2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第16讲 三角形的复习（讲义）解析版

第16讲三角形的复习

本章学习了三角形的有关概念以及三边之间的关系、内角和的性质，讨论了三角形的分

类；学习了等边三角形的概念、性质以及判定方法.在此基础上，进一步学习了等腰三角形

的性质与判定；再对等腰的特例等边三角进行研究.

三角形全等是本章节的重点内容，利用全等三角形的判定和性质，可用来判断几何图形

中某些线段、角的关系，结合等腰三角形和等边三角形的特性，证明三角形全等.

一、单选题

1.（2019•上海市市西初级中学七年级期中）下列三条线段能组成三角形的是（）

A.1,2,3B.15,5,21C.2,5,4D.1,1,亚

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系定理即可得.

【详解】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边

A、1+2=3,不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意

B、15+5<21，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意

C、2+4>5,满足三角形的三边关系定理，此项符合题意

1）、1+1<石，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键.

2.（2019•上海市梅陇中学八年级期中）如图，在AABC中，D为BC边上一点，ZDAE=

ABAC,NDEA=ZC,ZB=30°,则ZADE的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和可判定NADE=/B,即可得解.

【详解】：在4ABC和AADE中，ZDAE-ABAC,ZDEA=ZC,ZB=30°>

ZBAC+ZC+ZB=ZDAE+ZADE+ZDEA=180°

二/ADE=/B=30°

故答案为A.

【点睛】此题主要考查三角形内角和定理的运用，熟练掌握，即可解题.

3.（2021•上海市川沙中学南校七年级期中）如果NA=NB—NC，那么AASC是

（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理得到N/+/8+NG=180°,则N/+NC=180°-ZB,由

/4=/笈-/，变形得//+/0/6,则180°-乙B=NB,解得/6=90°,即可判断^

/%的形状.

【详解】解：••,//+N8+NC=180°,

.•.//+/g=180°-NB,

而N4=N8-NC,

A180°-NB=NB,解得N6=90°,

...△/8C为直角三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟知三角形的内角和为180。.

4.（2021•上海市川沙中学南校七年级期中）如图，已知在△ABC中，NA=90°,

N1+N2的度数是（）

A.180°B.270°C.360°D.无法确定

【答案】B

【分析】根据平角的性质及三角形的内角和定理即可求解.

【详解】VZl+ZG4/^180°,N2+N烟=180°

二/4耽/6K4=360°-Z1-Z2

VZ^+Z6H4+ZJ=180",ZA=90°

，360°-Z1-Z2+900=180°

.,.Zl-Z2=270°

故选B.

【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关健是熟知三角形的内角和定理.

5.（2019・上海七年级期末）用下列长度的三条线段首尾顺次联结，能构成等腰三角形的

是（）

A.2、2、1B.3、3、6C.4、4、10D.8、8、18

【答案】A

【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可对各个选项进行判断.

【详解】解:A、•••1+2=3>2,则2、2、1可以构成三角形,又：2=2,二？、2、1能构

成等腰三角形，故本选项正确；

B、•；3+3=6,则3、3、6不能构成三角形，.・.3、3、6不能构成等腰三角形，故本选项

错误；

C、•.•4+4=8<10,则4、4、10不能构成三角形，,4、4、10不能构成等腰三角形，

故本选项错误；

D、•••8+8=16<18,则8、8、18不能构成三角形，；.8、8、18不能构成等腰三角形，

故本选项错误；

故选:A.

【点睛】本题考查了三角形的三边的关系和等腰三角形的定义，正确理解三边关系和等腰

三角形的定义是解题的关键.通常利用两个短边的和与最长的边进行比较，即可判断是否

能构成三角形.

6.（2019•上海七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）

A.含有45°角的两个直角三角形B.腰相等的两个等腰三角形

C.边长相等的两个等边三角形D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合全等的判定方法对各个选项逐一判断即可.

【详解】解：A、含有45°角的两个直角三角形，缺少对应边相等，所以两个三角形不一

定全等；

B、腰相等的两个等腰三角形，缺少两腰的夹角或底边对应相等，所以两个三角形不一定全

等；

C、边长相等的两个等边三角形，各个边长相等，符合全等三角形的判定定理SSS,所以两

个三角形一定全等，故本选项正确；

D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形的腰长或底边不一定对应相等，所以两个三角形不

一定全等，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：

SSS、SAS,ASA,A4S、HL.注意：AAA,S%不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全

等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

7.适合条件/f/斤L/C的三角形一定是（）

3

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形

【难度】★★

【答案】B

【解析】；ZA+ZB+NC=18O°,ZA+ZA+3ZA=18O°.

