人教版七年级数学上册专题复习数轴上的动点问题讲义含部分答案

数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。【题1】甲乙两地相距200米，小明从甲地步行到乙地，用时3【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地 地【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。20018010〔米/秒〕9【解法二】用方程解。设速度为x米/秒，根据路程=时间×速度，得：200180x，解得x10。9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。2】A、BA表示的数为0B200PA出发，以1ABBt。〔1〕用含t的代数式表示电子蚂蚁P运动的距离；〔2〕用含t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数；〔3〕用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。〔4〕当电子蚂蚁运动多少时间后，点P为线段AB的三等分点？【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无〔1〕根据路程=速度×时间，有：APt；〔2〕APt，故点P表示的数为t；〔3〕点B表示的数为200，点P表示的数为t，且P在B左边，故PB200t。〔4〕假设P为AB的三等分点，有两种情况：①AP=2PB，即：t2200t，解得t400秒；3②2AP=PB，即：2t200t，解得t200秒；3现在，我们将【题2】一般化，线段AB一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：3AAaB表示的数为bAB200PA出发，以1ABBt。〔1〕用含a的代数式表示数B；〔2〕用含a和t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数；〔3〕用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但假设严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。〔1〕由数轴上两点间距离公式可得：ba200，整理得：b200a；〔2〕由路程=速度×时间得，APt，即A、P两点间的距离为t；同〔1〕可得，点P表示的数为at。〔3〕B≥P，BPbata200at200t。ABPBA、B接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看4。4】A、BA表示的数为0B200PA出发，以1ABBQB2BAAt。〔1〕当电子蚂蚁P、Q相距40个单位长度时，求运动时间t；〔2〕用含t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。【分析】此题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，假设用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。〔1〕在运动的过程中，点P和点Q的位置有三种情况：P在Q的右边，P和Q重合，P在Q的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效防止漏掉情况。另外，Q到A后，Q停止，但P继续往B运动，故也得考虑这种情况。①P、Q都在运动时，0秒t100秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，故P、Q两点间的距离为2002tt。根据题意有：2002tt40。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。②Q停止运动，P继续运动，此时PQ距离＞100，故不符合题意。〔2〕①P与Q相遇之前，即P在Q的左边，此时有数Q＞数P，0秒t＜200秒，此时：3PQ2002tt2003t②PQQPPQ200秒t100秒3PQt2002t200③Q停止运动，P继续向B运动直至停止，数Q为0，数P＞数Q，100秒＜t200秒，此时：PQt0t【提炼】第〔1〕问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看5】和6。其处理的核心，依然是表示出相关的数。5】A、BA表示的数为0B200PA出发，以1ABBQB2BAAt。〔1〕当P为AQ中点时，求运动时间t；〔2〕当Q为BP中点时，求运动时间t。【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t的代数式表示出数Q、数P，利用两点间距离公式解题。〔1〕点P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，假设P为AQ中点，有AP=PQ，即：t2002tt，解得：t50秒；P表示的数为tQ2002tQBP2002tt2t，t40秒。6】A、B两点对应的数分别是-24，PA、B、P1个单位每秒、4个单位每秒、2个单位每秒的速度向右运动，当A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。【分析】按理说有三种情况，A为P、B中点，B为A、P中点，P为A、B中点，但结合条件，发现A不可能为P、B中点，故此种情况可以舍去。设运动时间为t，则运动过程中，点A表示的数为t-2，点P表示的数为4t，点B表示的数为4+2t。①B为A、P中点，有AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10秒；②P为A、B中点，有AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4秒；【思考】线段〔直线、射线〕上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？最后，放几个题结束本文。1】A、B两点对应的有理数分别为-812PO1个单位长度QO2时间为t秒。〔1〕求经过两秒后，数轴点P、Q分别表示的数；〔2〕当t3时，求PQ的值；〔3〕在运动过程中，是否存在时间t，使得AP=BQ，假设存在，求出t值；假设不存在，说明理由。2】A、BCDA、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12；线CD1个单位的速度移动，移动时间为t秒。〔1〕当t0秒时，AC的长度为 ；当t2秒时，AC的长度为 ；〔2〕用含有t的代数式表示AC的长为 ．〔3〕当t 秒时，AC－BD=5，当t 秒时AC+BD=15．假设点ACDA2AC=2BDt的值；假设不存在，请说明理由．【题3】如图，E为线段AC上靠近点A的三等分点，B、D为线段EC上的两点，且满足CD=2BD。假设DE=6cm，求线段AB的长；〔3〕AC=15cm，EB=4cmPAQD3cm/s1cm/s的速度沿直ACBP+CQ=ABPQ的长