博弈模型-数模

数学建模之——

博弈模型重庆邮电大学杨春德教授宇宙间处处存在冲突、冲突、争斗、合作、共生等现象，这些现象很很早就引起各类学者的重视。数学被认为是科学的语言，能否用数学语言描述各种带有冲突因素的模型或现象？博弈论便是这样一种处理各类带有冲突因素的模型的数学工具。博弈论现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用于争论各类带有冲突、冲突、合作、竞争、进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析简单系统与作重大决策时的有力工具。一、博弈论根本概念世事纷争一棋局很多冲突模型在玩耍中就存在，博弈论早期就是由争论国际象棋开头的，所以被命名为GameTheory。人们很快生疏到此种理论可用于经济、政治、军事等领域。1944年冯·诺曼和奥·摩根斯特恩合著的《竞赛论与经济行为》问世，总结了初期争论成果，奠定了博弈论的根底。由于该理论主要争论在简单的冲突冲突等活动中，局中人〔Player〕实行何种合理的策略〔strategy〕而能处于“优越”的地位，以便取得较好效益，所以将它译为博弈论。博弈论〔Gametheory〕可以被定义为是对智能的理性决策者之间冲突与合作的数学模型的争论。常见的玩耍如棋类，两人对奕，此两人便称为局中人，他们各有一套棋路，或擅长用马，或长于用炮。在每次轮到一方走子时，他可能有很多走法，这些走法依靠于当时棋局形势以及棋手想要到达的目的，以及他惯用的走法，从而形成他走棋的指导思想。对奕时指导棋手行动的思想便称为策略。对局终了可能有三种结局：甲胜；乙胜；和局。假设用数量表示各种结局，例如胜家赢得彩金假设干〔设所得彩金由输家付给，则输家产然失去假设干〕，和局时都不能取得彩金，此种表示结局的数称为支付〔payoff〕。局中人、策略、支付是博弈论中常见的根本概念,下面我们将逐一介绍。〔1〕参与者参与者指的是一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局中人。博弈参与者集合一般表示为参与者参与博弈的目的是通过合理选择自己的行动，以期取得最大化自己的收益〔或效用〕水平。参与者可以是自然人，也可以是企业、团体、国家，甚至是国家组成的集团〔如欧盟、OPEC等〕。对参与者而言，在博弈过程中，他必需有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中，他能知道或计算出各参与者不同的行动组合产生的效益〔或效用〕。〔2〕战略战略是参与者如何对其他参与者的行动作出反响的行动规章，它规定参与者在什么时候该选择什么行动。或者说。战略是参与者“相机行动方案”。〔3〕收益函数在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到确实定效用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中输赢、得失、盈亏。效用必需能用数值刻画其大小。收益是博弈参与者真正关心的问题。注释：博弈论的一个根本特征是一个参与者的收益不仅取决于自己的战略选择，而且取决于全部参与者的战略选择。或者说，收益是全部参与者各选定一个战略形成的战略组合的函数。在博弈论中，通常用ui表示参与者i的收益，一个战略组合是，每个参与者的收益可以表示为参与者、战略、收益函数是标准博弈的三要素。由前面我们对这三要素的分析，可以得到一个标准博弈的定义：标准博弈的定义：〔4〕博弈的解—纳什均衡注释：争论博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用信息信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观看到的学问。这些学问包括“自然”的选择，其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要的，由于一个参与者在每一次进展决策之前，必需依据观看到的其他参与者的行动和了解的有关状况作出自己的最正确选择。由于信息内涵的不同，派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的类型，因此寻求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个根本的、重要的概念进展争论。首先，关于“共同学问”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同选择、参与者的行动以及相应产生的效用〔效果、收益〕都是一种学问〔信息〕。博弈论所谓的共同学问指的是“全部参与者知道，全部参与者知道全部参与者知道，全部参与者知道全部参与者知道全部参与者知道……”的学问。为了说明共同学问的重要性，我引用一个众所周知的寓言。故事发生在一个村庄，村里有100对已婚夫妇，他们都是地道的规律学家，但也有一些多少有点奇怪的社会风俗。每天晚上，村里的男人们都将点起篝火，绕圈围坐进展一个会议，且每个人都谈论自己的妻子。在会议开头时，假设一个男人有理由认为他的妻子对他总是守贞的，那么他就对在坐的男人们赞扬她的美德。另一方面，假设在当前会议之前的任何时间，只要他觉察了他妻子不贞的证据，那他就会悲鸣恸哭，并祈求神灵严峻地惩办她。再则，假设一个妻子曾有不贞，那她和她的情人将会马上通知村里除她丈夫外全部的男人。全部这些传统都是村民们的共同学问。

