第二型曲面积分

1、n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面8-5 第二型曲面积分第二型曲面积分 1. 双侧曲面双侧曲面动点在双动点在双側側曲面上连续移动曲面上连续移动(不跨越曲面的边不跨越曲面的边界界)并返回到起始点时并返回到起始点时,其法向量的指向不变其法向量的指向不变.曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧 曲面分类曲面分类 双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面曲面分曲面分左左侧和侧和右右侧侧典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 对坐标的曲面积分，必须指

2、定曲面的侧可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧如曲面z=z(x,y),若它的法向量n的指向朝上，就认为取定曲面的上侧；对于闭合曲面，若取它的法向量的指向朝外，则认为取定曲面的外侧。曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.选定了侧的曲面称为有向曲面.通常遇到的曲面都是双侧的曲面.方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧侧的规定侧的规定 设设 S 为有向曲面为有向曲面,)(yxSSyxS)(其面元其面元在在 xOy 面上的投影面上的投影,0)(yxyxS)(的面积为的面积为则规定则规定,)(yx

3、,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定类似可规定zxyzSS)( ,)(曲面元素的投影曲面元素的投影记为记为上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2. 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念实例实例: 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. 设有一河道，并假定河道中每一点的水流速度与时间设有一河道，并假定河道中每一点的水流速度与时间无关，只与点的位置有关无关，只与点的位置有关.设河道中每一点设河道中每一点(x,y,z)处的水流处的水流速度向量为速度向量为., kzyxRjzyxQizyxpzyxv由假定在河道中有一双侧曲面假定在河道中有一双侧曲面S，并

4、在，并在S上选定一侧上选定一侧.求求在单位时间内水流沿选定一侧的质量即流量在单位时间内水流沿选定一侧的质量即流量m.xyzoSA Av 0n0cosnvAvAm流量 ., 0如图的柱体斜高为成一个底面积为通过这闭区域的流体组则单位时间内量如图为该平面上的单位法向常数又设的一个闭区域且速度为积为如果流体通过平面上面vAanA上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 现在考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速是变量.1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 iv单位法向量为单位法向量为 in把曲面把曲面S S分成分成n小块小块iS( (, ,第第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）同

5、时也表示同时也表示iS在在 上任取一点上任取一点iS,iii xyzoSin),(iii iS 2.近似替代近似替代通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为3. 求和求和通过通过S S流向指定侧的流量流向指定侧的流量1niiiimv nS ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiiiiiiv n Sin =1,2, ,该点处曲面该点处曲面S S的单位法向量的单位法向量coscoscosiiiinijkiiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,

6、()(,(1 4.4.取极限取极限0 .得到流量得到流量 m m 的精确值的精确值1niiiimv nS 01limniiiimv nS 0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS第二型曲面积分的第二型曲面积分的定义定义设设S是一个分片光滑的双侧曲面是一个分片光滑的双侧曲面,记选定一侧的单位法向量为记选定一侧的单位法向量为 n P假设在假设在S上给定了一个向量函数上给定了一个向量函数, ,Fx y z将将S分割成分割成n个不相重叠的小曲面片个不相重叠的小曲面片1,

7、2,iS in在上任取一点在上任取一点iS,iiiiM 作和式作和式1,niiiiiiiiFnS 令是中直径的最大者令是中直径的最大者iS在在S上选定了一侧上选定了一侧,若和式对的任意一种分割及中间点若和式对的任意一种分割及中间点,iii 的任意的选取，当时总有极限，的任意的选取，当时总有极限，0则称此极限为向量函数在所指则称此极限为向量函数在所指定一侧上的定一侧上的第二型曲面积分，第二型曲面积分，也称为对坐标的曲也称为对坐标的曲面积分面积分, ,F x y z, , ,SF x y z n x y z dS, ,SF x y z dS或或, ,dSn x y z dS 1,SSF ndSF

