时间代数Lyapunov方程解的特征值的界的估计；之后产生了大量相关的成果，其中以1992年Komarofft9】利用一个Schu r.concave函数与算术一几何平均不等式所得解的界的估计更具代表性；1996年，Leetl0】利用Rayleigh不等式以及解的特征值之间的关系进一步给出了离散时间代数Lyapunov方程的下界；1999年，Tippettt¨】通过定义一个R（五，A)函数，用其相关项来估计离散时间代数Lyapunov方程的解，从而得出解的范数的一个上界及解的迹的上界；2002年，Moritl21同时给出了连续、离散以及统一的三种方程的解的下对于摄动离散时间代数Lyapunov方程，早在1990年xu【”究了这一问题，然而需要求解一个四阶代数矩阵方程，且没有讨论算法；1996年孙翔114】通过对不确定离散随机系统协方差的定界研究，为摄动离散时间代数Lyapunov方程在满足范数有界不确定性的情形下解的上下界的估计提供新的思路；直至1999年，在王子栋【15】的研究下，这一问题才得到解决；2006年，陈东彦【161与候玲【17】首次给出了满足非结构不确定性、强间代数Lyapunov方程的解的界，为摄动离散时间代数Lyapunov方而离散时间代数Riccati方程的研究始于1984年，Trantl8】利用矩阵恒等式对标准离散时间代数Riccati方程进行恒等变形，将方哈尔滨理T大学理学硕士学位论文程解矩阵的行列式的一元二次不等式的求解行列式的下界；1987年，Mori[19】给出了标准离散时间代数Riccati方程迹的下界，Mori先对矩阵(Z-1+】，）-1的迹的下界进行估计，从而得出比以前更强的结果；之后产生了大量的相关结果[20-22】，其中Kimt221312。14具有代表性。1997年Lee[23】利用迭代法进一步加强了结果；随后国内学者张端金[24-26】则基于Delta算子的描述，统一研究了连续时间代数Lyapunov与Riccati方程和离散时间代数方程的定界估计问题，并给出在极限情形下的估计结果；2001年Choit27l基于线性矩阵不等式并结合Schur弓I理的方法为我们的研究提供了新的思路。2002年余军扬【28】贝0得出Riccati方程亚纯解（胁1)级的上界；2003年Lee[29】基于Delta算子的描述，对统一的Riccati方程进行了研究，并在此基础上分别给出了离散与连续Riccati方程的上下界，再次实现了连续与离散的完美结合；2005年，包志华【301利用矩阵逆公式及矩阵解及特征值满足的不等式对此类方程进行了研究。对于稍一般离散时间代数Riccati方程，1998年Lee!ℽ进行了比较；2002年，高明杵【32】研究了无限维离散时间代数Riccati方程的非负自伴解，给出了有非负自伴解的充要条件。。1995年，中国学者卢琳璋【33J从对标准离散时间代数Riccati方程解的界的研究转向对一般的离散时间代数Riccati方程解的界的研究，导出一个求解的简单迭代，并得出在一定条件下离散时间代数Riccati方程的解x与Lyapunov方程的解Y的关系，即X≤Y,为两类方程的解之间架起了一座桥梁，并且首次提出了Lyapunov方程的级数形式的解；2000年，李学俊f34】指出用Rayleigh商的极性来研究此类问题的新方法得出了更一般的矩阵解的下界；2003年，李学俊【35】再次利用矩阵迹以及矩阵特征值之间的关系再次给出了一般离散时间代数Riccati方程解的的特征值的下界；2005年，王德玉【361对一般离散时间代数Riccati方程解进行了研究；2006年，陈东彦【37】首次给出了针对范数有界不确定性的摄动离散时间代数Riccati方程的解的估计，为摄动离散事件代数代数Riccati方程的解的估计开辟了理论的先河。、从目前对两类方程的研究来看，对离散时间代数Lyapunov方程与标准离散时间代Riccati方程解及其相关项的上下界的研究较多，但对一般离散时间代数Riccati方程及摄动方程解的上下界的研究才刚刚起步。本课题针对连续时间矩阵Lyapunov方程与Riccati方程解的估计，到目前为止国内外学者做了大量的工作。早在1972年，国外学者Bucy与Kwont38’39】就开始对其研究；1978年，Patel[40】对两类方程的解的谱范数以及迹进行了估计，并与前人的结果进的有效性，之后产生了大量的相关成果【4¨卯。1996年Kangt46】利用Rayleigh不等式以及谱范数的性质、矩阵迹的性质等再次对解矩阵的谱范数及迹的上下界进行了估计，得到了更精确的解的估计。同年，Kwon/47J对两类方程的连续与离散的形式进行了总结，分类总结了两类方程在此之前给出的解矩阵的迹的下界、最大与最小特征值的下界、若干列式的下界等。1997年，Sun[48J利用扰动的矩阵方程的相关性质去逼较典型的方法。随后又有大量的相关文献149,50】对两类方程的解的估计进行了研究。2001年，Leet511对定义在三种不同的定义域上的广义时间代数Lyapunov方程进行适当变形以后，利用离散与连续时间代数Lyapunov方程级数形式的解和指数形式的解以及一系列相关的性质，对定义在三种不同的定义域上的广义时间Lyapunov方程以及线性扰动系统的鲁棒根簇进界的估计的实际应用价值。2002年，中国学者张维海【52,53】对广义连续时间代数Riccati方程进行了研究，给出了＿个广义连续时间Ricca ti方程的比较原理，作为推论给出了广义连续时间代数Riccati方程解的存在条件，并且提出了强解的概念。2002年，Leet54l通过构造一个正定矩阵，使用配方给出了连续时间代数Riccati方程矩阵解的下界，与以前所得结果比较，从很大程度上降低了保守性，同时给出精确。2004年，Leet55】基于Delta算子的描述，统一研究了离散与连续两种形式矩阵方程解的上下界的估计，2006年，Lee[56】利用迭代的方法对连续时间Riccati方程的矩阵解再次进行了估计。