专题1.1 菱形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题1.1菱形的性质与判定【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用菱形的性质求角度】 1【题型2利用菱形的性质求线段长】 2【题型3利用菱形的性质求面积】 3【题型4利用菱形的性质求坐标】 4【题型5利用菱形的性质证明】 5【题型6添加条件使四边形是菱形】 6【题型7证明四边形是菱形】 7【题型8利用菱形的性质与判定求角度】 9【题型9利用菱形的性质与判定求线段长】 10【题型10利用菱形的性质与判定求面积】 11【知识点1菱形的性质】定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．【题型1利用菱形的性质求角度】【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为______度．【变式1-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD=30°，则∠ADC的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【变式1-2】（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）在菱形ABCD中，∠ABC=76°，BA=BE，则∠BEA的度数为（

A．68° B．70° C．71° D．75°【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若AH=DH，则∠DHO=________．

【题型2利用菱形的性质求线段长】【例2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD，若∠ABC=60°且AC=4，则BD长为（A．8 B．6 C．43 D．【变式2-1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于______．

【变式2-2】（2023春·广东广州·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=16，BD=12，DE⊥BC，垂足为点E．则DE=_______．【变式2-3】（2023春·江苏扬州·九年级校考期中）如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形ABCD的边长为10cm，要使两排挂钩的距离（即AC）为16cm，求【题型3利用菱形的性质求面积】【例3】（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为

.【变式3-1】（2023春·广东东莞·九年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【变式3-2】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD:∠B=1:3，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P．过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为4．则菱形ABCD的面积为（）A．8 B．42 C．16 D．【变式3-3】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠D=60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF=BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为__________．

【题型4利用菱形的性质求坐标】【例4】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，BC交y轴于点D，连接AD，交OB于点E．已知点A2,0，∠C=60°，求点B

【变式4-1】（2023·广东深圳·校考三模）如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是0,2，8,2，点D在x轴的正半轴上，则顶点B的坐标是（

）A．4,4 B．5,4 C．2,4 D．4,2【变式4-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为_____．

【变式4-3】（2023春·北京东城·九年级汇文中学校考期中）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A【题型5利用菱形的性质证明】【例5】（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）【问题情境】数学探究课上，某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质．如图1，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°．

(1)∠ABD的度数为______．【操作发现】(2)如图2，小贤在菱形ABCD的对角线BD上任取一点P，以AP为边向右侧作菱形APEF，且∠APE=60°，连接DF．求证：△ABP≌△ADF．【拓展延伸】(3)在（2）的条件下，若BD=3．当点E在BD上时，连接PF，求此时PF的长．【变式5-1】（2023春·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF．

(1)求证：AE=CF；(2)若∠AEO=40∘，求∠【变式5-2】（2023·四川巴中·校考二模）在如图的菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，

(1)求证：∠BAF=(2)求证：DE=BF+EF．【知识点2菱形的判定】①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．【题型6添加条件使四边形是菱形】【例6】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（

）

A．BD平分∠ABC B．AC=BD C．AC⊥BD D．A【变式6-1】（2023·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是菱形．（填写一个你认为恰当的条件即可）【变式6-2】（2023春·云南昭通·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是（

）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AD=BC D．AB=DC【变式6-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，点F在AD延长线上，且BE//CF．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）请在△ABC中添加一个条件____________，使四边形BECF是菱形，并说明理由．【题型7证明四边形是菱形】【例7】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EF∥AB．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=6，BC=9，点P在线段AE上运动，请直接写出当点P在什么位置时PC+PF取得最小值，最小值是多少．【变式7-1】（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点

(1)求证：△DOE≌(2)当直线l⊥BD时，连接BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【变式7-2】（2023·湖北襄阳·校考二模）如图，过平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点O的直线PQ分别交边AB，CD于点P，Q

(1)过点O作直线PQ垂线，分别交边BC，DA于点M，N（保留作图痕迹，不写作法）；(2)顺次连接点P，M，Q，N．求证：四边形PMQN是菱形【变式7-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF(1)求证：CG=CE；(2)判断四边形CGFE的形状，并证明；(3)若AC=3cm，BC=4【题型8利用菱形的性质与判定求角度】【例8】（2023春·黑龙江双鸭山·九年级校联考期中）（1）如图，请用直尺和圆规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F，连接ED，EF，使得四边形BDEF为菱形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若∠A=67°，∠C=63°，求【变式8-1】（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，▱ABCD中，AB=AD，点E是AB上一点，连接CE、DE，且BC=CE，若∠BCE=40°，则∠ADE=______．【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，四边形ABFE是平行四边形，则∠DAF等于（）A．18° B．24° C．30° D．36°【变式8-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD．点E,F在对角线AC上，且AE=CF,DF//BE，（1）求证：△ABE≅△CDF；（2）连接BD，交AC于点O，若BD⊥AC，四边形ABCD周长为16,AC=43，求∠DAB【题型9利用菱形的性质与判定求线段长】【例9】（2023春·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若AC=6cm，BD=8cm，线段AB的长为（A．4cm B．4.6cm C．4.8cm【变式9-1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，▱ABCD中，AB=AD=6，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF的最小值为（

）

A．6 B．3 C．4 D．3【变式9-2】（2023春·全国·九年级期末）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，则AC的长为（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6【变式9-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点E、F分别在AB、BC上，沿EF将△EBF翻折使顶点B的对应点B'落在AC上，若EB'⊥AC，则EF等于__________．【题型10利用菱形的性质与判定求面积】【例10】（2023春·山东德州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB为半径的弧交AD于点F，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则四边形ABEF面积是（）A．12 B．24 C．36 D．48【变式10-1】（2023春·浙江·九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=8,BD=6（1）如图1，若AC⊥BD，则四边形ABCD的面积长＝_________；周长＝________；（2）如图2，若AC与BD的夹角∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积和周长；（3）如图3，若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOB=45°，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含a，b的代数式表示）．【变式10-2】（2023春·江苏·九年级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．

(1)