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函数的极值及其求法

由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.一、函数极值的定义二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点

可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下列表讨论如下：定理3(第二充分条件)证例3解图形如下THANKYOUSUCCESS2023/12/1113可编辑注意:例4解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5证（不易判明符号）而且是一个最大值点，例6

解定理4

(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得三、最值的求法例7.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.点击图片任意处播放\暂停例8敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1

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