.♦.24=36。，/.ZB=36°,ZC=108°,，三角形为钝角上角形.

【总结】考察三角形内角和和三角形的分类.

8.如图所示，在△4?。中，N/应是钝角，让点。在射线砂上向右移动，则下

面说法正确的是（）

A.△/!勿将先变成直角三角形，再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

B.将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

C.将先变成直角三角形，再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三

角形

D.△45C先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三

角形，然后再次变为钝角三角形

【难度】★★

【答案】D

【解析】从左往右画出图形即可得到D答案.

【总结】考察三角形的分类.

9.下列四组条件中，能够判定△4?缁△叱的是（）

A.AB=DE,BOEF,/看

B./后ND,/信/EAODF

C.乙花乙E,乙小乙F,AB=DE

D.AB-DE,BC=EF,三角形/8C的面积等于△死厂的面积

【难度】★★

【答案】B

【解析】A答案是“S.S.A”不能判断全等；C答案不是对应角相等；D答案不能判断出来全

等.

【总结】考察三角形全等的判定方法.

10.如图，a'中，Z/J=36°,AB-AC,BC平济NABC,DE//BC,图中等腰三角形的个数有

（）

A.1个B.3个C.4个D.5个

D

B

【难度】★★

【答案】D

【解析】AABC,/\ABD,/XAED,/XBED,△8%均为等腰三角形.

【总结】考察三角形的分类和三角形内角和的综合运用.

11.下列四组三角形中一定是全等的是（）

A.三个内角分别相等的两个三角形

B.斜边相等的两直角三角形

C.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形

D.三边对应相等的两个三角形

【难度】★★

【答案】D

【解析】选项中只有D是是可以判定三角形全等.

【总结】考察全等三角形判定方法.

12.如图，在△4%；中，/力层45°,ZABC=QO°,AD,V、都是高，相交于只角平分线段'分

别交"以CF于Q、S,则图中的等腰三角形的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【难度】★★

【答案】D

【解析】/宓=45°,N4叱60°,AD,6F都是高，

ADAC=45°,：.CDAD,即■是等腰三角形，Zft4£>=30°,ZAPF=60。

NA除60°,且BE是NABC的角平分线，/.NQ3£>=30。，ZBQD=60°

:.SP=SQ,即△as尸为等腰三角形

ABAD=NEBA=30°，；.△是等腰三角形.

•；ZABE=30°，ZAEB=NEBC+ZACD=75°,ABAC=180°-30°-75°=75°

N84C=NA£B,即△力应是等腰三角形

,/ZSBC=Z.SCB=30。，二△肉是等腰三角形.

【总结】考察三角形内角和的综合运用，本题综合性较强，要注意分析.

13.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12谶和21面两部分，则这个等腰三

角形底边的长为（）

A.YlemB.5c/nC.5cm或\1cmD.无法确定

D

【难度】★★★

【答案】B

【解析】如图，由题意可得：AB=AC.AC=2AD=2CD,

当M+/V）=12,BC+CD=21时，可知：3A£）=12,

则45=4,BC=ll.

•；AS=AC=8,3c=17,8+8<17,不符合三角形三边关系，舍去.

当M+AD=21,BC+C£>=12时，可知：3Az）=21,则A£>=7,BC=5

VAB=AC=\4r,BC=5,符合三角形三边关系，...三角形底边长为5.

【总结】考察等腰三角形性质和三角形三边关系的综合应用.

14.若△力比1的三边长是a,b,c,且满足a4=b"+c4,b4=a4+c4-a2c2,

c4=a4+b4-a2b2,贝U△/回（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【难度】★★★

【答案】D

【解析】；a，=匕4+C，—"c?,£>4=a4+c4-crc1,c4—a4+b4—a2b2,

222222

...三式相力口可得+//+c^-ab-ac-bc=O

(a2-b2y+(b2-c2)2+(«2-c2)2=0,a2-b2=0,b2-c2=0,a2-c2=0

，a=6=c,；♦该三角形为等边三角形.

【总结】考察完全平方公式的应用和三角形的分类.

二、填空题

1.（2020•上海七年级期末）如图，在△/鸵中，两个内角/班。与的角平分线交于

点〃若NB=70°,则/〃=度.

B

D

【答案】125

【分析】根据角平分线的性质和三角形内角和定理求解即可.

