2024云南中考数学二轮专题复习 题型五 二次函数性质综合题（课件）

题型五二次函数性质综合题类型一函数性质计算(1)若抛物线与x轴有两个交点，求k的取值范围；【思维引导】由抛物线的图象与一元二次方程的关系可知，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，所对应的抛物线与x轴有两个交点，利用一元二次方程根的判别式即可求解．典例精讲一题多设问已知抛物线y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1.例1解：(1)令y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5＞0，解得k＜

；(2)若直线y＝1与抛物线只有一个交点，求k的值；【思维引导】直线y＝1与抛物线只有一个交点，说明直线y＝1过抛物线的顶点，即抛物线的最小值是1，再根据抛物线的最值公式列方程求解．(2)∵直线y＝1与抛物线只有一个交点，∴直线y＝1过抛物线的顶点．∴y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1的最小值为1.∴

＝1.解得k＝

；(3)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，求k的值；【思维引导】由点P和点Q的纵坐标相同可知两点关于抛物线的对称轴对称，据此可求出抛物线的对称轴，再结合抛物线对称轴的公式列方程即可求解．(3)∵点P(－2，t)、Q(4，t)的纵坐标相同，∴点P(－2，t)与点Q(4，t)关于抛物线的对称轴对称．∴抛物线的对称轴为直线x＝

＝1.∴

＝1.解得k＝－

；(4)若x＜3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；【思维引导】抛物线开口向上，当x＜3时，y随x的增大而减小，说明抛物线的对称轴为直线x＝3或在直线x＝3的右侧，据此可列不等式求解．(4)∵抛物线开口向上，当x＜3时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为直线x＝3或在直线x＝3的右侧，∴

≥3.解得k≤－

；(5)若点M(－3，m)，N(2，n)在抛物线上，当m＜n时，求k的取值范围；【思维引导】因为抛物线开口向上，故离抛物线的对称轴越远的点的纵坐标越大，再利用两点的中点横坐标将上述远近关系转换求解．(5)∵抛物线的开口向上，m＜n，∴点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离近．∴

＜

.解得k＞1；(6)当－1≤x≤1时，y的最大值为2，求k的值．【思维引导】抛物线开口向上，所以最大值肯定在区间端点处取得，且在离对称轴较远的端点处取得，因为抛物线的对称轴不定，需讨论在哪个端点处取得最大值．(6)当抛物线的对称轴在y轴左侧时，＜0，解得k＞

.此时当x＝1时，y最大，即1＋2k－1＋k2－1＝2.整理，得k2＋2k－3＝0.解得k＝－3(舍去)或k＝1；当抛物线的对称轴在y轴右侧时，＞0，解得k＜

.此时，当x＝－1时，y最大，即1－(2k－1)＋k2－1＝2.整理，得k2－2k－1＝0.解得k＝1＋(舍去)或k＝1－.当抛物线的对称轴为y轴时，＝0，解得k＝

，此时，当x＝±1时，y最大，最大值为1＋(

)2－1＝

，不合题意．综上所述，k的值是1或1－.1.(2023北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a>0)上．(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；针对训练解：(1)∵m＝3，n＝15，∴将点(1，3)和点(3，15)分别代入y＝ax2＋bx中，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x，∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝－1；(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．(2)∵a>0，mn<0，抛物线过(0，0)，∴m<0，n>0，∴抛物线的对称轴

<x<

，∴点(－1，y1)到对称轴的距离

<d1<

，点(2，y2)到对称轴的距离

<d2<

，点(4，y3)到对称轴的距离

<d3<

，∴d2<d1<d3.∵a>0，∴抛物线上的点距离对称轴越近，y值越小，∴y2<y1<y3.2.(2023云南逆袭卷)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)．(1)若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且图象经过点(－1，4)，求二次函数的解析式；解：(1)∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，∴－

＝1，∴b＝－2a.将点(－1，4)代入二次函数y＝ax2＋bx＋1中，得a－b＋1＝4.将b＝－2a代入，得a＋2a＋1＝4，解得a＝1，∴b＝－2，∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x＋1；(2)若a＋b＝－1，判断该二次函数图象与x轴的交点个数，并求出相应的交点坐标．(2)∵a＋b＝－1，∴b＝－1－a，即y＝ax2＋(－1－a)x＋1，由题意得Δ＝(－1－a)2－4a×1＝(a－1)2≥0，∴该二次函数图象与x轴有一个或两个交点；令y＝0，即ax2＋(－1－a)x＋1＝0，由一元二次方程求根公式可得：x＝

，则当二次函数图象与x轴有一个交点时，即a－1＝0时，解得a＝1，此时x1＝x2＝1，∴交点坐标为(1，0)；当二次函数图象与x轴有两个交点时，则a－1>0，则a>1，此时x1＝