“从目前对两类方程的研究来看，对连续时间代数Lyapunov方程与Riccati方程解及其相关项的上下界的研究较多，对两类方程的解矩阵的估计越来越精确确，但在实际中对两类方程的摄动形目前为止没有文献对这两类方程的连续形式的续时间代数Lyapunov方程为主要研究对象，讨论方程解矩阵的上下界。本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师的国对在控制系统中广泛应用的矩阵代数Riccati方程与Lyapunov方程性的成果，但是这些方法仍然存在一些局限性和亟待(1)在对一般离散时间代数Riccati方程解矩阵进行估计时，对方程(2)对摄动离散时间代数Riccati方程解矩阵的估计到目前为止仅局限于对标准离散时间代数Riccati方程满足范数有界不确定性的摄动的情形进行了研究，而对一般摄动离散时间代数Riccati方程未加讨论；‘(3)对摄动连续时间代数Riccati方程与Lyapunov方程的(1)离散时间代数Riccati方程(discretetimealgebraicRiccatiequation,DTARE)彳1尸4一尸一(4。PB+三）(R+B1PB)-1（召。PA+掣）+Q=0其中，彳，Q∈R“”,B,L∈R脓一，R∈R…”均是常值矩阵，且Q=Qr和(Q一衄q17)=(9一LR‘1∥)r是半正定矩阵，R=Rr是正定矩阵，P=尸丁＞0是矩阵变量。(2)一般摄动离散时间代数Riccati方程(perturbeddiscretetimealgebraicRiccatiequation,PDTARE)。（彳+Δ4)1尸（彳+Δ4)一P一4)7PB+三】(R+B7PB)_1［（彳+Δ4)7PB+L]7+Q=0其中，A∈R“”阵，Q∈R肼”，B∈R“埘和R∈R“”均是常值矩阵，且rank(B)=n,Q=Qr>0和R=Rr>0是对称正定矩阵，P∈R“”是矩阵变量。AA∈R“”为AA∈Q口{Δ4:A,47A,4≤Q(Δ彳），Q(Δ彳）≥0)进一步，假设矩阵对（么＋鲋，Q¨2)是可稳的【131944。948。(3)摄动连续时间代数Lyapunov方程(perturbedcontinuoustimealgebraicLyapunovequation,PCTALE)（彳＋鲋）7P+尸（么+Δ4)=一Q其中，A∈R“”与O∈R“”是给定的常值矩阵，并且A∈R“”是渐近稳定的，Q=ar>0是对称正定矩阵，AA∈R“”为不确定矩阵，表示矩阵4的结构摄动，且AA∈Q,使得彳＋幽是渐近稳定的，进一步，我们假设（彳＋鲋，Q¨2)能稳。(4)考虑摄动连续时间代数Riccati方程(perturbedcontinuoustimealgebraicRiccatiequation,PCTARE)~（彳＋鲋）。P+P(A+AA)+尸即+O=0其中，A∈R“”与9R∈R“”是给定的常值矩阵，并且A∈R“”是渐近稳定的，Q=Qr>0,R=Rr≥0是对称矩阵，且（么＋鲋，Q“2)能稳，鲋∈R“”为不确定矩阵，表示矩阵彳的结构摄动，假设AA∈R“”满足范数有界不确定All=DFE这里，D∈R“5,E∈R段”为已知矩阵，F∈R“7为未知不确定矩阵，但满足FrFSI。本章首先论述了本文研究的目的和意义，阐述了代数矩阵方程--Lyapunov方程与Riccati方程解的估计在国内外研究的现状，介绍了在两类方程的解估计研究中亟待解决的问题，说明了代数哈尔滨理-T大学理学硕十学位论文第2章基础知识2.1离散时间代数Riccati方程在考虑离散线性定常系统的线性二次最优控制问题中，引入了离散时间代数RJccati方程，该方程在系统控制研究中起到了重要作用。x（后）＝彳x（忌）+B“（七）(2-1)x(O)=Xo,=Σ々xr（尼）＠（七）+ℼr（尼）R“（后）】(2__2)k=0厶其中，x（后）∈R”表示系统状态变量，u(k)∈R“表示系统输入变量，A∈R蹦”和B∈R“…均为系统矩阵，Q∈R“”和R∈R””均为对称正定问题：确定最优控制序列｛甜(O),ℼ(1),ⅆ,u(n一1))使性能u(k)=一(R+召7’PB)-1BrPAx(k)(2-3)其中，尸为DTARE彳r尸4一尸一ArPB(R+BrPB)-1BrP4+Q=0(2-4)的对称正定解矩阵。。在式(2.4)中，令R=I,得4r剐一P—ArPB(I+B71PB)-1BrPA+Q=0(2—5)我们称方程(2.5)为标准DTARE。同样地，称方程么r刚一尸一（么7’P口＋三）（尺+BrPB)一1(Br以+Lr)+Q=0(2-6)为一般DTARE。其中L∈R“肘。在式(2.6)中，将彳换成么＋鲋，得（彳+Δ锄rP(A+AA)一P一【(4+Δ由rPB+L](R+BrPB)一1【（彳+Δ锄丁PB+L]7’+Q=O(2-7)称方程(2.7)为PDTARE。假设方程(2.7)中鲋满足下列条件之一：(1)非结构不确定性即存在万＞0,使得q(Δ彳（尼≤万或0.Δ彳（尼）II≤万，七=o,1,2,ⅆ其中，q（鲋（后））和0削（后）忙万分别表示鲋（七）的最大奇异值和范(2)强结构不确定性即存在非负矩阵D（每个元素均为非负数），使得.1鲋（后）I≤D=其中，I鲋（后）J表示鲋（七）的模矩阵，即由鲋（尼）的元素的模组成的(3)范数有界不确定性即AA=DFE其中，D∈R“5,E∈R&ℽ为已知矩阵，F∈R“7为未知不确定矩阵，但满足FrF≤I,或FrF≤p:,,P>0是已知常数，，是相应维数的单位矩(4)矩阵多胞型结构不确定性即存在已知矩阵巨∈R“”,未知参数l,i=1,2,ⅆ,J其中，ℸ,耳，I均是已知常数。2.2连续时间代数Lyapunov方程在考虑连续线性定常系统的稳定性分析问题中，引入了连续时间代数Lyapunov方程，该方程在系统控制研究中同样起到了重要作用。