【详解】'：AD,0是/胡。与的平分线，

力％=180°-(NDAC+NACD)

=180°--(NBAONBCA)

2

=180°--(180°-NB)

2

=90°+—Z5=125°,

2

故答案为：125.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的性质，根据角平分线的性质将N4r

转化到三角形中，利用三角形的内角和求解是解题的关键.

2.(2018•上海市延安初级中学七年级期末)如图，把AABC沿直线翻折后得到

△A'DE，点A的对应点是点A'，如果乙4'石。=32°,那么NA'E£)=

度.

【答案】74。

【分析】先根据邻补角的定义求得NA'£A的度数，再由对折的性质进行解答.

【详解】VZA'£C=32°,

，ZA'£4=148°

•••△A8C沿直线DE翻折后得到AA'DE，点A的对应点是点A'，

ZA'£Z)=-ZA'E4=74O.

2

故答案为：74°.

【点睛】考查了对折和邻补角的性质，解题关键是利用邻补角的定义求得NA'E4的度数

和对折前后的两个角的度数相等.

3.(2021•上海市仙霞第二中学八年级期末)在AABC中，NC=9O°，如NA比DB小

24°，则44=度.

【答案】33

【分析】设NA=x,则N6=x+24。，根据三角形内角和是180。，列式求出x的值即

可.

【详解】解：设NA=x,则ZB=x+24°,

ZC=90°,

ZA+ZB=90°，即x+x+240=90。，解得x=33°.

故答案是：33.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和是180。.

4.（2019•上海市市西初级中学八年级期末）如图，AABC中，一内角和一外角的平分

线交于点D,连结AD,NBDC=24°,ZCAD=。.

【答案】66°

【分析】过D作，DFJ_BE于F,DGLAC于G,DHXBA,交BA延长线于H,由BD平分N

ABC,可得NABD=NCBD,D1I=DF,同理CD平分/ACE,ZACD=ZDCF=,DG=DF,由NACE是

△ABC的外角，可得2/DCE=NBAC+2/DBC①，由NDCE是△DBC的外角，可得NDCE=N

CDB+NDBC②，两者结合，得NBAC=2NCDB,则NHAC=180°-/BAC,在证AD平分NHAC,即

可求出NCAD.

【详解】过D作，DF_LBE于F,DG_LAC于G,DI1±BA,交BA延长线于H,

平分/ABC,.,.ZABD=ZCBI)=—ZABC,l)H=DF,

2

；CD平分NACE,.".ZACD=ZDCF--ZACE,DG=DF,

2

VZACE是△ABC的外角,

.,.ZACE=ZBAC+ZABC,

.•.2NDCE=NBAC+2NDBC①，

,/ZDCE是4DBC的外角，

/DCE=NCDB+/DBC②，

由①②得，ZBAC=2ZCDB=2X24°=48°,

ZHAC=180°-ZBAC=180°-48°=132°,

VDH=DF,DG=DF,

.")H=DG,

VDG1AC,DH1BA,

AD平分/HAC,

ZCAD=ZHAD=—ZHAC-—X132°=66°.

22

故答案为：66.

【点睛】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利

用好外角与内角的关系，找到NBAC=2/CDB是解题关键

5.AABC的三边为a、b、c,贝iJ|a+b+d-M-c-a|-|c-a+U+|a-b+c|=

【难度】★★

【答案】2a.

【解析】由三角形三边关系可得：a+b+c>Q,b-c—a<0,c—a+b>0,a—b+c>0,

',\a+b+(\-\b-c-c^-\c-a+-b+<\

=a+6+c+他—c—a)—(c—a+Z?)+(a—6+c)

=a+b+c+b-c-a-c+a-b+a-b+c

—la

【总结】考察三角形三边关系及绝时值的运算.

6.若等腰三角形两腰上的高所在直线组成的角是80°,则顶角是度.

【难度】★★

【答案】80°或100°.

【解析】当等腰三角形为锐角三角形时，顶角为80°；

当等腰三角形为钝角三角形时，顶角为100°.

【总结】当出现三角形一边上的高的问题时，注意要分类讨论.

7.如图，在△力比'中，〃、上分别是/从比1的中点，与面积相等的三角形是

【难度】★★

【答案】丛BDC、XAEC、AABE.

【解析】由同底等高可得：

S^ACD=S&BCD=S&ACE=S^ABE=—S^ABC.

【总结】考察面积的求法，注意同底等高的应用.

8.若等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为28°,那么顶角等于度.

【难度】★★

【答案】62°和118°.