8、ndS 其中其中 与与 为同一个曲面的两个相反的定向为同一个曲面的两个相反的定向.SS(2)若积分若积分 与与 存在存在, 则则1SF dS2SF dS1 1221122,SSSkFk F dSkF dSkF dS其中为任意常数其中为任意常数12,k k第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质 123.SSSF dSF dSF dS其中由互不重叠的两个曲面组成其中由互不重叠的两个曲面组成S12,S S 第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式和坐标的形式和坐标的形式),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF设若单位法向量若单位法向量 的

9、方向余弦为的方向余弦为),(zyxncos, ,cos, ,cos, ,x y zx y zx y z第二型曲面积分可写成第二型曲面积分可写成.)coscoscos(dSRQpdSnFSS 第一型曲面积分第一型曲面积分),(yxfz SxyzondScosdSxOy为为 在在平面上的平面上的有向投影面积有向投影面积.cosdxdydS0,/2;0,/2; 当0 当(上正下负上正下负) 的几何意义：的几何意义：dScosdsxydSdxdyxydSdScosdSzOx为为 在在平面上的平面上的有向投影面积有向投影面积.dScos dSyOz为为 在在平面上的平面上的有向投影面积有向投影面积.(前

10、正后负前正后负)(右正左负右正左负).cosdzdxdS .cosdydzdS 记为记为记为记为.RdxdyQdzdxdydzpdSnFSS所以有所以有第二型曲面积分的坐标形式第二型曲面积分的坐标形式, ,n x y z dS则则coscoscosSPQRdS, ,SF x y zdS, ,n x y z dS第第一一型曲面积分型曲面积分SPdydzQdzdxRdxdy第二型曲面积分的第二型曲面积分的坐标形式坐标形式SF dSSSSyxRxzQzyPdddddd称为称为P 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 y, z 的曲面积分的曲面积分;SzyzyxPdd),(SxzzyxQdd),(S

11、yxzyxRdd),(称为称为Q 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 x, y 的曲面积分的曲面积分;若以若以 -S 表示曲面表示曲面 S 的另一侧，则由定义可得的另一侧，则由定义可得 SyxRxzQzyPdddddd SyxRxzQzyPdddddd注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出3. 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算第二型曲面积分可化成第一型曲面积分计算dSnFSSSdF.)

12、coscoscos(dSRQpS例例1 求求dSnFS.),()(1222223222的外侧为球面其中RzyxSzyxzyxF解解 因为曲面的定向为外侧法向量，故取法向量为（x,y,z),那么单位法向量上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 因因),(1222zyxzyxn,cos222zyxy.cos222zyxy,cos222zyxx即即dSnFSdSzyxzyxS2222222)(dSRS21SdSR21.44122RR上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出dSnFSdSzyxzyxS2222222)(dSRS21SdSR21.44122RR,1 ,x

13、yff 法向量指向上侧时取正，指向下侧时取负法向量指向上侧时取正，指向下侧时取负单位法向量的方向余弦是：单位法向量的方向余弦是：cos,cos,cos2211xyff,1 ,xyff曲面曲面 在点处的法向量为在点处的法向量为, ,x y z,zf x y例如例如将第二型曲面积分直接化成二重积分的关键是正确将第二型曲面积分直接化成二重积分的关键是正确理解曲面理解曲面S的面积元的面积元dS在坐标平面上的在坐标平面上的有向投影有向投影coscoscosSPQRdS2211xySxyPfQfR dSff221xydsff dSPdydzQdzdxRdxdy, ,xDP x y f x yf(8.10)

14、dxdyyxfyxRfyxfyxQx),(,()(,(,(上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 上述就是把第二型曲面积分化为二重积分的公式，上述就是把第二型曲面积分化为二重积分的公式，其中正负号由其中正负号由S的定向决定：法向量指向上侧取正号，的定向决定：法向量指向上侧取正号，指向下侧取负号指向下侧取负号. 公式表明将第二型曲面积分化为二重积分，只需把公式表明将第二型曲面积分化为二重积分，只需把P，Q，R中的中的z换成换成f(x,y,),再将再将P，Q，R 分别乘以分别乘以 然后相加，就构成二重积分的被积函数然后相加，就构成二重积分的被积函数 .而二重而二重积分的积分区域积