戈fn=Ax(t),f≥0.,x洒：⅐~(2-8)其中，x(r)∈R”为，z维状态，状态空间原点即x=0为系统的一个平对于刀维连续时间线性时不变系统系统(2.8),原点平衡状态艺=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个n×玎正定对称矩阵Q,连续时间代数Lyapunov方程彳r尸＋以＝一Q(2-9)有唯一刀×刀正定对称解尸。在式(2.9)中，将彳换成么＋鲋，得（彳＋削）1尸+P(A+AA)=-Q(2-lO)称方程(2一lo)为摄动连续时间代数Lyapunov方程。其中鲋同2.1节。2.3连续时间代数Riccati方程在考虑连续线性定常系统的线性二次最优控制问题中，引入了连续时间代数Riccati方程，该方程在系统控制研究中起到了重要作用。够2彳x(ℸ)+B“(ℸℹ(2-11)x(to)2Xo,㈨】＝芎1CIxT(,)@(f)+UT(r)尺“(f)】衍(2-12)其中，x(f)∈R”表示系统状态变量，甜(r)∈R”表示系统输入变量，A∈R脓”和B∈R“”均为系统矩阵，Q∈R“”和R∈R””均为对称正定矩阵，且设么是可逆(f)∈R7,使性能指标J达到最小值。甜(,)=-R叫B。Px(t)(2—13)其中，尸为连续时间代数Riccati方程彳r尸＋尸4.__尸础-187’e+Q=0(2.14)彳r尸＋剐+PRP+Q=0(2.15)为标准连续时间代数Riccati方程。在式(2.15)中，将彳换成彳+鲋，得（彳+AA)1P+P(A+AA)+尸＿尺P+Q=0(2—16)称方程(2.16)为摄动连续时间代数Riccati方程。文中R“”表示聆×疗阶实矩阵集合，厶表示n阶单位矩阵，q(X)和允。(X)分别表示X∈R””的第f个奇异值和第f个特征值，并假定矩阵x=Xr∈R“”的特征值、奇异值均按递减顺序排列，即A(x)≥如(x)≥…≥以(x)!Crl(X)cr2(X)≥…≥吒(X)。本章给出了代数阵Riccati方程与Lyapunov方程的基本概念，第3章离散矩阵方程解的估计3.1一般离散矩阵Riccati方程解的迹的下界本节研究一般DTARE解的估计问题。首先，利用矩阵求逆公式给出DTARE的等价形式；然后，通过矩阵特征值和矩阵迹的性质，推导出DTARE的解矩阵的迹的三个新的下界；最后比较说明了这些下界考虑DTARE彳rP4一尸一（彳7’eS+L)(R+B7’PB)-1（召rP4+F)+Q=0(3.1)其中，彳，Q∈R“n,B,L∈R“”,R∈R””均是常值矩阵，且Q=Qr和(Q一三R-1Lr)=(Q—LR-1r)r是半正定矩阵，R=Rr是正定矩阵，P=Pr>0是矩阵变量。方程(3.1)在控制论中占有核心地位，在系统设计、信号处理及最优控制等领域具有广泛的应用。通常情况下，需要求解方程程求解将变得相当困难，而且在许多控制应用中有时估计，而不需求方程的精确解，因此对此类方程解矩和理论意义。近年来，许多学者对标准离散时间Riccati方程，即么，尸4一尸一A71PB(I+B7’eB)一1BrP4+Q=0的解的研究产生了很多成果，但对一般Riccati方程的解的研究相对较少，本节给出方程(3.1)的解矩阵的迹的几个新的估计结果，从应用角度看更Itl8133^341对于适当维数的矩阵Ⅳ,】，，Z,∥,有（形+ZX"一1n~=W~一W一1Z(X+YW一1Z)一1肼一12DTARE(3.1)等价于P=彳。(P_1+肋。）_1彳+Q(3—2)哈尔滨理T大学理学硕十学位论文其中，彳=A—BR-1F,百=BR。坨，。耍=O—LR—F,以下同。并且由文献【22】有仃（尸）≥护（互）＋器2岛萨层＋［届2+4五（肋7)乃(Q)】¨2届=1一丸（彳2彳）一A（船。）乃(Q)证明将式(3.1)打开得P=A7’刚一（彳rPB+L)(R+B7’PB)-1(Br刚+F)+Q=彳rP彳一ArPB(R+BrPB)一1BrPA—A丁PB(R+B7’PB)一L(R+BrPB)一1BrPA—L(R+BrPB)一1F+Q(3-3)利用引理3.1有’(R+BrPB)~=R~一R一1Br（尸一1+BR一1Br)BR一1P—PB(R+召7’PB)一1BrP=(P一1+BR一187’)一1由P(P一1+BR-1Br)=(,+PBR-1Br)得P=(I+PBR-1Br)（尸-1+傩-1Br)一=PBR一187’(P一1+BR一1Br)一1+（尸一1+BR一18[P—PBR一187’（尸_1+BR-1B7’)-1]BR~=(P-1+BR一187’)。BR__1即PBR一一尸BR一1曰r（尸一1+BR—Br)__1BR~=(P一+BR-1B7’)-1BR__1应用式(3.4)知PB(R+∥PB)~=(P一1+BR__1Br)-1BR-1同理可证‘（尺+B71PB)一1尸B=R一1Br（尸一1+BR-1Br)一1故由式(3.3)得P=A7’（尸一1+BR一1召7’)-1彳一彳7’（尸一1+BR一1871)一1BR__1r—LR一1召7’（尸一1+歙-1Br)~A—L[RBr(P一1+BR-1B7’)-1BR-1】∥+Q=(A—BR-117)r（尸。+BR一1Br)-1（彳一BR-1∥)+(Q一三尺__1F)=Ar(P。＋丽r)-1彳＋委其中，A一=A一歙_1F,否=BR-1坨，豆=Q一三R_1∥,得证。引理3.3【571设彳，B∈R脚，且彳=Ar≥0,B=B7’≥O,则有-12.(3-4)(3-5)哈尔滨理T大学理学硕士学位论文^（彳）tr(B)≥tr(AB)=tr(BA)≥无（彳）tr(B)引理3.4删设彳，B∈R舢，且么=Ar,B=B7’,则对1≤f,J≤n,有乃＋／一l（么+B)≤允，（彳）＋五(B),f+/≤刀+l以＋／一。（彳+B)≥名，（么）＋以（曰），i+j≥刀+l弓I理3.5‘421483487设彳，B∈R删一，且彳＝彳7’,B:Br,A≥B,则对l≤f≤n,有＞tAA)≥以(B)且当彳＞B时不等式严格成立。