事实上，每个妻子都已对自己的丈夫不忠。于是，每个丈夫都知道除自己的妻子外都是不贞的女人，而对自己的妻子每晚都要赞扬。这种状况持续了很多年，直到一个传教徒走访到这个村庄。他坐在髯火旁参与了一次会议并听到每个男人都赞扬自己的妻子之后，他站到丈夫们围坐的圆中心，大声地说：“这个村里有一个妻子已经不贞了。”在此后的99个晚上丈夫们连续开会并赞扬他们的妻子，但在第100个晚上，他们全都悲鸣偷哭并祈求严峻地惩办他们的妻子。现在，让我们试问一下，这个传教徒告知了这些丈夫们他们所不知道的什么？每个丈夫都已经知道了99个不贞的妻子，故这对任何人来说都不是新闻。但“这个传教徒对全部男人做了一个声明”是共同学问，从而这个传教徒所声明的内容，即有一个不贞的妻子，也就成了全部男人中间的共同学问。在传教徒宣告之前，每个形如“〔每个丈夫知道〕有一个不贞的妻子”的推断对于99都是正确的，但对100就不正确了。其次，关于“完全信息”的概念。完全信息是博弈论特别重要的根本概念，有了上述的共同学问概念，这里就可以给出完全信息的严格定义。完全信息指的是全部参与者各自选择的行动的不同组合所打算的各参与者的收益对全部参与者来说是共同学问。简洁通俗地说，完全信息是指每一个参与者对自己以及其他参与者的行动，以及各参与者选择的行动组合产生的收益等学问有完全的了解。二、囚徒逆境博弈模型分析两个共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。除非至少一个人招认犯罪，否则警方无充分证据将他们按罪判刑。警方把他们关入不同的牢室，并对他们说明不同行动带来的后果。假设两人都实行沉默的抗拒态度，因警方证据缺乏，两人将均被判为轻度犯罪入狱1个月；假设双方都坦白，依据案情两人将被判入狱6个月；假设一个招供而另一个拒不坦白，招认者因有主动认罪立功表现将马上释放，而另一人将被判入狱9个月〔所犯罪行判6个月，干扰司法加判3个月〕。1、问题的提出这两个犯罪嫌疑人是坦白还是拒不坦白呢？3、问题分析囚徒逆境问题可以用图1－1所示的双变量矩阵的形式来描述。注释：在此博弈中，每个囚徒有两种战略可供选择：坦白〔或招认〕、不坦白〔或沉默〕。图1-1的矩阵中每一个单元的两个数字表示一组特定的战略组合下两个囚犯的收益〔或支付、效用，这里已经开头引用经济学的术语了〕，其中第1个数字是囚徒1〔习惯上是位于矩阵横行上的参与者〕的收益，第2个数字是囚徒2〔位于竖行上的参与者〕的收益。假设囚徒1选择沉默，而囚徒2选择坦白，那么囚徒1的收益是－9〔表示判刑9个月〕，囚徒2的收益为0〔表示立刻释放〕。2、假设：两囚徒都是理性的和智能的。4、模型建立参与者集合：Γ={囚徒1，囚徒2}战略空间：S1=S2={坦白，沉默}u1(坦白,坦白)=u2(坦白,坦白)＝-6，u1(沉默,坦白)＝u2(沉默,坦白)=-9u1(坦白,沉默)＝u2(坦白,沉默)=0，u1(沉默,沉默)＝u2(沉默,沉默)=-1收益函数5、模型求解6、结果分析战略组合〔沉默，沉默〕，即假设两个人都不坦白，各人只判刑一个月，不是比战略组合〔坦白，坦白〕带来的各判刑6个月要好吗？注释：这正是囚徒逆境的“逆境”两个字的表达，假设用经济学中的“有效”的术语的意思来讲，〔沉默，沉默〕是一个有效结局。有效结局并不是囚徒问题的博弈解。这表达了个人利益和全体利益的冲突。7、模型的推广与应用与囚徒逆境类似的博弈问题在经济、社会等领域有许很多多的版本。应用1：A,B两个公司以凹凸两种价格向市场竞相销售同一种产品。注释：双方协定以高价格垄断市场，可以使彼此获得满足的利润收益，至少要好于双方都以低价格出售产品的情形。但假设某一方坚持高价，而另一方为了独占市场却将产品以低价格推销，由于协定不被遵守时是不会受惩罚，那么后者将获高盈利而前者将损失沉重。市场上商品的价格战，常常消失的结局一般是以低价格销售商品，消费者从中得到好处，如现在的通信三大运营商：移动、电信和联通，这种结果正是博弈论猜测的合理结局，你们不妨自己设计一个类似于图1-1的A,B公司的收益矩阵。应用2：军备竞赛问题注释：美苏冷战期间，两个超级大国构成博弈的两方，可供选择的战略是：扩军〔增加军费运算〕、裁军〔削减军费运算〕。假设双方都热衷于扩军，两国都要为此付出高额军费〔从社会福利角度来看这是一笔浩大的付收益〕;假设双方都选择裁军，则可省下这笔钱；假设一方面裁军而另一方面进展扩军，扩军的一方到时候就会以武力相威逼甚至发动战斗，这是，战斗胜败双方的收益与支付将消失难以估量的差异。博弈论给出军备竞赛问题的是战略组合(扩军，扩军)，博弈理论猜测双方都扩军可以到达对抗中的相对稳定，这是一个符合现实的合理结局。