15、分的积分区域D 是曲面是曲面S 在在oxy平面上的投影平面上的投影.再根据再根据S的指向，确定取的指向，确定取“+”还是取还是取“-”.xf1 ,yf上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 例例 2 求求 其中其中S为上半球面为上半球面 .zxdxdyyzdzdxIS222yxRz 的上侧的上侧.解解 这里P=0，Q=yz，R=zx,zxfx,zyfy于是于是1)()(RfQfPyxzxzyyz.2222yxRxydyxRxyIRyxD222:2222)(drrdrRrrRrD0,20:2222)cossin(上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出drrRr

16、ddrrdRR22202003202cossin202202sin4sindd0cos,4420d注意：注意：.414RI.SxyzdxdyI例例 3 求求 其中其中S是球面：是球面： 部分的内侧部分的内侧.0, 01222yxzyx在上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出zxyo1S2S 解解 S由单位球面在第一挂限及第五挂限的部分组成， 它们的方程分别为, 10 ,1:22221yxyxzS. 10 ,1:22222yxyxzS由题设 的法向量的指向朝下，的法向量的指向朝上. 与 在oxy平面上的投影为同一区域1S2S1S2S.0, 0, 1| ),(:22yxyxyxD

17、 被积函数中P=Q=0，R=xyz,故化为二重积分时，被积函数为).,(,(1)()(yxzyxRRfQfPyx上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出dyxyzdxIS1dyxyzdxS2Ddyxxy221Ddyxxy)1(22Ddyxxy22121023201cossin2drrrd其中其中20220|sin21cossind,21上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出10231drrr=trsin2023cossintdtt2023)sin1 (sindttt32)541 (.152代入上式得代入上式得.152I由例由例3得出当曲面得出当曲面S由方程由方

18、程z=z(x,y)表出时，可推出表出时，可推出dydxzyxRS),(计算计算 的方法的方法.yxDyxyxzzS ),( , ),(: SyxzyxRdd),(yxDyxR),(),(yxzyxdd设光滑曲面设光滑曲面（上侧正下侧负）上侧正下侧负）上侧上侧下侧下侧 （单值）（单值）上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出若光滑曲面若光滑曲面 xzDxzxzyyS ),( , ),(:SyxRxzQzyPddddddzxDxyzxzyxP)(),(,(.)(),(,(),(,(dzdxyzxzyxRzxzyxQz右侧右侧左侧左侧(右侧正左侧负右侧正左侧负) SxzzyxQdd)

19、,(特别有特别有右侧右侧左侧左侧 SxzzyxQdd),(zxDdzdxzxzyxQ.),(,(右侧正左侧负右侧正左侧负)xzDxzxzyyS ),( , ),(:上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出若光滑曲面若光滑曲面yzDzyzyxxS),( , ),(:SyxRxzQzyPdddddd前侧前侧后侧后侧yzDzyzyxP),),(.)(,),()(,),(dydzxzyzyxRxzyzyxQzy(前侧正左侧负前侧正左侧负)特别有特别有SzyzyxPdd),(yzDzyzyxxS),( , ),(:前侧前侧后侧后侧SzyzyxPdd),(yzDdydzzyzyxP.),)

20、,(前侧正左侧负前侧正左侧负)上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出小结小结:yxDyxyxzzS ),( , ),(:曲面曲面上侧上侧,下侧下侧SyxRxzQzyPdddddd)(,(,()(,(,(yDxzyxzyxQzyxzyxPxy.),(,(dxdyyxzyxR（上侧正下侧负）上侧正下侧负）曲面曲面zyDzyzyxxS ),( , ),(:前侧前侧,后侧后侧SyxRxzQzyPIdddddd)(,),(),),(yDxzyzyxQzyzyxPyzdydzxzyzyxRz)(,),(前侧正后侧负前侧正后侧负)xzDxzxzyyS ),( , ),(:右侧右侧,左侧左侧

