平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)

力的投影和力的分解力的投影和力的分解一、力在平面直角坐标轴上的投影

1.投影的定义

过力F的两端点向x轴作垂线，垂足a、b在轴上截下的线段ab称为力F在x轴上的投影，记作Fx

。2.投影的正负规定

投影是代数量，若投影ab的指向与坐标轴正方向一致，则投影为正，反之为负。3.已知投影求力若已知一个力的投影为Fx、Fy,则:ABFxy

abFxa'b'FyFxFy力的投影和力的分解二、力沿坐标轴方向的正交分解正交分力的大小等于力沿其正交轴投影的绝对值,即：必须指出:分力是力矢量,而投影是代数量。若分力的指向与坐标轴同向,则投影为正,反之为负。分力的作用点在原力作用点上，而投影与力的作用点位置无关。

力的投影和力的分解三、合力投影定理合力FR在x轴上的投影FRx和分力F1、F2在x轴的投影分别为FRx=ad，F1x=ab，F2x=ac。xyaAF2F1BCFRDbcdFRx=ad=ab+bd=ab+ac=F1x+F2x同理

FRy=F1y+F2y若n个力作用的力系，则FRx=ƩFx

FRy=ƩFy结论：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即合力投影定理。平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡力系——作用在物体上若干个力的总称。根据力的作用线是否共面可分为：平面力系空间力系根据力的作用线是否汇交可分为：汇交力系力偶系平行力系任意力系平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系：作用在同一平面内且各力的作用线汇交于一点的力系。PP1P2AP3P2P1A包括自重与液体重力平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系的合成根据平行四边形公理，平面汇交力系可以合成为一个合力FR。ACBOF3F2F1OF3F2F1=FR12FR由合力投影定理可知，合力在坐标轴上的投影为FRx=

Fx，FRy=

Fy

，则合力的大小和方向为：ɑ为合力FR与x轴所夹的锐角平面汇交力系的合成与平衡二、平面汇交力系的平衡方程及其应用平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即FR=0

平衡方程平面汇交力系只能列出两个独立的平衡方程，解出两个未知数。平面汇交力系的合成与平衡例：

如图所示，固定环作用有四根绳索，绳索的拉力大小分别为FT1=0.2kN，FT2=0.3kN，FT3=0.5kN，FT4=0.4kN，它们与x轴的夹角分别为ɑ1=30°，ɑ2=45°，ɑ3=0°，ɑ4=60°，试求它们的合力大小和方向。解：建立坐标系oxy，求出合力的投影平面汇交力系的合成与平衡例：如图所示，重力为P=100N的球体放在光滑斜面上，并用绳AB系住且AB与斜面平行，试求绳AB的拉力及球对斜面的压力。解：(1)以球体为研究对象取分离体画出受力图(2)建立直角坐标系，列出平衡方程：联立方程组求得：平面汇交力系的合成与平衡解：(3)若沿斜面建立坐标系，如图所示，列出平衡方程：由此可见：列平衡方程时，坐标轴应尽量选在与未知力垂直的方向上，这样可以列一个方程式解出一个未知力，使计算简便。平面汇交力系的合成与平衡补充知识--节点的受力图例：图示钢绳连接吊起重物，画出节点A的受力图。

ABGCAGFTBFTC解:1.选A点为研究对象取分离体。2.在A点上画出主动力。3.在A点上按柔体约束力的画法画出约束力。平面汇交力系的合成与平衡补充知识--节点的受力图例：图示结构，在铰链B上作用力F，画节点B的受力图。

ABCFBFFABFCB解：1.选B销为研究对象取分离体2.在B销上画出主动力3.在B销上按约束力的画法画出约束力

AB杆为二力杆，约束力沿AB连线BC杆为二力杆，约束力沿BC连线平面汇交力系的合成与平衡例：图示支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为光滑铰链，在铰B上悬挂重物G=10kN，杆件自重不计，试求杆件AB、BC所受的力。xy30°ABCGBGFABFCB30°解：1.取B销为研究对象画受力图2.建立坐标系列平衡方程平面汇交力系的合成与平衡补充例题图示连杆机构由杆AB、BC、AD组成，A、B、C、D点均为铰链。若机构在图示位置平衡时，已知角

和作用于A铰的力F，试求维持机构平衡时铰B上的作用力F1。解：1.分别取A、B销为研究对象画受力图

2.建立坐标系列平衡方程对A销对B销

ADBCFF1

ABFF1FABFDAF'ABFCBxy平面汇交力系的合成与平衡课堂练习：图示支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为光滑铰链，在铰B上悬挂重物G=10kN，杆件自重不计，试求杆件AB、BC所受的力。xy30°ABCGBGFABFCB30°解：1.取B销为研究对象画受力图2.建立坐标系列平衡方程平面汇交力系的合成与平衡课堂练习：图示连杆机构由杆AB、BC、AD组成，A、B、C、D点均为铰链。若机构在图示位置平衡时，已知角