引理3.6㈣828。829设彳，B∈R…,且彳=Ar>O,B=/之O,则有.tr[(A-I+B)甬而tr(A丽）本小节将推导的解矩阵的迹的三个下界。定理3.1DTARE(3—1)的解矩阵的迹护(P)满足tr（即之tr（奶＋乞（刀乃善再器口62(3-6)证明对DTARE(3_1)的等价方程式(3-2)NNN懒，并据引理3.3、引理3.4及引理3.5,有）－＿）磊（彳7,j)喜j灭才栖＝乃（彳7,彳）芸丁F瓦兰%＝乃（彳rj)薯ri貉之无（彳r才）=—1+—名—j（生Q坠）Aa(Br),移项得证式(3.6)。定理3.2DTAI迎(1)的解矩阵的迹tr(P)满足：tr(P)之tr（易＋气（才丁乃Σj=n—k乃(Q)+1+乃（易五（面，）=63(3-7)0,以(jr才）=0,i=k+l,"。证明对DTARE(1)的等价方程式(3.2)N端同时求迹，利用引理哈尔滨理T大学理学硕士学位论文理3.5,有咿）一仃(Q)之以（刁彳）j=Σn-k+l石j+万l素丽而2/Lh一~』，1。/Ll~上J上J,砸砀，＝窆n-k+。可丽tj(P)≥撕砀，薹＋。雨貉移项得证式(3.7)。注3.1在引理3.2与定理3.1中，若互与矛j奇异，则bl=62=tr(O);但只要以m,（互）≠0,则定理3.20e的63>tr(O)。而在很多情形下会出现这种情况，此时定理3.2比引理3.2与定理3.I都具2中当DTARE(3-1)中取R=厶。。，三=0时式(3-7)将给出相应的标准DTARE的结果。定理3.3DTARE(1)的解矩阵的迹tr(P)有以下关系：旧≥业驾铲＝钆(3-8)、7=乃(j7’一1+丑（丽r)tr（互）证明对式(3二2)两端同时求迹有.tr(P)≥tr(Q)+九(4。么）tr(P叫+BB。）-1由引理6有tr(P—l+丽r)一l≥i巧刁tr弱(P巧）面万，代入上式有^(BB。）tr2(P)一Ntr(P)一tr(Q)≥0解此不等式即得证式(3.8)。注3.2虽然很难直接比较引理3.1与定理3.3的优越性，但从其证明过0时有，b4>tr(O)=61。+13.1翟EDTARE(3-1)中，令系数矩阵么=[1:417],B=[1孑］，Q=[:;三三；三］，R=＝［：；解。TAREc3一,得P=［言呈］，trc一=4。由引理3.2及定理3.t一定理3A有岛=2,62=2,63=10/3,钆=2。例3.2毛EDTARE(3-1)中，令系数矩阵彳＝［：；三三］，召＝［三］，Q=[1G6:],尺=,三=[1f]解。伽(3-1脚≈R8盅卜眦5140巾I理3.1及趣3.1一定理3.3,有包=1,6’=如=1.1250,玩≈1.1328。在此二算例中61为文献【22】中结果，62,63,钆为本文结果，算例说明本文所求结果相对优于文献[22】结果。3.2一般离散矩阵Riccati方程解的估计本节研究一般DTARE解的估计问题。利用矩阵求逆公式及特征值性质，推导出DTARE的解矩阵的界；并建立矩阵迭代对结果进行了改进；比较说明了这本小节仅在DTARE(3.1)有唯一对称正定解的情况下讨论解矩阵的“范围”，即解矩阵的下界与上界。7159]设彳，B∈R“”,且A=Ar>O,B=B71>0,则当A≥B时，有A一1≤B~。8【581463川6设彳，B∈R联押，且A=Ar,B=B7’,则对1≤f,,五+j-1(AB)≤Aj(A)4(B),f+/≤n+1丑+j-n(AB)≥Xj(A)4(B),f+歹≥n+l91591167岳1678设A,B∈R脓”，若A≥B>0,那么对任意U∈∥7有UrAU≥UrBU≥0。定理3.4设DTARE(3.1)的唯一对称正定解为尸，则有P≥彳71(x91+丽r)一A+Q兰五(3—9)其中托=A1（缈__1I+BBl)叫彳+Q(3一lO)缈＝而1崩糍鬻器丽pⅢ’+五l｛彳。B［砑1(Q),+B。B]_1召。么）、7证明利用式(3-2)、P≥以（尸），及引理3.7、引理3.9,有P≥4。【行1(P),+胎7】.1彳+Q=(3—12)以（尸）彳1[,+以（尸）BB。】-1彳+Q=以（尸）彳1[I+曰（屯(P),)B。】-1A+Q利用引理3.1又有P≥乃(P)彳1{,一B［衙1（尸），＋曰7B】-1曰7)彳+Q=以(P)么。｛，一九(P)B[,+以（尸）召1曰】-1曰1>么+Q由式(3-2)及(P-1+丽r)-1>0知尸≥耍，由引理3.5知乃(P)≥P≥以(Q)彳。｛，一以（尸）B【，+A(Q)B7B】__187)彳+9=以(Q)彳7A+Q一以（尸）以(Q)么7B[I+无(Q)B7B】-187A再由引理3.4、3.5、3.8,知以（尸）≥以｛以（互）才r才＋互一无(P)以（互）互r吾【』＋丸（互）否7’否】-1百r才）≥乃【以（互）jr彳＋互】＋以｛一丸（尸）以（互）彳r研，＋以（互）百7’司-1百r彳）≥以［以（耍）彳rA+Q1一以(p)丸（互）A｛互r百【，＋无（互）否71百】。百r彳）即以cP)≥了；j忑荔拳畜耋耋笔多蒡｛‰暑妒(3一t3,由乃（尸）≥伊及引理3.7易得（行1(P)I+BBr)-1≥(P-1I+瓦百71)__1(3.14)由式(3—12)、(3—13)、(3—14)及引理3.9有P≥A1（伊叫I+肋。）-1彳+Q三Xo再次由引理3.7得(P__1+丽r)一1≥（材，＋面r)_1(3—15)将式(3.15)代入式(3.2)RO得证。注3.3若记G(P)=矛(P一＋丽7’)。1才＋耍，以五为初始矩阵，建立迭代格式五=G（以一1),可以得到一个上有界的单调非减矩阵序列P≥鼍≥…≥五，1对于DTARE(3—1)的唯一对称正定解尸，有丑（尸）≥五(X1),江l,2,ⅆ,r/,tr(P)≥tr(X1),det(P)≥det(XI)。定理3.5设DTARE(1)的唯一对称正定解为尸，若y=A{41【I—B【矸1(Q),+B7B】叫B7】4)<1(3-16)则有.P≤么1［行1(Q)(1一y),+BB7】叫彳+Q暑誓(3—17)证明由式(3.2)有P=彳r(P。