【解析】图1中，ZAB£)=28°,则/4=90。-28。=62。；

图2中，ZABD=28°,则NS4C=90°+28°=118°.

【总结】注意等腰三角形的分类讨论.

9.如果等腰三角形的一边长为30,另一边长为56,则此三角形的周长为

【难度】★★

【答案】3板+10百.

【解析】当等腰三角形的三边长分别为3夜，3点，5百，

因为3啦+3人＜5百，不符合三角形三边关系，所以不能构成三角形；

当等腰三角形的三边长分别为3播，50，5百，符合三角形三边关系,

此时三角形的周长为3匹+10VJ.

【总结】考察等腰三角形的分类和三角形三边关系，注意等腰三角形的分类讨论.

10.如图，C为线段1£上一动点（不与点4£重合），在/£同侧分别作正三角形和正

三角形CDE,力〃与跖交于点0,"与6c交于点只缈与切交于点Q,连结图.以下五个

结论：①AD-BE-,②PQ//AE-,③AP=BQ-,④DFDP；⑤仍=60°.恒成立的结论有

一（把你认为正确的序号都填上）.

力Ct

【难度】★★★

【答案】①②③⑤.

【解析】①②③⑤正确，理由如下

ZACB=ZDCE=60°,；.ZACB+NBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE

AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CE,：./XACDeNBCE

：.AD=BE,NCAD=NCBE.,点C在线段如1上，，ZBC£>=60°.

ZACB=60°,ZACB=/BCD

'：ZACB=ZBCD，Z.CAD=NCBE，AC=BC,：./\ACP//XBCQ

：.AP=BQ,CP=CQ.

'：ABCD=60°,/XCPQ为等边三角形，NCPQ=60°

,?ZACB=60°.；.ZACB=Z.CPQ,Z.PQ//AE.

:ZEDC=ZBCD=60°,，BC//DE,：.NCBE=ZDEO.

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZDEO+NBEC=ZDEC=6O0

④错误，理由如下：：4)=应：，AP=BQ

：.AD=AP=BE-BQ,即。尸=QE

:ZDQE=ZECQ+NCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°

NDQEHZCDE,：.DEXDP

【总结】考察全等三角形判定方法和等边三角形的性质的运用，综合性较强，注意认真分析.

11.若以△46，的46、然为一边在三角形形外分别作等边△力协和等边△力密DC与BE交于

点0,则N8妗

【难度】★★★

【答案】120°.

【解析】VZDAB=ZCAE=6(r

：.ZDAB+ZBAC=AEAC+ABAC,即N£“C=ZR4f

VAD=AB,NDAC=NBAE,AE=AC

：./\ACD丝/\AEB,，ZADC=ZABE

，ZBOC=ZODB+NOBD=60°-ZADC+60°+ZABE=120°.

【总结】考察全等三角形判定方法和等边三角形的性质的综合运用.

12.如图，NGEF=75°,AB=BeC2DE=EF,求//的度数.

【难度】★★★

【答案】15°.

【解析】'：AB^BC,：.ZA^ABCA

：.ZCBD=ZA+NBCA=2ZA

,/CD=BC,，ZB=NCDB，，ZCDB=2ZA

ZECD=ZA+NCD8=3ZA

•；CD=DE,：.ZDEC=ZDCE=3Z4

:EF=ED,：.ZEFD=ZEDF

；ZEDF=ZA+ZDEC=4ZA,，Z£KD=4NA

ZGEF=ZA+NEFD=5ZA=75°

ZA=\5°.

【总结】考察三角形外角性质及等腰三角形性质的综合运用，注意进行分析.

三、解答题

1.（2019•上海八年级期末）如图，平分㈤C,交3c于点£）,AELBE<垂足

为E，过点E作EE//AC,交AB于点、F.求证：点厂是A3的中点.

【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到FA=FE,根据垂直的定义、同角的余角

相等得到FB=FE,证明结论.

【详解】••・AE平分N84C,

:.ZBAD^ZCAD,

QEF//AC,

:.ZFEA=ZCAD.

:.ZBAD=ZFEA^

:.FA=FE^

\AELBE<

:.NBEF+NAEF=90。，

-.-ZABE+ZBAE^90°,

:.ZABE=ZBEF

:.FB=FE，

;.FB=EA，即点F是AB的中点.

【点睛】本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质、线段的中点，掌握等腰三角形

的性质定理是解题的关键.