和作用于A铰的力F，试求维持机构平衡时铰B上的作用力F1。解：1.分别取A、B销为研究对象画受力图

2.建立坐标系列平衡方程对A销对B销

ADBCFF1

ABFF1FABFDAF'ABFCBxy力对点之矩、合力矩定理力对点之矩、合力矩定理一、力对点之矩＋－说明：③

互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。②当F=0或d=0时，③

力矩的单位是N·m或kN·m①平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。力对点之矩、合力矩定理二、合力矩定理

AOFdB=OdBA

FFydcos

dsin

Fx上式表明，合力对某点的力矩等于力系中各分力对同点力矩的代数和。该定理不仅适用于正交分解的两个分力系,对任何有合力的力系均成立。若力系有n个力作用，即力对点之矩、合力矩定理求平面内力对点之矩的方法：（1）用力矩的定义求解，即力矩=力×力臂（2）用合力矩定理求力矩当力臂的几何关系较复杂，无法通过简单计算求得时，一般采用合力矩定理来求力矩，且一般可将力进行正交分解。力对点之矩、合力矩定理解：由图可得，F对O点的力臂大小为：由力矩的定义可知：例：作用于齿轮上的啮合力F＝1000N，齿轮的分度圆（啮合圆）直径D＝160mm，压力角ɑ=20°，如图所示。求啮合力F对轮心O之矩。=力对点之矩、合力矩定理例：图示刚架ABCD,在D点作用F力,已知力F的方向角为

。求：1.F力对A点的力矩,2.B点约束力对A点的力矩。CFDA

hlB

dFxFy解：1.求MA(F)F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定，用合力矩定理。力对点之矩、合力矩定理例：图示刚架ABCD,在D点作用F力,已知力F的方向角为

。求：1.F力对A点的力矩,2.B点约束力对A点的力矩。CFDA

hlB

d1FBxFBy解：2.求B点约束力对A点的力矩MA(FB)同理，FB对A点力臂d1的几何关系复杂不宜确定，用合力矩定理。FB力偶、力偶系的合成与平衡力偶、力偶系的合成与平衡一、力偶转向器FF'1.定义：大小相等、方向相反、作用线相互平行两个力称为力偶，记作（F，F'）。FF'd力偶臂力偶的作用平面力偶只能使物体在力偶作用平面内转动。转动效应用力偶矩来度量。力偶矩定义式

M(F,F')＝M=±F·d＋－力偶矩为代数量，单位：N·m

或kN·m力偶的三要素：大小、转向、作用平面力偶、力偶系的合成与平衡M1＝60kN·m1m60kN60kN20kN20kN60

3mBA30

40kN40kN5mABM2＝－20

3sin60

＝－51.96kN·mM3＝－40

5sin30

＝－100kN·m力偶、力偶系的合成与平衡力偶的性质①力偶无合力，在坐标轴上的投影之和为零。力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。②力偶对其作用面内任一点的力矩的代数和恒等于力偶矩而与矩心的位置无关。即：力偶对物体转动效应与矩心无关。（与力矩有别）对平面内任一点O取矩：MO(F)＋MO(F')＝

MO(F，F')＝F(d+a)－F'

adaFF'O力偶、力偶系的合成与平衡力偶的性质③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。2m50kN50kN4m25kN25kN力偶、力偶系的合成与平衡力偶的等效2m50kN50kN100kNm2m30kN30kN60kNm100kNm60kNm平面力偶可用带箭头的弧线来表示。M表示力偶矩的大小，箭头代表转向。力偶、力偶系的合成与平衡力线平移定理作用于物体上的力，可平移到物体上的任一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。加减平衡力系公理效果相同力偶等效表示效果相同dM=MB(F)ABFABF”F’FF’=F”=F力偶、力偶系的合成与平衡ABF’攻丝不允许单手操作攻丝F绞杠丝锥力偶、力偶系的合成与平衡二、平面力偶系的合成与平衡设同一平面内有两个力偶（F1，F'1）、（F2，F'2），力偶臂分别为d1、d2，力偶矩分别为M1=F1d1、M2=－F2d2。求它们的合成结果。1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，即：力偶、力偶系的合成与平衡1.平面力偶系的合成dFF'BAF＝F11－F22F'1F1d1d2F2F'2BAdF11F'11F22F'22F22＝-F2

d2/dF11＝F1d1/d

M=Fd=（F11－F22）d

=M1+M2=F11d－F22d=F1d1－F2d2力偶、力偶系的合成与平衡2.平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的必要与充分条件：力系中各分力偶矩的代数和等于零，即只有一个平衡方程，只能求解一个未知量。力偶、力偶系的合成与平衡例：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩M=2.5kN·m，试求每个螺栓所受的力为多少?解：假设4个螺栓的受力均匀，即F1＝F2＝F3＝F