三、海滩占位博弈模型分析甲乙两个冷饮摊贩，他们在一个直线状的海滩上，以同样的价格、一样的质量向均匀分布在海滩上的众多游客〔他们来此享受海水和阳光，进展日光浴或游泳活动〕销售冷饮。既然是做生意，目的总是希望尽可能多赚点钱，甲乙两人又是在同一地点做同样的生意，竞争就是不行避开的事情了。1、问题的提出这两个冷饮摊贩应当如何安置自己的摊位，才能相安无事地做各自的生意呢？3、建模〔1〕参与者集合：Γ={甲，乙}〔2〕战略空间：S1=[0,1/2],S2=[1/2,1]〔3〕收益函数:2、问题分析与假设：〔1〕两摊贩都是理性的和智能的；〔2〕游客总是到距离自己最近的摊位购置冷饮；〔3〕为了表达便利，不妨将海滩长度标准化为1。对全部x∈S1＝[0,1/2]和y∈S2＝[1/2,1]都成立。4、模型求解5、结果分析与推广和应用结果分析：按通常的想法，如图1-3，甲在1/4处设摊，乙在3/4处设摊，这样既便利了顾客，又照看到甲乙二人各占约一半顾客的生意，可谓公正合理。问题不是简洁的解决了吗？注释：事情并不像想象的那么简洁。甲乙二人做同样的生意，两人之间就存在竞争，这就构成了一个博弈问题。站在甲的角度考虑，只要手段合法，多揽一点顾客就可以多赚一点钱。基于这样的理性想法，甲就会将自己的摊位向右挪动到A点〔见图1－3〕。这时，从0到M〔这里M是A至3/4处的中点〕范围内的顾客都会去买甲的冷饮，甲就从乙的手里挖走一局部顾客，即图1－3中阴影所示的1/2到N的那一局部。乙也是一个理性的生意人，他会估量到甲可能作出的动作，因此，他也会将自己的摊位向左边移动。照此下去，最终的结果是甲乙二人都挤在一起，紧接着，在海滩的中点〔1/2处〕做冷饮生意。推广应用：同一城市的不同航空公司经营的飞往同一目的地的航班，常常消失起飞时刻几乎一样的现象。就是在文化消遣方面，也能运用海滩占位的博弈结论予以解释。假设把电视中高雅艺术节目与较低档的节目比作海滩的两端，那么众多的电视观众就可以看作是散布在海滩上的游客。电视台常常将黄金时段的电视节目定位在中等档次，以提高收视率。四、智猪争食博弈1、问题的提出猪圈里喂养两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有一个猪食槽，对面的一边装有掌握开关。只要猪用鼻头去拱掌握开关，就会一次有6个单位的饲料流进猪食槽。假设大猪和小猪都不去拱开关，那么它们都吃不到饲料。假设小猪去拱开关，那么等它跑到另一边的猪食槽时，大猪已将流出的饲料全部都吃光了。假设大猪去拱开关，那么等它跑到猪食槽旁边，小猪差不多已吃掉了5个单位的饲料，结果大猪只能吃到1个单位的饲料。假设大猪、小猪一起去拱开关，再一起跑去吃食，那么大猪可抢到4个单位的饲料，小猪也只能吃掉2个单位的饲料。假定每拱一次开关需要消耗0.5个单位饲料的能量。大小猪分别是去拱还是不去拱开关？2、分析与假设、建模、模型求解大猪和小猪长期在一起进食，上面所说的状况〔信息、学问〕已为它们所把握。所以可假设大小猪都是理性的和智能的。仿按例一囚徒逆境的情形，就可以画出如图1－4所示的双变量矩阵。仿按例一囚徒逆境的情形，可以建立出该问题的博弈模型并求出其解。智猪争食问题的博弈论解是战略组合〔拱，不拱〕注释：在这个博弈中，大猪与小猪都有两种战略选择：拱、不拱。在这个例子中可以觉察，不管大猪选择拱还是不供，小猪的最优选择总是不拱。这是由于，假设大猪去拱开关，小猪不拱〔等在猪食槽旁边〕比拱后再跑回去争食要划算〔5>1.5〕；假设大猪不去拱开关，小猪不拱顶多都不得食，而去拱就要白白消耗能量，不划算〔0>-0.5〕。所以，不拱是小猪的占优战略。给定小猪总是选择不拱，大猪的最优选择总是拱。这样，智猪争食问题的博弈论解是战略组合〔拱，不拱〕。3、结果分析与推广和应用比方股份公司中就有大股东和小股东之分。股东都有监视经理的职能，他们从监视中得到的收益并不一样。在监视本钱一样的状况下，大股东从监视中得到的好处明显多于小股东。通常在股份公司里，总是由大股东担当监视任务，而小股东则搭大股东的便车。股票市场上也有类似现象。一般大户总是重视搜集信息，乐观进展行情分析。对小户而言，跟大户是常见现象。进展产品争论、开发以及新产品广告宣传时，对大企业而言，其资金实力及可望的收益会使大企业有投资的乐观性，而小企业往往会得不偿失。小企业通常实行与大企业建立协作生产或移植局部技术的做法。智猪争食模型在社会经济领域也可以找到很多实例。学问的敏捷应用五、库诺特双寡头垄断竞争模型这两个企业如何决策产量才会得到最大利润呢？1、问题的提出2、问题的分析与模型建立为了求出库诺特博弈中的解及纳什均衡，首先要将其转化为标准博弈。