1+丽r)一1A一+Q一据P≥丑(P),及引理3.7、引理3.9,有P≤A。【玎1（尸），+BB7】-1彳+Q=^（尸）彳7[,+^(P)BB。】叫4+Q=A(P)么。【I+B(^(P),)B7】叫A+Q(3-18)利用引理3.1,有P≤A（尸）4。｛，一B［矸1（尸），+B1B】-1B7)彳+Q=A(P)彳。A一五（尸）彳7召［订1(P),+B。召］-187A+Q(3—19)由式(3—2)/3乏(P-1+丽r)-1>0知P≥互，由引理3知^(P)≤^（互），代入式(319)有P≤^（尸）彳rj一＾（尸）彳r百［订1（耍），＋百71百】一百7’彳＋蚕=^(P)么。{I-B［订1(Q),+召。B】-1B7)彳+Q由引理3.4、3.5、3.8,知A{A（尸）彳r彳一＾（尸）彳r百［衙1（耍），＋百r百】一1否r彳＋耍）≤A(P)A{41A一彳1B［订1(Q),+B1B】_1B。彳＞+A(Q)因此当式(3.16)成立时，我们有A(P)≤^(Q)/(1一y)(3—20)将式(3-20)代入式(3—1)即得证式(3-17)。注3.4若以巧为初始矩阵，并由式(3-2)建立迭代格式K=G(K一。可以得到一个下有界的单调非增矩阵序列P≤K≤…≤斯，当彳非奇异时，该序列中的矩阵均为对称正定矩阵。注3.5定理3.5中y<1成立的充分条件为特别地，当蠢（百）=0时充分条件为q（彳）<1。沙＝五｛才7’[,一百［矸1（耍），＋百r百】-1百r】彳≤&(7ta7’)A{,一百［订1（耍），＋否7’百】。百r)=五（砑r){1一屯［丽r［矸1（互），＋否r百】。1】）≤五（彳彳2){1一A(BB7)乃［矸1(Q),+B2曰］__1>=^c刀Ⅺ一斋篱呙／／，＝以I以I∥J』+DIAc砑m一衰黑南//,=^ℸI∥J十以I占J相）[1一勰】化简即得2对于DTARE(3—1)的唯一对称正定解尸，有五（尸）≤以（巧）(f=1,2,ⅆ,力），if(P)≤tr(K),det(P)≤det(YO。注3.6在文献[36】中给出DTARE(3.1)的解矩阵的下上界分别为P≥jr（耍＿＋丽r)qd一+Q一三曰，P≤才7’（丽r).1彳＋互三#,誓≤最，并且在[36】中墨的计算要求丽7’是非奇异的，若丽71奇异则定理失效，而本文不需要这个要求。彳＝［兰斟B=瞄斟Q=瞄斟R=R1.0012斗0哺1.0。呈35]=ll,三=Il1.1I1.I解。TARE(3一，得P=l二絮三三呈呈雩雾；I,由定理3.4求得尸的下界及其改。，l7.81060.6546I。，I7.811o0.6552IAl—ll,^1一I1l0.65462.5277l‘2l0.65525277ly—l7.84340.7081I’,一l7.81100.6553I110.7082.613l’14一1..5270708360655325277l1I1I耳..1利用文献【36】中结果所得下、上界分别为,I7.806l0.6454I,l7.87250.7357l厶12Il’Z,2l110.64542.5077l210.73572.6700I易见Z2≥巧≥K≥P≥X2≥置≥zl,本文结果优于文献[36】。本节对一般DTARE进行了讨论，得出其解矩阵的上下界估计，并使用迭代格式对其进行了改进。已有的标准离散时间代数Riccati方程及Lyapunov方程解的界的估计是本文结果的特例。3.3摄动离散矩阵Riccati方程解的估计本节研究PDTARE解的估计问题。利用矩阵运算性质给出在一定的不确定式与一个离散时间代数Riccati方程(DTARE)确定，最后通过一个算考虑PDTARE(A+z-071以彳+Δ由一P一彳+Δ句rPB+L](R+tFPB)__1【(4+Δ锄rPB+L]r+Q=O(3—21)其中，A∈R取”是稳定矩阵，Q∈R“”,B∈R“肼和R∈R删”均是常值矩阵，且rank(B)=n,Q=Or>0和R=Rr>0是对称正定矩阵，P∈R““是矩阵变量。A,4∈R“”为不确定矩阵，表示矩阵么的结构摄动，假设A,4Q={AA:AA7’A,4≤0)(3-22)进一步，对方程(3.21)假设矩阵对(4+鲋，Q“2)是可稳的，即假设此时摄动离散时间代数Riccati方程存在对称正定解尸。.DTARE广泛应用于工程系统理论的各个领域，特别是控制领域。由于在实际问题中不可避免地存在不确定因素，使得DTARE常常成为PDTARE,因此研究PDTARE解的问题就变得非常重要。目前关于此问题的研究结果还很11仅文献[37】对鲋满足范数有界不确定性的标准DTARE解的上下界进行了估计。本节在文献[37】的基础上继续讨论PDTAI也，给出不确定性满足10PDTARE(3.21)等价于,一+-p=（彳＋鲋）r（尸一＋丽r)。（彳＋鲋）＋耍(3-23)其中，才，百，孬所表示意义同引理3.2,以下同。11160]对于离散时间代数Riccati方程彳1（墨叫＋置）叫么一丑+g=0彳1（巧1+恐）-1彳一最+Q2=0其中，层-1+R1>0,巧1+RE>0。若Q≥Ql,墨≥恐＞0,则最≥12[61】设W∈R“”W≤O"1fw)i证明反证。1若w-c,(w)1>.0,则存在正定矩阵Q满足方程形一q(W)I-Q=0），)2,+I去(q(W)l)+Q=0二Z这是一个连续矩阵Lyapunov方程，其对称正定解是，。因此，qq(∥)=√因而允(q（形），一肜）=q(∥)一见(∥),O"1(w)i—W的特引理3.13t621设形，y为一定维数的矩阵，则有yrW7’孵<-4（形）yrV证明对任意适当维数的向量X,记Y=Vx,则有x71矿7’WrWVx=yTw7’Wy≤丑（形rW)yrY=砰(∥)x7’VrVxy7’W7’WV≤砰（肜7’w)v7’V引理3.14‘631设么，D,E和F是相应维数的矩阵，RFⅣF≤,。