21、曲面曲面),(,()(),(,(zzxyxQyzzxyxPIzxDx.)(),(,(dzdxyzxzyxRz(右侧正左侧负右侧正左侧负)yxDyxyxzzS ),( , ),(: SyxzyxRdd),(yxDyxR),(),(yxzyxdd光滑曲面光滑曲面（上侧正下侧负）上侧正下侧负）上侧上侧下侧下侧 (前侧正后侧负前侧正后侧负)zyDzyzyxxS ),( , ),(:光滑曲面光滑曲面 zyDSzyzyzyxPzyzyxPdd),),(dd),(前侧前侧后侧后侧（单值）（单值）（单值）（单值）小结小结:光滑曲面光滑曲面 xzDxzxzyyS ),( , ),(:右侧右侧左侧左侧 xzDSx

22、zzxzyxQxzzyxQdd),(,(dd),(右侧正左侧负右侧正左侧负)上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 例例4 求曲面积分,)()(22dxdyzxydzdxxdzdyzxyIS其中S是立方体： 边界面的外侧.azayax0 ,0 ,0解解,61iiSS它们的方程分别为：;0 ,0 ,:1azayaxS;0 ,0 , 0:2azayxS;0 ,0 ,:3axazayS;0 ,0 , 0:4axazyS;0 ,0 ,:5ayaxazS.0 ,0 , 0:6ayaxzS3S4S1S2S5S6Soyxz上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 对曲面 与

23、 应用公式（8.13)得 1S2S解解dxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(221dydzzxyxzayyzD0)(0)(22aadzzaydy00)(aydya022.44adxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(222dydzzyyzD)0(aayzdzdy00.44a上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出 对曲面 与 应用公式（8.11)得 3S4SdxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(223dzdxzxaxzxazxD0)(0)(22aadxxdz020,34adxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(224dzdxzxxzxD000

24、2aadxxdz020.34a上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出5S6S对曲面 与 应用公式（8.10)得dxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(225dxdyaxyxaxyxyD)(00)(22,)(2dxdyaxyxyDdxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(226dxdyyxyxxyD0022.2dxdyyxyD上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出dxdyzxydzdxxdzdyzxySS)()(2265axdxdyxyDaaaxdydx00.24a44aI44a34a34a24a.4a例例5 求求,)()(dxdyyxdzxdy

25、zyIS其中其中S是柱面是柱面 及平面及平面z=0,z=3所围立体之所围立体之边界曲面的外侧边界曲面的外侧.122 yx上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出1Sxyzo2S3S4S13解解,41iiSS它们的方程分别为：; 10 , 3:221yxzS; 10 , 0:222yxzS,1:23yxS.30, 11zy,1:24yxS 曲面曲面 与与 在在Ozy平面及平面及Ozx平面的投影为直线段，投平面的投影为直线段，投影面积为影面积为0，故，故dydz=dzdx=0.又又 取上侧而取上侧而 取下侧，故取下侧，故1S2S1S2S上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回

26、 退出退出dxdyyxdzxdyzyS)()(1,)(1022dxdyyxyxdxdyyxdzxdyzyS)()(2,)(1022dxdyyxyx. 0)()(21dxdyyxdzxdyzySS显然显然曲面曲面 与与 在在Oxy平面的投影为曲线，投影面积为平面的投影为曲线，投影面积为0，故故dxdy=0.又又 取前侧而取前侧而 取后侧，故取后侧，故3S3S4S4S上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出dxdyyxdzxdyzyS)()(3,1)(2dzdyyzyyzDdxdyyxdzxdyzyS)()(4,)1)(2dzdyyzyyzD所以所以dxdyyxdzxdyzySS)

27、()(43dzdyyzyyzD21)(2dyydzz112301)(2.29.2941iSiI上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出SyxzSdxdyyx2222z,e为锥面其中计算补例补例1z及平面.2所围成的立体表面外侧及z1s2s3s 123SSS原式解解41222222yxyxdxdyyxe12222yxdxdyyxe422222yxdxdyyxexyz上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出2120rdrredr10201rdrrd20201rdrrd.22e.)(x 22zdxdydzdxyI计算曲面积分补例.,) 1(22方向取下侧在第一卦限的部分为锥面其中zyxzdzdxy )(x 22法一解zxD2z dzdx1002 z