〔1〕参与者集合：Γ={企业1，企业2}〔2〕战略空间：S1＝S2=[0,+∞〕〔3〕收益函数:注释：接下来就需要把企业1、企业2的收益表示为它自己和另一企业所选战略的函数。假定企业的收益就是其利润额，这样在一般的两个参与者标准式博弈中，企业1和企业2的收益函数就可表示为纳什均衡定义不等式〔NE〕的条件:均衡〔q1*,q2*)对应的最优化问题：解法一：微分法3、模型求解注释：利用微积分求极值的方法，对每个企业的收益函数求一阶导数并令其等于零，即可求出纳什均衡。……..(1)

注释：那么，要使产量成为纳什均衡，由式〔1〕可知，两个企业的产量选择必需满足方程组…….(2)

由此得：解方程组〔2〕，得均衡解为这时，将上式代入各自的收益函数。每个企业的纳什均衡利润为

解法二：几何法注释：库诺特模型还可以用几何图形的方法找出均衡解。

……….〔3〕这两个函数称为该博弈最优反响函数。图1-5解法法三：运用逐步剔除严格劣战略的方法首先证明对两个企业来说，产量q0＝(a－c)/2严格优于其他任何更高的产量。

对企业1来说，假设它选择产量q1＝q0＝(a－c)/2，而企业2选择产量q2，当Q＝q0＋q2＜a时，企业1的收益〔利润〕为假设企业1选择产量q1=q0+x(x>0)，企业2选择产量q2，当Q=q0+q2<a时，企业1的利润为比较上面两式结果，就能得出对于企业2来说，类似可导出