则(1)对任意正定矩阵R>0,和任意满足R—sDD日＞0的正数占＞0,都有(A+DFE)ⅣR一1（彳＋伽）≤彳HR一￡DD何）～彳+6-1EHE(2)对任意正定矩阵R>0,和任意满足占，一ERE日＞0的正数占＞0,都有(A+DFE)R(A+DFE)日<__ARA片+AREⅣ(s,一EREⅣ)。ERAⅣ+占DDⅣ定理3.6若存在常数口＞0,.0<6<1和对称正定矩阵日满足#一1+万丽r>口L眉：2r(el一彳+!Q(△爿）＋耍口则方程(3-21)的解P满足尸≤el。.证明设(3-24)(3—25)M=彳7’（互-1+万历r).1p厶一（互_1+万丽r)一1】一m—AAr[1-i.一（互一1+万丽r)一1】172CA:ℼ由鲋rAA≤Q(zxa),可得0_<MMr=刀（彳1+6丽7’)__p厶一（耳1+万丽r)一1】一1（耳1+6面r)-1j一“鲋r（彳1+癍r)-1A一一彳（彳1+脚7’)一鲋＋鲋rp厶一（暑一1+俩7’)一1]鲋=ℼ彳r（置一1+万瓦百r)一1【土L一（名一1+万百百7’)一1】一1（舅一1+万豆百r)一1彳一U（彳＋鲋）7’(el一1+6丽7’)一1（彳＋鲋）＋土鲋rM+j7’（舅一1+艿丽7’)一1才≤・口彳r（互.1+万面r)一1【三厶一（名_1+万丽7’)一1】一1（日一1+万丽r)一1彳一“(2+zXA)r(P1—1+万面r)一1（才＋鲋）＋土Q（鲋）＋矛（互一1+艿丽7’)一1彳兰W“10及式(3—25)有#=（才+aA)7’(#一1+万否否7’)一1（才+△彳）＋豆＋形(3.26)取Q=Q一，Q=互＋矿，Rl=丽r,R2=万丽r,应用引理3.11,将式(3.23)与式(3—26)相比较得P≤日。定理3.7若存在常数∥>0,7>1和对称正定矩阵只满足.21.哈尔滨理T大学理学硕士学位论文￡=jr（巧1+y面r+∥厶）q彳一去Q（鲋）＋互(3.27)p则方程(3-21)的解尸满足P≥只。Ⅳ=矛(Pfl+rBBo一唁厶“∥吖丽o。】-1/2+鲋7’唁厶“掣岬丽o。1】l佗由鲥r鲋≤Q（鲋），可得0<NN7’=矛（巧1+脚r)_巴厶＋（巧1+万面r)。】-1（巧1+廊7’)-1彳+P幽r（巧1+脚r)_1j+才（巧1+7面7’)一鲋＋幽7’已厶＋（巧1+7动r)-1】削=pj7’（巧1+7丽71)-1［去厶＋（巧1+y丽r)-1】-l（巧1+7丽r)__1彳+p（彳＋鲋）r（巧1+7丽r)。（彳＋鲋）＋去鲋71鲋一矛（巧1+y历r)一1彳≤P刀（巧1+廊r)_1巴厶＋（巧1+廊7’)__1]-l（巧1+7面7’)-1彳+p(j+鲋）r（巧1+脚7’)。1(j+鲋）＋去Q（削）一矛（巧1+廊r)。A--VP利用引理3.1及式(3.27)有最＝（彳＋幽）r（巧1+y丽r)一）＋(3.28)取g=互一V,92=互，RI=y丽r,恐＝面r,应用引理3.11,将式(3—23)与式(3—28)相比较得P≥B。注3.7在M满足一定的不确定性结构时，可以给出对应的o(aa),从而使矩阵Riccati方程式(3-25)和式(3—27)可具体求解。下面将分别给出鲋满足不同的不确定性结构时Q（削）的构造。情形1假设鲋满足非结构不确定性，即q(△4)≤万，万＞0其中，吼为矩阵的最大奇异值。推论3.3若削满足非结构不确定性，则在定理3.6中的式(3—25)与定理3.7中的式(3.27)式中可取Q（鲋）＝万2I(3.29)证明由引理3.12立得。情形2假设削满足强结构不确定性，即l鲋I<D=(do)~其中，AA=(Aal,)~,AA=(}出口1)ⅆ,且I刎阵D表示IAa矿I≤dl,。由于，对任意向量x∈R”,x=（五，X:ⅆ,吒）r,有x1幽她=Ext如畦Aajx3silE(x,Aa虹曲畦xI+xj曲畸蛔畸xj、）=i,j,k=l‘iag｛群Dj}xf,k=lf,k=li=lk=1.其中，口记为D的第f个列向量。于是。、鲋。AA≤.diag{D:Df)推论3.4若鲋满足强结构不确定性，则在定理3.6中的式(3.25)与定理3.7中的式(3.27)式中可取Q（鲋）=ndiag{D,rB)(3—30)情形3假设鲋满足范数有界不确定性，即AA=DFE其中，D∈RgIX￥,E∈Rh”为已知矩阵，F∈R“。为未FrF≤P2I,P>0由于对任意向量X∈R”,利用引理3.13有,鲋rAAx=xrErF7’DrDFEx≤砰(D)xrE7’FrFEx≤P2砰(D)xrErEx鲋r鲋≤P2砰(D)E7’E推论3.5若鲋满足范数有界不确定性，则在定理3.6中的式(3—25)与定理3.7中的式(3.27)式中可取Q(△4)=P2q2(D)E丁E(3—31)情形4假设鲋满足矩阵多胞型结构不确定性，即J已鲋=∑珞最k=l一rk推论3.6若鲋满足矩阵多胞型结构不确定性，则在定理3.6中的式(3—25)与定理3.7中的式(3.27)中可取Q（鲋）＝朋∑瓦2《T巨(3—32)定理3.8对PDTARE(3.21),假设鲋满足范数有界不确定性（情形3)。若存在s>0,使得丽7’一e.DDr>0,且满足刁=A{jr［厶一A（勐（否一占功【厶脚＋丑（扬（否叫1（否一￡功】。1)（秀D)ℹ】力｝<l(3-32)则有尸≤彳7’［订1p-1ErE+互）(1一叩）厶＋丽r—eDD7’】-12+e-1E7’层＋耍耋B(3—33)证明由P-1+丽r一6DDr2丽r—e,DDr>0及引理3.14有P=彳7’(P一1+瓦百r)一1A一+Q一≤互7’(P-1+豆瓦7’一gDDr)-1彳+s-1E7’E+互据P≤A(P)厶及引理3.11,有P≤71r【订1(P)厶＋丽r一占DDr】__12+E-1E7’E+豆≤(3—34)3a(P).41厶+A（尸）面7’一以(P)DDr】一12+6。1E71E+O=五（尸）彳7’［厶＋（百一占D)（丑（尸）L+。））（百D)1-i2+E-1E7’E+互1,有p--4q'晤≯(/.