2.（2017•上海市青浦区金泽中学八年级期末）已知：如图，点D是BC的中点，DELAB,

DF1AC,垂足分别为点分F,DE=DF.

BD

【分析】求出ABDE和4CDF都是直角三角形.根据HL证△BDE02XCDF,推出/B=NC,推

出AB=AC,根据等腰三角形的三线合一推出即可.

【详解】证明：•••点D是BC的中点，

，BD=CD,

VDEIAB,DFXAC,

.,.△BDE和ACDF都是直角三角形，

BD=CD

在Rtz^BDE和RtZXCDF中《，

[DE=DF

ARtABDE^RtACDF（HL）,

/.ZB=ZC（全等三角形的对应角相等）.

；.AB=AC（等角对等边）.

•；AB=AC,点D是BC的中点,

AAD1BC（等腰三角形的三线合一）.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证出AABC

是等腰三角形.

3.己知点〃是48的中点，Z1=Z2,ZOZA试说明△4根45初的理由.

【难度】★★

【解析】；AM=MB,Z1=Z2,

，丛AMg丛BMD（A.卜.S）.

【总结】考察全等三角形的判定方法的运用.

4.已知C层⑦，NACD=NBCE,AODC,试说明△?!比且的理由.

【难度】★★

【解析】

，ZACD+ZEC4=ZBCE+ZEC4,即AECD=ZBCA

,：CB-CB,ZECD=ZBCA,AC=DC,

：.(\ABC^l\DEC(S.A.S)

【总结】考察全等三角形的判定方法.

5.已知AB〃DE,BC//EF,点C、。在力尸上，且4仍仃；试说明△"四△/='的理由.

【难度】★★

【解析】,JAB//DE,：.ZA^ZEDF

'：BC//EF,：.ZBCA=ZF

"：AD=CF,：.A(=DF

'：ZA=ZEDF,AODF,ZBCA=NF

:.△ABg/\DEF(A.S.A)

【总结】考察全等三角形的判定方法.

6.如图，在RtAABC与Rt/XDEF中,/斤/斤90°,BF^EC,AB=DE,ZA=50°,求NDFE

的度数.

【难度】★★

【答案】40°.

【解析】：淤£C,ABF+FC=EC+FC,BPBC=EF.

•；BC=EF,N庐AB^DE,

：./\ABC二/\DEF,；.ZDFE=ZACB

'：ZA+ZB+ZACB=I8O°,ZABC=9O°,ZA=50Q,

，ZACB=40°,/.ZDfE=40°.

【总结】考察全等三角形判定和性质的综合运用.

7.如图，在式中，NAB052°,N4®68°,CD、的分别是48、然边上的高，BE、CD

相交于点。，求的度数.

A

【难度】★★

【答案】120°.

【解析】VZA+ZABC+ZACB=\SOP,

：.ZA=18O°-52°—68°=6O°.

•:CD、跖分别是18、4C边上的高，

；.ZAEB=NBDC=90.

在应'中，ZA+ZABE+ZA£B=18O°./.ZABE=180°-90°-60°=30°,

，ZBOC=ZBDC+ZABE90°+30°=120°.

【总结】考察三角形内角和定理的综合运用.

8.已知：如图，CD平■分乙ACB,AE//CD,交弦的延长线于点反请说明是等腰三角

形的理由.

【难度】★★

［解析】•?CD平分NACB,：.NBCD=ZACD.

'：AE//CD,：.ZBCD=ZE,ZACD=ZCAE

"：ZBCD=ZACD,；.Z£=ZCAE

.•.△4◎1是等腰三角形.

【总结】考察平行线的性质和等腰三角形的判定的综合运用.

9.如图，已知4?平分/刃GBE//AD,尸是用的中点，试说明"X庞的理由.

【难度】★★

【解析】平分/为C,AZBAD=ZCAD

'：BE//AD,：.ABAD=ZEBA,ACAD=ZE

VABAD=ZCAD,：.ZE=ZEBA

，△/6是等腰三角形

'/F是跳'的中点，月汽J_BE.

【总结】考察平行线的性质和等腰三角形的判定和三线合一性质的综合应用.

10.在△被7中，久£分别是以7和四的中点，联结AD,四相交于点F,试说明SMFC和氧边形诋。

的大小关系.

【难度】★★

【答案】相等，理由见解析

【解析】；〃、£分别是笈和48的中点，

S4ADB=S&ADC-S^AEC=^ACBE=Q%ACB•

•S&ADB=$4但+S四边形BDFE'^AACE=+S4ACF'

•"S&ACF~5四边形0FEB•

【总结】考察面积等底同高的用法，注意进行归纳分析.