其次步：上步的战略空间为得企业一其次次删除后剩下的战略空间第三步：得企业一第三次删除后剩下的战略空间

第四步：上步的战略空间为…………….第2k步：删除后剩下的战略空间为

得企业一第四次删除后剩下的战略空间为

第2k+1步：删除后剩下的战略空间为

4、结果分析下面将双寡头垄断竞争与寡头垄断状况作一比较。设寡头垄断企业的最优产量为q*，这时最优化问题是注释：但这样安排存在一个问题，就是每家企业都有动机偏离它。由于寡头垄断产量q较低，相应的市场价格p(q)就比较高，在这一价格下每家企业都会倾向于提高自己的产量，而不顾这种产量的增加会降低市场价格。这又消失了在囚徒逆境问题中的个人理性与团体理性冲突的现象。六、两个博弈论争论著名学者简介1、计算机之父、博弈论创始人——冯·诺伊曼约翰·冯·诺伊曼(JohnVonNeumann，1903—1957)，美籍匈牙利人。1921—1923年在苏黎世大学学习。很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺伊曼年仅22岁。冯·诺伊曼是20世纪最优秀的数学家之一，因1946年制造电子计算机而被西方人誉为“计算机之父”。1957年2月8日在医院逝世，享年53岁。主要科学争论奉献注释：冯·诺伊曼从小就显示出数学天才，关于他的童年有不少传奇。大多数的传奇都讲到冯·诺伊曼自童年起在吸取学问和解题方面就具有惊人的速度。六岁时他能心算做八位数乘除法，八岁时把握微积分，十二岁就读懂领悟了波莱尔的大作《函数论》要义。冯·诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的，是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广，注明的日期是1922年，那时冯·诺依曼还不满18岁。〔1〕、三项最重要的数学工作：在1930～1940年间，冯·诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中，创作更趋于成熟，声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中，冯·诺依曼选择了量子理论的数学根底、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。〔2〕、一般应用数学：1940年，是冯·诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前，他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家；此后则成了一位坚固把握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开头关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。争论同时他还不断创新，把非古典数学应用到两个新领域：对策论和电子计算机。(3)、博弈论冯·诺依曼不仅曾将自己的才能用于武器等争论，而且还用于社会争论。1928年，冯·诺依曼证明白博弈论的根本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。由他创立的对策论，无疑是他在应用数学方面取得的最为令人艳羡的出色成就。注释：1944年，冯·诺依曼和摩根斯特思合著的《博弈论和经济行为》是这方面的奠基性著作。将二人博弈推广到n人博弈构造并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的根底和理论体系。论文包含了博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际应用的具体说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的根本问题的争论，引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同争论，时至今日，这已是应用广泛、羽毛日益丰富的一门学科。有些科学家热忱颂扬它可能是“20世纪前半期最宏大的科学奉献之一”。(4)、计算机对冯·诺依曼声望有所奉献的最终一个课题是电子计算机和自动化理论。1944年，诺伊曼参与原子弹的研制工作，该工作涉及到极为困难的计算。在对原子核反响过程的争论中，要对一个反响的传播做出“是”或“否”的答复。解决这一问题通常需要通过几十亿次的数学运算和规律指令，尽管最终的数据并不要求特别准确，但全部的中间运算过程均不行缺少，且要尽可能保持准确。他所在的洛·斯阿拉莫斯试验室为此聘用了一百多名女计算员，利用台式计算机从早到晚计算，还是远远不能满足需要。无穷无尽的数字和规律指令犹如沙漠一样把人的才智和精力吸尽。被大型计算所困扰的冯·诺伊曼在一次极为偶然的时机中知道了ENIAC计算机的研制打算，从今他投身到计算机研制这一宏伟的事业中，建立了一生中最大的丰功伟绩。逸闻

一次，在一个数学聚会上，有一个年轻人兴冲冲的找到他，向他求教一个问题，他看了看就报出了正确答案。年轻人快乐地恳求他告知自己简便方法，并埋怨其他数学家用无穷级数求解的烦琐。冯·诺依曼却说道：“你误会了，我正是用无穷级数求出的。”可见他拥有过人的心算力量。据说有一天，冯·诺依曼心神不定地被同事拉上了牌桌。一边打牌，一边还在想他的课题，狼狈不堪地“输掉”了10元钱。这位同事也是数学家，突然心生一计，想要戏弄一下他的朋友，于是用赢得的5元钱，购置了一本冯·诺依曼撰写的《博弈论和经济行为》，并把剩下的5元贴在书的封面，以说明他“战胜”了“赌博经济理论家”，着实使冯·诺依曼“好没面子”。2、孤独的天才——约翰.福布斯.纳什纳什:生于1928年6月13日。父亲是电子工程师与教师，第一次世界大战的老兵，当时在法国担当负责后勤工作的中尉。纳什小时孤独内向，虽然父母对他照看有加，但教师认为他不合群不善社交。美国数学家，前麻省理工学院助教，主要争论博弈论、微分几何学和偏微分方程。他的理论被运用在市场经济、计算、演化生物学、人工智能、会计、政策和军事理论。晚年为普林斯顿大学的资深争论数学家。1994年，他和其他两位博弈论学家约翰·C·海萨尼和莱因哈德·泽尔腾共同获得了诺贝尔经济学奖。1950年，纳什获得美国普林斯顿大学的博士学位，他在那篇仅仅27页的博士论文中提出了一个重要概念，也就是后来被称为“纳什均衡”的博弈理论。博弈论争论纳什在上大学时就开头从事纯数学的博弈论争论，1948年进入普林斯顿大学后更是如鱼得水。他在普林斯顿大学读博士时刚刚二十出头，但他的一篇关于非合作博弈的博士论文和其他相关文章，确立了他博弈论大师的地位。在20世纪50年月末，他已是著名世界的科学家了。特殊是在经济博弈论领域，他做出了划时代的奉献，是继冯·诺依曼之后最宏大的博弈论大师之一。他