专题01第一章 一元二次方程（基础类型10大类型）（解析版）

专题01第一章一元二次方程【专题过关】类型一、方程的定义和一般形式【解惑】下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．【详解】解：A、将方程整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意；B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意；C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0．【融会贯通】1．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（

）A． B．（为常数）C． D．【答案】D【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】解：A、不是整式方程，故该选项错误；B、，当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误；C、化简后得，故该选项错误；D、时一元二次方程，故该选项正确；故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意；B、中分母含有未知数，不是整式方程，故不合题意；C、是一元二次方程，故符合题意；D、当时，的系数为0，故不是一元二次方程，故不合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．3．（2023秋·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念进行分析即可求解．【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】一元二次方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．【详解】解：方程整理得：，所以，二次项系数为；一次项系数为，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）其中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．5．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如，其中a、b、c是常数且的方程叫做一元二次方程，其中c叫做常数项．类型二、方程的解【解惑】关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得的值可求．【详解】解：是关于的一元二次方程，，即由一个根是，代入，可得，解之得；由得故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．【融会贯通】1．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知m是方程的一个根，则．【答案】【分析】直接把代入方程中即可得到答案．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．2．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）若是关于的一元二次方程的解，则的值为．【答案】2024【分析】将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．【详解】解：将代入原方程得：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．3．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）关于的一元二次方程有一根为0，则．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义，将已知根代入方程，求得待定参数值．【详解】解：由题意，，∵方程一根为0，∴，解得（舍去），．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，方程根的定义，解方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．4．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）若是方程的一个根，则的值为．【答案】【分析】使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解（根），根据一元二次方程的解的概念，得到，即可求出的值．【详解】解：是方程的一个根，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是掌握一元二次方程的解的概念是解题关键．5．（2023秋·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为．【答案】【分析】将代入方程得关于的方程，求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，故将代入，得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．类型三、用直接开平方法解方程【解惑】若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答．【详解】解：，，方程有实数根，，，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程——直接开平方法是解题关键．【融会贯通】1.（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）若是关于的方程的根，则关于的方程的根是．【答案】，【分析】根据一元二次方程的根的定义将代入方程，可得，解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可．【详解】解：将代入方程，可得，解得，将代入关于的方程，可得，解得，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．2．（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）方程的根为．【答案】【分析】把看成整体，然后直接开方求解．【详解】解：，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，其解法是先将一元二次方程整理成，然后两边同时开平方即可．3．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）【答案】【分析】根据直接开平方法可进行求解方程．【详解】解：解得：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．4．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）某学生解方程出现了错误，解答过程如下：解：（第一步）．（第二步）(1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________；(2)请写出此题正确的解答过程．【答案】(1)一；正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)，．【分析】（）根据正数平方根有两个进行判断即可；（）根据解方程方法直接开平方即可．【详解】解：（1）根据正数平方根有两个，∴第一步开始出错，原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数；故答案为：一，正数的平方根有两个，它们互为相反数；（2），∴或，∴，．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤及选取合适方法解一元二次方程．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先将方程整理为，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【详解】（1）解：，，∴，∴；（2）解：，即，∴，∴．【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；（a，b同号且）；；（a，c同号且）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．类型四、用配方法解方程【解惑】用配方法解一元二次方程，则方程可化为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据配方法的步骤解答即可．【详解】解：，，，．故选A．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把原方程化为的形式；2、将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，即将二次项系数化为1；3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解【融会贯通】1．（2023春·安徽六安·八年级校考期末）将方程配方后，原方程变形为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．【详解】解：移项得：，配方得：，即，故选C．2．（2022秋·全国·九年级专题练习）解方程：．【答案】，【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，．【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．3．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)【分析】（1）运用配方法求解；（2）先化成一般式，再运用公式法或配方法求解．【详解】（1），，∴或．∴或（2），，，∴或．∴【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】用配方法解一元二次方程的步骤是：①二次项系数化为1；②常数项移到方程的右边；③配方成的形式；④利用直接开平方法解答；根据上述步骤逐一解答即可．【详解】（1）移项，得，配方，得，∴，∴或，∴；（2）移项，得，配方，得，∴，∴，∴；（3），移项变形，得，配方，得，∴，∴∴；（4），移项变形，得，配方，得，∴，∴∴．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和方法是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如何用配方法解方程【答案】，．【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．【详解】解：整理得，∴或解得，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．类型五、用公式法解方程【解惑】【答案】【分析】根据公式法求解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据因式分解法解方程；（2）根据公式法解方程．【详解】（1）解：移项得，故，得到，解得，；（2）解：，，，解得，化简得．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】根据进行求解即可．【详解】（1），解：，∴，∴，∴，；（2），解：，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程求根公式．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程无实数解(2)方程无实数解【分析】（1）利用公式法即可求解；（2）利用公式法即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，故方程无实数解；（2）解：∵，∴，故方程无实数解．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程．掌握相关结论即可．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列一元二次方程．(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用公式法即可求解．（2）利用公式法即可求解．【详解】（1）解：，，，，，，原方程的解为：，．（2），，，，，，原方程的解为：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．5．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【详解】（1）解：配方得：，即，开平方得：，解得：，；（2）解：∵，，∴，即，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法与公式法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是本题的关键．类型六、用因式分解法解方程【解惑】阅读下列解方程的过程，并解决相关问题．解：将方程左边分解因式，得，…第一步方程两边都除以，得，…第二步解得…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是，解方程的过程从第步开始出现错误，错误的原因是；②请直接写出方程的根为．【答案】公式法二可能为0，【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；②利用因式分解法求解即可．【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：可能为0，故答案为：公式法，二，可能为0；②∵，∴，∴，则，∴或，解得，，故答案为：，．【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市南雅中学校考开学考试）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，方程可化为：或，解得：，（2）解：即2或，解得：，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．2．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）解方程：【答案】【分析】根据因式分解法解一元二次方程．【详解】解:因式分解得，，即，解得：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．3．（2023春·浙江衢州·八年级期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，然后计算求解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解，然后计算求解即可．【详解】（1）解：，，∴或，解得，；（2）解：，，∴或，解得，．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．4．（2023春·山东日照·九年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解即可．【详解】（1）解：，，∴，；（2）解：，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．5.（2023春·河南濮阳·八年级校考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，然后解方程即可；（2）利用提公因式法把方程左边分解因式，然后解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴或，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．类型七、判断方程的根【解惑】关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定【答案】B【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．【详解】∵，∴，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，则方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列方程中，无实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【详解】解：A．方程化为一般式为，，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．方程化为一般式为，，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）关于的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况【答案】A【分析】根据题意得到，，，再计算，即可判断方程根的情况．【详解】解：根据题意得：，，，，关于的一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）若关于x的方程没有实数根，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根的判别式小于零列式求解即可．【详解】解：关于x的方程没有实数根，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．4．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）当时，关于的一元二次方程的根的情况为（

