第四章 周期信号的频域分析 4-1

第四章周期信号的频域分析

连续周期信号的Fourier级数

连续Fourier级数基本性质

连续周期信号的频谱分析

离散周期信号的频域分析周期信号复习*周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号在一个周期内的状况。满足上述条件的最小的正数T0称为信号的基本（波）周期。周期信号：每隔一个固定时间间隔重复变化的信号。即对,存在一个大于零的，使得

称为f(t)的基波角频率，称为f(t)的基波频率一、周期信号的Fourier级数展开1.三角形式Fourier级数

三角函数集：在区间（t0,t0+T0）内满足：称此三角函数集为完备的正交函数集。任何实周期函数都可用该完备正交集来表示，且表示惟一。一、周期信号的Fourier级数展开1.三角形式Fourier级数

任意的实周期信号f(t)可以用三角函数集中各元素（函数分量）的线性组合来表示一、周期信号的Fourier级数展开一、周期信号的Fourier级数展开1.三角形式Fourier级数

另一种形式Fourier级数其中称为信号的直流分量，

Ansin(n

0+

n)称为信号的n次谐波分量。

或一、周期信号的Fourier级数展开2.周期信号展开为Fourier级数条件

周期信号f

(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)

在一个周期内绝对可积，即满足

(2)

在一个周期内只有有限个不连续点；(3)

在一个周期内只有有限个极值点。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。

例1试将下图所示的方波信号展开成Fourier级数。解:周期信号f

(t)显然满足Dirichlet的三个条件，

必然存在Fourier级数展开式。在一个周期内f

(t)

的函数表达式为：计算其Fourier级数，得所以，该方波信号在的Fourier级数为指数函数集：在区间（t0,t0+T0）内满足：称此指数函数集为完备的正交函数集。任何一个周期函数f(t)都可用此完备正交集中各元素的线性组合来表示，且表示惟一。一、周期信号的Fourier级数展开3.

指数形式Fourier级数

一、周期信号的Fourier级数展开3.

指数形式Fourier级数

两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量一、周期信号的Fourier级数展开3.

指数形式Fourier级数

连续时间周期信号可以用指数形式Fourier级数表示为其中物理含义：

周期信号f

(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

一、周期信号的Fourier级数展开3.

指数形式Fourier级数

若

f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以

b0=0，故共轭偶对称例2试计算图示周期三角脉冲信号的Fourier级数展开式。解:

该周期信号f

(t)显然满足Dirichlet的三个条件，Cn存在

在一个周期内f

(t)

的函数表达式为：例2试计算图示周期三角脉冲信号的Fourier级数展开式。解:

周期三角脉冲信号的指数形式Fourier级数展开式为例2试计算图示周期三角脉冲信号的Fourier级数展开式。解:

周期三角脉冲信号的三角形式Fourier级数展开式为由

例3

已知信号，求

Cn

。解:

根据指数形式Fourier级数的定义可得第四章周期信号的频域分析连续周期信号的Fourier级数

连续Fourier级数基本性质连续周期信号的频谱分析

离散周期信号的频域分析二、Fourier级数的基本性质线性特性

时移特性

二、Fourier级数的基本性质卷积性质

微分特性

若

f1(t)和

f2(t)均是周期为T0的周期信号，且

二、Fourier级数的基本性质对称特性

(1)若f(t)为实信号f(t)的Fourier系数是共轭偶对称的二、Fourier级数的基本性质对称特性

(2)纵轴对称信号f

(t)=f

(-t)

纵轴对称的实周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。二、Fourier级数的基本性质对称特性

(3)原点对称信号f

(t)=-f

(-t)

原点对称的实周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项。二、Fourier级数的基本性质对称特性

(4)半波重迭信号f

(t)=f

(t±T/2)

半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。二、Fourier级数的基本性质对称特性

(5)半波镜像信号f

(t)=-f

(t±T/2)

半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。说明

：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性