11.如图，等边△/a'是等边三角形，点昆尸分别是边力、/C延长线上的点，且1后"；

的延长线交毋'于点〃，求/吹的度数.

【难度】★★

【答案】60°

【解析】VZACB=ZBAC=(/T

ZEAC=ZBCF=\2CP

•：AE=CF,AEAC=ZBCF,AC=BC

：./\EACg"CB,.•.4=/£1

ZBDC=ZF+ZDCF=ZE+ZECA=ABAC=60°

【总结】考察三角形全等判定方法及等边三角形性质的运用.

12.如图所示，3知NBAD=NCAD,EF1AD于P,交回延长线于M,试说明2/"=(//1"-

/B)的理由.

【难度】★★

【解析】,：ABAD=ACAD,AP^AP.ZAPE=ZAPF=90

：.^AEP^/\AFP.ZAEP=ZAFP

VZAEP^ZB+ZM,ZACB=ZCFM+ZM=ZAFP+ZM

：.ZAEP+ZACB^ZB+ZAFP+IZM

：.ZACB=NB+2ZM

r.2Z#=(ZACB-Z5)

【总结】考察全等三角形判定方法及等腰三角形性质的综合运用.

13.已知：如图，ZVWC是等边三角形，过A3边上的点。作。G〃BC,交AC于点G,在

GD的延长线上取点E,使£>E=Z>3,连接AE,CD.

(1)试说明ZXAGE/Z\/MC的理由；

(2)过点E作砂〃DC,交BC于点F,请你连接/F,并判断△AEF是怎样的三角

形，试证明你的结论.

【难度】★★

【解析】（1）是等边三角形，

Z.AB=AC=BC-ABAC=ZABC=ZACB=60°.

,ZDG//BC,二ZADG=ZABC=60°,ZAGD=ZACB=6OP,

，ZVIDG是等边三角形，/.AD=DG=AG.

,:DE=DB,?.EG=AB,：.EG=AC.

'：EGAC,ZAGE^ZDAC,AG^AD,

：.AAGEADAC；

(2)△/£尸是等边三角形.

证明：VDG//BC,EF//DC,

.••四边形防力是平行四边形，

:.EF=CD,4DEF=NDCF.

由(1)可得：AE=CD,ZAED^ZACD.

VEF=CD=AE,ZAED+ZDEF=ZACD+ZDCB=(^°,

.•.△45户是等边三角形.

【总结】考察等边三角形、全等三角形的性质和判定，综合性较强.

14.如图，己知外、酸是的高，点夕在血的延长线上，旌4G点0在四上，且

CQ-AB.试说明(1)仍4Q；(2)"_L阳的理由.

【难度】★★

【解析】(1)，：BD、制是△4?C的高，

ZBEC=Zfl£>C=90°，

ZABD+ZBAC=900,ZACE+ZBAC=9CP,

：.ZABD=ZACE.

,：BP-AC,ZABD^ZACE,Cg\B,△ABP四△QCA：

(2)V^ABP^/XQCA,：.AP=AQ,ZCAQ=ZP

是的高，AZP+ZC4P=90°.

ZCAQ+ZCAP=90°,即ZQAP=90°,

：.APLAQ.

【总结】考察全等三角形判定和性质及垂直的判定，注意分析角度间的关系.

15.在等边的边比■上任取一点〃作/物后60°,期交/C的外角平分线于其那么△

力应是什么三角形?证明你的结论.

'E

BDC

【难度】★★

【答案】△/1如是等边三角形.

【解析】；是等边三角形，

，NB=ABAC=ZACB=60.

•.,以为/C的外角平分线，,NACE=60°,/.ZB=ZAC£.

Z加后60",ZDAE=ABAC.

,/ZDAE-ZDAC=NCAE，ABAC-ADAC=ZBAD,；.ZCAE=ZBAD.

•:NCAE=ZBAD，AB=AC,ZB=ZACE,

：./XABD^/\ACE,AAD=AE.

宓斤60°,.•.△力原是等边三角形.

【总结】考察全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质的综合运用.

16.正方形4%苏中，AC,仍交于0,NEO六9G,已知4斤3,。碎4,求四边形曲的面积.

【难度】★★

【答案】—.

4

【解析】•:正方形ABCD,AC.BD交于0,

：.ZABD=45°,ZOCF=45°,BO=OC，ZAOB=90°,

：.ZABD=ZOCF.

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