）．A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定【答案】B【分析】利用得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：，，，方程没有实数解．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．5．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知：关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出，由即可得到结论；（2）利用公式法求出，根据方程两个根均为整数，且k为正整数，即可得到答案．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，，∵，∴，∴一元二次方程总有两个实数根；（2），∵，∴，，∵方程两个根均为整数，且k为正整数，∴．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法，求出是解题的关键．类型八、利用根与系数关系求解【解惑】关于的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，∴，∴，．故选D．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．【融会贯通】1．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于x的方程的两个根分别为和2，则的值为．【答案】【分析】利用根与系数的关系，可得出，，解之可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论．【详解】解：∵关于x的方程的两个根分别为和2，∴，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．2．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考开学考试）关于的方程的两根分别为，，则的值为．【答案】【分析】直接利用根与系数的关系求得即可．【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，∴故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．3．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）设，是方程的两个实数根，则．【答案】【分析】先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．4．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）求出该方程判别式的符号即可得到结论；（2）根据根与系数的关系求出，再利用完全平方公式的变形求出，由此即可得到答案．【详解】（1）证明：由题意得，，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程的两个实数根为，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；若是该方程的两个实数根，则．5．（2023春·安徽六安·八年级校考期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，∴，∴，∴；（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．类型九、降低、增长率问题【解惑】某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平均每月增长率为，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可建立方程．【详解】解：由题意知，二月的营业额为，三月的营业额为，一月、二月、三月的营业额共1000万元，，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查了学生分析问题，解决问题的能力，属于基础题．【融会贯通】1．（2023春·山东泰安·八年级校考期中）一种药品经两次降价，由每盒50元调至32元，平均每次降价的百分率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】降低后的价格降低前的价格（降低率），如果设平均每次降价x,则第一次降低后的价格是，那么第二次后的价格是，即可列出方程求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意得，解得：（不合题意舍去），，∴．故选：D．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：（当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”）．2．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件150件，第三天揽件216件，则该快递店揽件的日平均增长率为．【答案】【分析】利用第三天揽件数量=第一天揽件数量×（1+设该快递店揽件日平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．【详解】解：该快递店揽件的日平均增长率为x：则，解得：，（不符合题意舍去），答：该快递店揽件的日平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，则每次降价的百分率是．【答案】【分析】设每次降价百分率为x，根据原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，列方程即可．【详解】解：设每次降价百分率为x，由题意得：，解得：（舍），∴每次降价的百分率是，故答案为：．【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键．4．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）兰溪联华超市今年三月初以每件元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件元时，三月份共销售件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；(2)从六月份起，在五月份的基础上，联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价2元，月销售量增加件，在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，联华超市六月份仍可获利为元？【答案】(1)(2)每件降价4元【分析】（1）设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据五月份的销售量达到件列方程求解即可得到答案；（2）设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，根据利润列方程求解即可得到答案；【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，，解得：，（不合题意，舍去），∴四、五两个月销售量的月平均增长率为；（2）解：设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，由题意，得：，化简，得：，解得：或，顾客获得最大实惠的前提下，，∴在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，六月份仍可获利为元；【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．5.（2023秋·安徽淮南·九年级统考开学考试）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．(1)设该景区4月份的游客人数为万人，请用含的代数式分别表示5月份和6月份的游客人数；(2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件；若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？【答案】(1)五月的人数为万人，六月的人数为万人(2)(3)50元【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可；（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可；（3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据利润不变列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人，∴该景区5月份的游客人数为万人，∴6月份的游客人数为万人．∴五月的人数为万人，六月的人数为万人；（2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为；（3）解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：每件售价应定为50元．【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．类型十、数字问题【解惑】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合