ℴ圆一吐》阿1∽k曲（秀q7圆一￡功r)（云日1瘤＋一m亘=A（尸）才r｛厶一A(D（秀一￡D)［厶m+A（尸））（否D)1（否-6D)]-1)（秀D)2)才+矿1ETE+O由式(3.23);R(P-1+丽71)一1>0知P≥Q,由引理3.5知五(P)≥^(Q),代入上式有P≤五(D才71｛厶一五（揪否一￡D)［厶帕＋五（易）（否D)2（否一￡D)]。）（否功1)力+s一1ErE+由引理3.4知A（尸）≤五（尸）五｛才7’｛厶一五（劲（否一删［厶w+丑（勘（否D)2（秀一￡D)】。1)（否D)2)才）+A@。1E。E+Q)‘即有3a(P)≤—3a—(e'-了'E—rE—+一Q)(3-35)l一｜｜将式(3.35)代入式(3.34)并结合引理4即得证。注3.8定理3.8的方便之．处在于不需要求解类似于定理3.6和定理3.7中的矩阵不等式和矩阵方程，解矩阵的上界只完全由方程(3.33)中的例3.4:i生PDTARE(3—21)中，令A,4满足范数有界小确足1I,曰：Io1I,D:lo033o2I100.5l10.10.4ll0.0120.024lE=愕斟M,Q=l三翟：嚣l,川解易见百=B,且丽7’=f-。0..1l。0。0。0。0:3..。077。0。0。0。0-I,由推论3.5可算得一一425。．。划(I)经槲脯在….os一凹及岛-I黑苫筹陋规3.6的条件(3.24)式和(3.25)式，故只是方程(3.21)fl,jl辑P的上界，而由文献【37】中触求得的上删为叫_I搬嚣I,易见咫删’；(II)经求黼，存在舢.4,川暇罡=I裟三嬲陋定理3.7的条件(3—27)x-￡,故昱是方程(3.21)I懈P的下I界－，而由文献【37】旱定理2求得的下界o’为：县，=l［一0。..112。2939-一1140。929-I,易见P≥昱≥g;(III)存在s=+20'黻‘13.8的条氟3—32)式与(3.33)式，于是可得方程(3.21黼P的上界E=眺104657：嬲I,且删郇弘本节对PDTARE进行了讨论，得出满足一定条件下PDTARE解矩阵的上下界估计。文[37】中也讨论了PDTAI也(1)解的估计问题，但其中的不确定矩阵AA仅满足范数有界不确定性，且仅限于R=厶的情况，因此本节结果为[37]的椎广．活府可一船的情汛.本章给出了离散时间代数Riccati方程解矩阵的迹、解矩阵以及摄动离散.25.时间代数Riccati方程解矩阵的上下界的估计。在3.1节中对一般DTARE进行了讨论，得出其解矩阵迹的三个下界估计；3.2节中对一般DTARE进行了讨论，得出其解矩阵的上下界估计，并使用迭代法格式对其进行了改进；在3.3节中对PDTARE进行了讨论，得出满足一定条件下PDTARE第4章连续矩阵方程解的估计4.1摄动连续矩阵Lyapunov方程解的估计本节讨论PCTALE解矩阵的估计。利用矩阵运算性质给出在一定的不确定性假设下其对称正定解矩阵的上下界的估计，且界的估计由一个连续时间代数Riccati方程(CTARE)或由一些方程与不等式给出，同时给出了PCTALE存在对称正定解的条件，最后通过数值算例说明所得结果的了有效性。4.考虑摄动连续时间代数Lyapunov方程(PCTALE)(A+AA)1P+P(A+AA)=一Q(4—1)其中，A∈R“”与Q∈R“”是给定的常值矩阵，并且Aif:R“”是渐近稳定的，Q=Qr>0是对称正定矩阵，鲋∈R“”为不确定矩阵，表示矩阵彳的结构摄动，假设AA∈R“”满足AA∈Q=｛鲋：AA71AA≤0)(4—2)进一步，我们假设(Q¨2,彳＋鲋）是可稳的并且在方程(4.1)中的么+鲋是渐近稳定的，此时方程(4.1)有唯一对称正定解【44】423书1。CTALE广泛应用于控制系统的分析与设计之中。有时，在应用中我们仅仅需要知道这些方程的解的估计而不必要去求其精确解，而且CTALE解的估计在许多控制问题，例如摄动时滞系统的稳定性分析问题问题的综合与分析等方面有着广泛的应用。但在实际用精确的数学模型来描述，故PCTALE的应用更加广泛。到目前为止，这方面的研究还很少，仅有少量文献对摄动离散时间代数Lyapunov方程解矩阵的界进行了估计，但目前还没有文献对摄动连续时间代数Lyapunov方程解矩本节运用矩阵特征值的性质、矩阵的性质以及一些不等式的性质对方程(4.1)的解矩阵的界进行估计，同时给出方程(4.1)存在对阵正定解的条件，并引理4.It651对任意的矩阵彳，B∈R“”,有彳71B+BrA≤口2A7’A-I-口-2B7’B成立。其中，口∈R,口≠0。定理4.1P为PCTALE的对称正定解。若存在对称正定矩阵只满足彳。#-I-e,A4-ER,-1墨=-Q-gt(R1)Q(△4)(4—3)-II、,、’则方程(4.1)的解矩阵尸满足P≤日。其中墨是任意给定的对称正定矩N=盯“2只一硝他AA由鲋rAA≤Q（鲋），我们有0≤NrN=日耳1量一AAr互一只鲋＋鲋rRIA,'I≤置矸1日一削r互一毋鲋-I-五（尺1)aAr鲋≤(4—4)B耳1日一鲋7墨一墨鲋+A(R1)Q（鲋）兰V由式(4.3)与式(4.4),有（彳+M)丁眉＋日（彳+M)=-Q-V(4—5)比较式(4.1)与式(4.5),我们进一步得到（彳＋鲋）71（日一D+（互一P)(A+zk4)=一V(4—6)因此有写二P=fexp[(A+AA)rt]Vexp[(A+AA)t]dt>__0(4.7)定理得证。推论4.1在定理4.1中取墨为置＝百1厶，其中常数q>0。如果存在对称正定矩阵只满足彳71互+E彳＋叠墨2=-O-可1Q（削）(4-8)则方程(4.1)的解矩阵P满足P≤只。定理4.2设尸为PCTALE的对称正定解。若存在对称正定矩阵另满足么71B+最彳-P:R;1最＝一Q+Yq(R2)Q(M)(4—9)则方程(4.1)的解尸满足P≥O>A(R2)Q（鲋）。证明设M=B一172只＋足172AA由鲋r鲋≤Q(AA),我们有0≤MrM=最巧1最＋鲋r最＋最鲋＋鲋r足AA≤B《1￡+鲋。