，x2＝1，∴交点坐标为(

，0)，(1，0)．综上所述，当二次函数图象与x轴有一个交点时，交点坐标为(1，0)；当二次函数图象与x轴有两个交点时，交点坐标为(

，0)，(1，0)．类型二代数证明问题一题多设问例2已知抛物线y＝ax2＋bx－3a(a≠0)；(1)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在抛物线上，证明：a＜0；【思维引导】由点P在抛物线上可得m与a和b的关系式，再结合m＞0和a＋b＜0即可证明．证明：(1)当x＝2时，m＝4a＋2b－3a＝a＋2b＞0.①∵a＋b＜0，∴－a－b＞0.②①＋②得b>0，∴a＜0；(2)若该抛物线的顶点在第二象限，且过点(1，1)，当a＜b时，证明：－3＜2a＋b＜－1；【思维引导】由一元二次方程根的判别式可知抛物线与x轴有两个交点，再结合抛物线的顶点在第二象限可判断出开口方向和对称轴的正负；由抛物线过点(1，1)可得出a与b的关系，从而将2a＋b化为只含有一个未知数的式子，利用a＜b和对称轴的正负即可求证．(2)∵b2－4a(－3a)＝b2＋12a2＞0，且a≠0，∴该抛物线与x轴有两个交点．将(1，1)代入抛物线解析式，得1＝a＋b－3a，∴b＝2a＋1，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋(2a＋1)x－3a，∵a＜b，∴a＜2a＋1，解得a＞－1，∵抛物线的顶点在第二象限，且与x轴有两个交点．∴抛物线开口向下，即a＜0，∴抛物线的对称轴为直线x＝－

＝－

＜0，解得a＜－

，∴－1＜a＜－

.∴－3＜4a＋1＜－1.即2a＋b的取值范围－3＜2a＋b＜－1；(3)当a＝1，b＝2时．①若点P(x1，m)与点Q(x2，m)在抛物线上，且x1＜x2，PQ＝n，求证：－2x2＝－3n＋2；【思维引导】将点P、Q的坐标分别代入抛物线解析式中，可得两个等式，从而表示出

和

，代入所要证明的等式中；利用点P、Q的坐标特点用x1和x2表示出n，且可求得x1＋x2的值，代入求证即可．(3)①当a＝1，b＝2时，抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.∵点P(x1，m)与点Q(x2，m)在抛物线y＝x2＋2x－3上，∴x1，x2即为方程x2＋2x－3－m＝0的两根，∴

＝m＋3－2x1，

＝m＋3－2x2，对称轴为直线x＝

＝－

＝－1.∴x1＋x2＝－2，∵x1＜x2，PQ＝n，∴n＝x2－x1，∴

－2x2－

＋3n－2＝m＋3－2x2－2x2－(m＋3－2x1)＋3(x2－x1)－2＝m＋3－4x2－m－3＋2x1＋3x2－3x1－2＝－x2－x1－2＝－(x1＋x2)－2＝2－2＝0.∴

－2x2＝

－3n＋2；②设n为抛物线与直线y＝－3x－4的交点的横坐标，求证：【思维引导】利用抛物线和直线的解析式可得关于n的一元二次方程，因为结论有n4，故将方程变形、平方，再对照结论变化即可．②∵n为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝－3x－4的交点的横坐标，∴n2＋2n－3＝－3n－4，即n2＋5n＋1＝0，∴n2＋1＝－5n，∴(n2＋1)2＝(－5n)2，即n4＋2n2＋1＝25n2，∴n4－2n2＋1＝21n2，∵n2＋5n＋1＝0，∴n≠0，∴

.1.(2023省卷23题12分)已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c经过点(0，－2)，当x<－4时，y随x的增大而增大，当x>－4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标，m＝(1)求b、c的值；针对训练(1)解：根据题意可知抛物线y＝－2x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－4，∴x＝

＝－4，得b＝－16.将(0，－2)代入y＝－2x2－16x＋c中，得c＝－2；【一题多解】根据题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝－4，设抛物线解析式为y＝－2(x＋4)2＋k，将(0，－2)代入，得－2×(0＋4)2＋k＝－2，解得k＝30，∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋4)2＋30＝－2x2－16x－2，∴b＝－16，c＝－2；(2)求证：r4－2r2＋1＝60r2；(2)证明：由(1)可知，抛物线解析式为y＝－2x2－16x－2，且r是抛物线与x轴交点的横坐标，令y＝0得，－2r2－16r－2＝0，即r2＋8r＋1＝0，∴r2＝－8r－1，∴r4－2r2＋1＝(－8r－1)2－2r2＋1＝64r2＋16r＋1－2r2＋1＝62r2＋16r＋2＝62r2＋2(8r＋1)＝62r2－2r2＝60r2；(3)以下结论：m<1，m＝1，m>1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．(3)解：m>1正确．证明：由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，且r3≠0，∴r3(r4－2r2＋1)＝60r2·r3，即r7－2r5＋r3＝60r5，∴m＝

＝

＝

.∵r是抛物线y＝－2x2－16x－2与x轴交点横坐标，∴－2r2－16r－2＝0，解得r＝－4±<0，∴

>0，∴m>1.【一题多解】m＞1正确．证明：由m＝

，令p＝r9＋r7－2r5＋r3＋r－1，q＝r9＋60r5－1，则p－q＝(r9＋r7－2r5＋r3＋r－1)－(r9＋60r5－1)＝r7－62r5＋r3＋r＝r(r6－62r4＋r2＋1)．由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，即r4－62r2＋1＝0，∴p－q＝r[r2(r4－62r2＋1)＋1]＝r[r2·0＋1]＝r，∵r是抛物线y＝－2x2－16x－2与x轴交点的横坐标，∴－2r2－16r－2＝0，∴r＝－4±<0，∴p－q＝r<0，∴p<q，且p，q都为负数，∴m＝

>1.2.已知二次函数y＝ax2＋4ax＋1的顶点为M(－2，－3)，其图象与一次函数y＝－mx＋5的图象交于点A、B(点A在点B左侧)．(1)求二次函数的解析式；(1)解：把点M(－2，－3)代入y＝ax2＋4ax＋1中，得4a－8a＋1＝－3，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋1；(2)若点P(t，0)在抛物线上，求证：；(2)证明：∵点P(t，0)在抛物线上，∴t2＋4t＋1＝0.