B+￡AA+A(R2)鲋1A,4墨巧1墨＋鲋7昱+￡鲋＋＾（恐）Q（鲋）三渺由式(4.9)与式(4—10)有（么＋鲋）1只＋只（彳+△舯=ℴp+比较式(4.1)与式(4-11)我们进一步得到因此有尸一只＝【e)【p［（彳＋鲋）7t]Wexp[(A+&4)t]dt≥0(4—10)(4-11)(4-12)(4—13)定理得证。推论4.2在定理2中取R为R:=巧1L,其中常数乞＞0。如彳1昱＋昱4。乞置＝一Q+丐1n(AA)(4-14)则方程(4.1)的解P满足P≥只。注4.1虽然很难取定足，尺，使得所得到的上下界是最好的，但是如何选择最佳参数蜀，和岛我们可以参考文献[13】。注4.2在定理4.1与定理4.2中的对称半正定矩阵n(AA)与鲋有关，因此在满足具体的不确定性时n(AA)可以给出其具体形式，可以类似于推论4.3。推论4.3假设鲋满足范数有界不确定性，即鲋=DFE,其中D∈尺BX￥,E∈R投”为已知常值矩阵，F∈R“7为未知不确定矩阵，但满足FrF≤Ij,则定理4.1与定理4.2中的O(AA)可以取为n(AA)=《(D)E1E(4-15)于是式(4.3)变为彳7层＋眉彳＋蜀露2.____一Q—i1砰(D)E1E(4-16)IIIJ—II、、且式(4—9)改写为一彳7只+￡彳一岛巧＝一Q+巧1《(D)E。E(4-17)‘I、，、证明对任意X∈R”,我们有xr△彳7’A,,Ix=xrErFrDrDFEx≤砰(D)xrE7’Fr胁≤砰(D)x7’E7’Ex因此哈尔滨理1=大学理学硕士学位论文鲋rAA≤砰(D)矿E=Q（鲋）定理4.3设P为PCTALE(4-1)的对称正定解。若存在对称正定矩阵E,常数口，∥∈R,使得只＝叫Q一口2H】1陀(4—18)Q一口2H>0(4—19)其中肚(1+∥2)∥A+(1+去）Q（州）(4-20)则方程(4-1)的解尸满足尸≥与。证明由式(4.1)及引理4.1,我们有Q=--(A+A4)7尸一尸（彳+Δ4)≤11P2+of2（彳＋鲋）7’(A+AA)(4—21)口使用引理3.12,对任意∥>0,我们有（么+zxa)r（么+ΔArA+ArAA+Δ似r+鲋rAA≤ArA+∥2ArA+』÷鲋r么r+鲋rAA≤182.(1邯2M‰A(1+寺冲㈣）(4-22)将式(4—22)代入式(4—21),得p≤去P2+口2H一口‘R与s>0使得式(4-19)成立，则有P≥B。推论4.4假设鲋满足推论3中的不确定性，则定理4.3中的日变为H=(1+f12)彳r么+(1+i1Jq2(D)E7’E(4—23)/J一推论4.5设P为PCTALE(4.1)的对称正定解。若存在对称正定矩阵只，常数7,占∈R及s>0使得只=y【Q—y2G】1坨(4—24)Q—y2G>0(4-25)其中G=A7’(,一eDD71)彳"l-e—ErE(4.26)则方程(4—1)的解尸满足P≥只。哈尔滨理T大学理学硕十学位论文证明由式(4一1)及引理4.1,我们有Q=ℴ_1F户2+y2（彳＋鲋）7’(A+AA)(4.27)y由引理3.12,对任意占＞0,我们有(A+LXA)r（彳＋幽）≤Ar(,一6DD7’)彳+s__1ErE=G(4.28)将式(4-28)代入式(4.27),得Q≤二丁P2+72G7因此若存在y∈R与s>0使得式(4-24)成立，则P≥P4。注4.3作为平行结果，定理4.3可以作为定理4.2的一个补充。定理4.4假设P>0为CTALE(4.29)的解A。P+PA.=--Q(4-29)存在。在条件(4.2)的假设下，彳＋鲋是渐近稳定当且仅当存在常数万∈R使得一Q+{}尸2+万2Q(Δ彳）<0(4-30)D证明我们假设CTALE(4-29)的解P>0存在，由引理4.1我们注（彳＋鲋）7尸十尸（彳＋削）=ℴQ+鲋1P+删≤一p+ℴ【_P+Δ爿rAA≤一6‘1-Q+专P2+赋叫）D因此，若存在万∈R使得式(4.30)成立，贝JJPCTALE(4.1)的解乒＞0存在。推论4.6假设鲋同推论4.3,则定理4.4中的式(4.30)变为一Q+壶P2+万2砰(D)E7’E<0(4-31)推论4.7假设鲋同推论4.3,CTALE(4-29)的解P>0存在。在条件(4.2)与(4-15)下，彳＋鲋是渐近稳定的，若存在刁∈R使得一Q+去PDDrP+r12E7’E<0(4-32)刁证明类似定理4的证明。哈尔滨理T大学理学硕十学位论文例4.1在PCTALE(4-1)中，设AA∈R“”彳＝瞄坍Q=［乏警］＝＝0490螂014]FDFE00140038咖0~COS0I]鲋==ℹI|l1..II口lIl由推论4.3可以得到Q（彳）＝砰(D)(I)经求解知，存在61=0.2与Riccati方程(4-16),因此尸≤墨；340l0.0034204,9635]满足推论4.3中的(II)经求解知，存在岛＝。.1,最’L0。。4492023:..02412427]满足推论4.3中的Riccati方程(4—17),因此尸≥最。本节讨论了PCTALE解矩阵的界，给出了满足一定假设条件下解的上下界的估计，到目前为止还没有文献对这类问题进行讨论。同时，我们给出了PCTALE存在对称正定解的条件。最后，通过数值算例数明了部分结果的有效性。4.2摄动连续矩阵Riccati方程解的估计本小节讨论摄动连续时间代数Riccati方程(PCDARE)解的估计。通过Schur补和矩阵不等式的一些性质给出满足一定条件下解矩阵存在的考虑摄动连续时间代数Riccati方程PCTARE（彳＋幽）r尸＋尸（么＋鲋）+P足P+Q=O(4—33)其中，A∈R胁”与O∈R“”是给定的常值矩阵，并且A∈R“一是渐近稳定ⅪO沁得O66n订M一¨一5D.豇L一1Q=Qr>0,R=R7’≥0是对称矩阵，且（彳＋鲋，Q¨2)可稳，AA∈R“”为不确定矩阵，表示矩阵么的结构摄动，假设AA∈R“”满足范数有界不确鲋=DFE(4-34)这里，D∈R“3,E∈Rk”为已知矩阵，F∈R刚为未知不确定矩阵，但满足FrF≤I。但在实际应用当中，由于各种系统难以用精确的数学模型来描